Основные понятия и теорема Пикара — различия между версиями
(→Задача Коши) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 59: | Строка 59: | ||
==Особые точки и особые решения== | ==Особые точки и особые решения== | ||
− | {{Определение|definition = Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда | + | {{Определение|definition = Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда любая точка из области D называется обыкновенной точкой. Иначе она называется особой.}} |
{{Nota Bene|notabene= Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух.}} | {{Nota Bene|notabene= Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух.}} | ||
{{Определение|definition= Особым решением называется решение, которое не удовлетворяет условию единственности.}} | {{Определение|definition= Особым решением называется решение, которое не удовлетворяет условию единственности.}} | ||
{{Nota Bene|notabene= Особое решение обладает тем свойством, что в любой окрестности любой его точки существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.}} | {{Nota Bene|notabene= Особое решение обладает тем свойством, что в любой окрестности любой его точки существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку.}} |
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
Определения
Определение: |
Соотношение вида | называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
Определение: |
Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения. |
Определение: |
дифференциальное уравнение 1-го порядка |
Определение: |
Решением дифференциального уравнения | называется функция
Определение: |
уравнение в нормальной форме. |
Определение: |
Изоклиной ДУ | называется кривая определяемая равенством , где .
Определение: |
Общим решением ДУ 1-го порядка | для любого наперед заданного значения решение ДУ
Задача Коши
Определение: |
Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей Коши (начальной задачей) | , которое удовлетворяет следующим условиям:
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на
Определение: |
условие Липшица: для некоторой константы |
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии
.Теорема (Пикар): |
Пусть удовлетворяет условию Липшица и , тогда существует единственное решение задачи Коши
, где . |
Доказательство: |
Переформулируем задачу Коши следующим образом: |
Особые точки и особые решения
Определение: |
Пусть уравнение 1-го порядка удовлетворяет условию теоремы Пикара, тогда любая точка из области D называется обыкновенной точкой. Иначе она называется особой. |
N.B.: |
Через особые точки не проходит ни одной кривой, либо их не меньше двух. |
Определение: |
Особым решением называется решение, которое не удовлетворяет условию единственности. |
N.B.: |
Особое решение обладает тем свойством, что в любой окрестности любой его точки существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через эту точку. |