Построение компонент вершинной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Однопроходный алгоритм)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 13 промежуточных версий 6 участников)
Строка 3: Строка 3:
  
 
'''Первый проход:
 
'''Первый проход:
[[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|Ищем точки сочленения.]] <br>
+
[[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|ищем точки сочленения с помощью обхода в глубину]], заполняем массивы <tex>tin</tex> и <tex>up</tex>. <br>
  
 
'''Второй проход:
 
'''Второй проход:
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
+
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
 
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u</tex>, такой что <tex> up[u] \geqslant tin[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности. <br>
 
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u</tex>, такой что <tex> up[u] \geqslant tin[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности. <br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
 
=== Псевдокод второго прохода ===
 
=== Псевдокод второго прохода ===
* <tex>maxColor</tex> изначально равен 0, что эквивалентно тому, что ребро не окрашено.
+
* Во время первого запуска <tex>dfs</tex> будут заполняться массивы <tex>tin</tex> и <tex>up</tex>, поэтому при запуске функции <tex>paint</tex> мы считаем, что они уже посчитаны.
* <tex>color</tex> хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция <tex>paint</tex> для текущей вершины.
+
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.
* <tex>parent</tex> {{---}} это вершина, из которой мы попали в текущую.
+
* <tex>\mathtt{color}</tex> хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция <tex>\mathrm{paint}</tex> для текущей вершины.
 +
* <tex>\mathtt{parent}</tex> {{---}} это вершина, из которой мы попали в текущую.
  
 
  '''function''' paint(<tex>v</tex>, color, parent):
 
  '''function''' paint(<tex>v</tex>, color, parent):
   '''for''' <tex> u : (v, u) \in E</tex>:
+
  visited[<tex>v</tex>] = '''true'''
 +
   '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
 
     '''if''' <tex>u</tex> == parent
 
     '''if''' <tex>u</tex> == parent
 
       '''continue'''
 
       '''continue'''
 
     '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
 
     '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
 
       '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
 
       '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
         newColor = maxColor++
+
         newColor = ++maxColor
 
         col[<tex>vu</tex>] = newColor
 
         col[<tex>vu</tex>] = newColor
 
         paint(<tex>u</tex>, newColor, <tex>v</tex>)
 
         paint(<tex>u</tex>, newColor, <tex>v</tex>)
Строка 26: Строка 28:
 
         col[<tex>vu</tex>] = color
 
         col[<tex>vu</tex>] = color
 
         paint(<tex>u</tex>, color, <tex>v</tex>)
 
         paint(<tex>u</tex>, color, <tex>v</tex>)
     '''else''' '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\leqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
+
     '''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] <tex><</tex> tin[<tex>v</tex>]
 
       col[<tex>vu</tex>] = color
 
       col[<tex>vu</tex>] = color
  
 
  '''function''' solve():
 
  '''function''' solve():
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
+
     dfs(<tex>v</tex>)     
      dfs(<tex>v,</tex>)     
 
  '''for''' <tex>v \in V</tex>:
 
    visited[<tex>v</tex>] = '''false'''
 
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
 
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
       paint(<tex>v</tex>, -1, -1)
+
      maxColor++
 +
       paint(<tex>v</tex>, maxColor, -1)
  
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
Строка 54: Строка 54:
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
 
  '''function''' paint(<tex>v</tex>, parent):
 
  '''function''' paint(<tex>v</tex>, parent):
 +
  visited[<tex>v</tex>] = '''true'''
 
   tin[<tex>v</tex>] = up[<tex>v</tex>] = time++
 
   tin[<tex>v</tex>] = up[<tex>v</tex>] = time++
 
   '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
 
   '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
Строка 72: Строка 73:
 
     '''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] < tin[<tex>v</tex>]  
 
     '''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] < tin[<tex>v</tex>]  
 
       stack.push(<tex>vu</tex>)
 
       stack.push(<tex>vu</tex>)
 +
      '''if''' tin[<tex>u</tex>] < up[<tex>v</tex>]
 +
        up[<tex>v</tex>] = tin[<tex>u</tex>]
 
     '''else''' '''if''' up[<tex>v</tex>] > tin[<tex>u</tex>]
 
     '''else''' '''if''' up[<tex>v</tex>] > tin[<tex>u</tex>]
 
       up[<tex>v</tex>] = up[<tex>u</tex>]
 
       up[<tex>v</tex>] = up[<tex>u</tex>]
Строка 77: Строка 80:
 
