Грани числовых множеств — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Добавлена категория)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 12 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
Лекция от 20 сентября 2010.
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
=Определения=
+
 
 +
__TOC__
 +
== Определения ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' множеством.
+
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' [[Множества|множеством]].
  
 
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
 
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Строка 13: Строка 15:
 
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
 
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
 
}}
 
}}
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = defsup
 
|definition=
 
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
+
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
  
 
<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")
 
<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")
 
}}
 
}}
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = definf
 
|definition=
 
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
+
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
  
<tex> b = \inf A</tex> ("инфиум")
+
<tex> b = \inf A</tex> ("инфимум")
 
}}
 
}}
  
=Существование грани множества=
+
== Существование грани множества ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (Аналогично для А, ограниченного снизу).
+
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу).
 
|proof=
 
|proof=
Пусть M - множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.
+
Пусть M {{---}} множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.
 
По определению верхней границы: <tex> A \le M </tex>.
 
По определению верхней границы: <tex> A \le M </tex>.
  
Строка 42: Строка 44:
  
 
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
 
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> - наименьшая из верхних границ А.
+
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{---}} наименьшая из верхних границ А.
Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = sup \, A </tex>.  
+
Получили, что d {{---}} верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = \sup \, A </tex>.  
 
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
 
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
 
}}
 
}}
  
=Принцип вложенных отрезков=
+
== Принцип вложенных отрезков ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 55: Строка 57:
 
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
 
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
  
Обозначение <tex> <a, b> = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
+
Обозначение <tex> \langle a, b \rangle = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
  
 
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
 
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
 
}}
 
}}
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 80: Строка 81:
 
<tex> B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} </tex>
 
<tex> B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} </tex>
  
Пусть <tex> c = sup \, A, d = inf \, B </tex>.
+
Пусть <tex> c = \sup \, A, d = \inf \, B </tex>.
  
 
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
 
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
Строка 91: Строка 92:
 
Исходя из определения граней, если:
 
Исходя из определения граней, если:
  
<tex> d = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
+
<tex> d = \sup \, A \in \mathbb R : </tex>
  
 
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
 
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
  
<tex> c = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
+
<tex> c = \inf \, A \in \mathbb R : </tex>
  
 
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
 
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022


Определения

Определение:
Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b [/math], то A называется ограниченным сверху множеством.

[math] b [/math] называется верхней границей множества А.

Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c [/math], то A называется ограниченным снизу множеством.

[math] c [/math] называется нижней границей множества А.

Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b [/math], то A называется ограниченным множеством.


Определение:
Если [math] A [/math] — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. [math] b = \sup A[/math] ("супремум")


Определение:
Если [math] A [/math] — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. [math] b = \inf A[/math] ("инфимум")


Существование грани множества

Теорема:
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (аналогично для А, ограниченного снизу).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть M — множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то [math] M \ne \varnothing [/math]. По определению верхней границы: [math] A \le M [/math].

По аксиоме непрерывности:

[math] \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M [/math]:

  1. [math] A \le d \Rightarrow d \in M [/math].
  2. [math] d \le M \Rightarrow d [/math] — наименьшая из верхних границ А.

Получили, что d — верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А [math]\Rightarrow d = \sup \, A [/math].

Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
[math]\triangleleft[/math]

Принцип вложенных отрезков

Определение:
Множество [math] (a, b) = \{ x: a \lt x \lt b \} [/math] называется интервалом или открытым промежутком.

Множество [math] [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} [/math] называется отрезком или замкнутым промежутком.

Обозначение [math] \langle a, b \rangle = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} [/math] (промежуток) используется, когда неизвестно включение границ.

По аналогии определяются и промежутки типа [math] (a, b] [/math].


Определение:
Пусть дана система отрезков: [math] a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] [/math]

[math] \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math]

Тогда эта система отрезков называется вложенной.


Утверждение:
[math] \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \ne \varnothing [/math]
[math]\triangleright[/math]

Определим следующие числовые множества:

[math] A = \{ a_n | n \in \mathbb N \} [/math]

[math] B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} [/math]

Пусть [math] c = \sup \, A, d = \inf \, B [/math].

[math] c [/math] и [math] d [/math] существуют.

В силу вложенности отрезков:

[math] A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Исходя из определения граней, если:

[math] d = \sup \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: d - \varepsilon \lt a [/math]

[math] c = \inf \, A \in \mathbb R : [/math]

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: c + \varepsilon \gt a [/math]