  '''function''' solve():
 
  '''function''' solve():
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
+
     dfs(<tex>v</tex>)
      dfs(<tex>v</tex>)
 
  '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
    visited[<tex>v</tex>] = '''false'''
 
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 
   '''for''' <tex> v \in V</tex>:
     time = 0
+
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]:
    paint(<tex>v</tex>, -1)
+
      time = 0
<br>
+
      maxColor++
 +
      paint(<tex>v</tex>, -1)
 +
 
 
Во время алгоритма совершается один проход <tex>dfs</tex>, который работает за <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет <tex>O(|E|)</tex> операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)</tex>
 
Во время алгоритма совершается один проход <tex>dfs</tex>, который работает за <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет <tex>O(|E|)</tex> операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)</tex>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
 
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
* [[Стек]]
 
 
* [[Построение компонент реберной двусвязности]]
 
* [[Построение компонент реберной двусвязности]]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
* В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 
* В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Дискретная математика: Алгоритмы {{---}} Компоненты двусвязности, мосты и точки сочленения]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Двупроходный алгоритм

Найти компоненты вершинной двусвязности неориентированного графа можно с помощью обхода в глубину.

Первый проход: ищем точки сочленения с помощью обхода в глубину, заполняем массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math].

Второй проход: точка сочленения принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности. Вершина [math] v \ne root [/math] является точкой сочленения, если у нее есть сын [math] u[/math], такой что [math] up[u] \geqslant tin[v] [/math].
Это также значит, что ребро [math] vu [/math] содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину [math] v [/math] , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности.
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.

Псевдокод второго прохода

  • Во время первого запуска [math]dfs[/math] будут заполняться массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math], поэтому при запуске функции [math]paint[/math] мы считаем, что они уже посчитаны.
  • [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.
  • [math]\mathtt{color}[/math] хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция [math]\mathrm{paint}[/math] для текущей вершины.
  • [math]\mathtt{parent}[/math] — это вершина, из которой мы попали в текущую.
function paint([math]v[/math], color, parent):
  visited[[math]v[/math]] = true
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        newColor = ++maxColor
        col[[math]vu[/math]] = newColor
        paint([math]u[/math], newColor, [math]v[/math])
      else
        col[[math]vu[/math]] = color
        paint([math]u[/math], color, [math]v[/math])
    else if tin[[math]u[/math]] [math]\lt [/math] tin[[math]v[/math]]
      col[[math]vu[/math]] = color
function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])    
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor, -1)

Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
В алгоритме выполняется два прохода [math]dfs[/math], каждый из которых работает [math]O(|V| + |E|)[/math]. Значит время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Заведем стек, в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека.
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.

Доказательство корректности алгоритма

Предположим, что граф содержит точку сочленения [math] i' \in V [/math] , за которой следует один или несколько блоков. Вершины из этих блоков образуют подмножество [math] V' \subset V [/math]. В таком случае:

  1. Все вершины [math] V' [/math] являются потомками [math] i' [/math] в дереве обхода;
  2. Все вершины [math] V' [/math] будут пройдены в течение периода серого состояния [math] i' [/math];
  3. В [math] G [/math] не может быть обратных дуг из [math] V' [/math] в [math] V \setminus V' [/math].

Значит все дуги [math] V' [/math] будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.

Псевдокод

function paint([math]v[/math], parent):
  visited[[math]v[/math]] = true
  tin[[math]v[/math]] = up[[math]v[/math]] = time++
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent 
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      stack.push([math]vu[/math])
      paint([math]u, v[/math])
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        color = maxColor++
        while stack.top() != ([math]vu[/math])
          colors[stack.top()] = color
          stack.pop()
        colors[[math]vu[/math]] = color
        stack.pop()
      if up[[math]u[/math]] < up[[math]v[/math]]
        up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]
    else if tin[[math]u[/math]] < tin[[math]v[/math]] 
      stack.push([math]vu[/math])
      if tin[[math]u[/math]] < up[[math]v[/math]]
        up[[math]v[/math]] = tin[[math]u[/math]]
    else if up[[math]v[/math]] > tin[[math]u[/math]]
      up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]
function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]:
      time = 0
      maxColor++
      paint([math]v[/math], -1)

Во время алгоритма совершается один проход [math]dfs[/math], который работает за [math]O(|V| + |E|)[/math]. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет [math]O(|E|)[/math] операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)[/math]

См. также

Источники информации