Предел последовательности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры: строчные - маленькие, ПРОПИСНЫЕ - БОЛЬШИЕ)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 3 участников)
Строка 7: Строка 7:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Последовательность''' {{---}} функция натурального аргумента:  
+
'''Последовательность''' {{---}} [[Отображения|функция]] натурального аргумента:  
  
 
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
 
<tex> f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R </tex>
Строка 25: Строка 25:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Последовательность <tex> a_n = f(n) </tex> '''ограничена сверху(снизу)''', если <tex> f(N) </tex> ограничено сверху(снизу).
+
Последовательность <tex> a_n = f(n) </tex> '''ограничена сверху'''('''снизу'''), если <tex> f(N) </tex> ограничено сверху(снизу).
 
}}
 
}}
  
Строка 37: Строка 37:
 
|definition=
 
|definition=
  
Последовательность <tex> a_n </tex> '''возрастает''' (пишут: <tex> a_n \uparrow </tex>), если: <tex> \forall n : a_n \le a_{n+1} </tex>.
+
Последовательность <tex> a_n </tex> '''возрастает''' (пишут: <tex> a_n \!\! \uparrow </tex>), если: <tex> \forall n : a_n \le a_{n+1} </tex>.
  
Аналогично, если <tex> \forall n : a_n \ge a_{n+1} </tex>, то говорят, что последовательность <tex> a_n </tex> '''убывает''' (<tex> a_n \downarrow </tex>).
+
Аналогично, если <tex> \forall n : a_n \ge a_{n+1} </tex>, то говорят, что последовательность <tex> a_n </tex> '''убывает''' (<tex> a_n \!\! \downarrow </tex>).
 
}}
 
}}
  
Строка 53: Строка 53:
 
}}
 
}}
  
Если последовательность имеет предел, то она ''сходится'': <tex> a_n \rightarrow a </tex>.
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Если последовательность имеет предел, то она '''сходится''': <tex> a_n \rightarrow a </tex>.
 +
}}
  
 
В определении предела последовательности <tex> \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>, строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.
 
В определении предела последовательности <tex> \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>, строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.
Строка 63: Строка 66:
 
Однако, ограничение <tex> 0 < \varepsilon </tex> обязательно.
 
Однако, ограничение <tex> 0 < \varepsilon </tex> обязательно.
  
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow
+
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \iff
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n < -\varepsilon </tex>
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n < -\varepsilon </tex>
  
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow
+
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \iff
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n > \varepsilon </tex>
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n > \varepsilon </tex>
  
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow
+
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \iff
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : |a_n| > \varepsilon </tex>
 
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : |a_n| > \varepsilon </tex>
  
Строка 76: Строка 79:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex> \{ a_n \} </tex> сходится, то <tex> \{ a_n \} </tex> - ограничена.
+
Если <tex> \{ a_n \} </tex> сходится, то <tex> \{ a_n \} </tex> {{---}} ограничена.
 
|proof=
 
|proof=
 
Если взять <tex> \varepsilon = 1 </tex>, то:
 
Если взять <tex> \varepsilon = 1 </tex>, то:
Строка 82: Строка 85:
 
<tex> \exists N \in \mathbb N : \forall n > N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) </tex>
 
<tex> \exists N \in \mathbb N : \forall n > N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) </tex>
  
Вне интервала <tex> (a - 1, a + 1) </tex> лежат не более, чем точки <tex> a_1, a_2, ..., a_N </tex>, а таких - конечное число.
+
Вне интервала <tex> (a - 1, a + 1) </tex> лежат не более, чем точки <tex> a_1, a_2, ..., a_N </tex>, а таких {{---}} конечное число.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex> a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b </tex> - единственность предела последовательности.
+
<tex> a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b </tex> {{---}} единственность предела последовательности.
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex> |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow  
 
<tex> |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow  
Строка 96: Строка 99:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex> a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex> - предельный переход в неравенстве.
+
<tex> a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n </tex> {{---}} предельный переход в неравенстве.
 
|proof=
 
|proof=
 
Предположим обратное:  
 
Предположим обратное:  
Строка 125: Строка 128:
 
Рассмотрим отрезок <tex> [a_n, c_n] </tex>
 
Рассмотрим отрезок <tex> [a_n, c_n] </tex>
  
Зафиксировав в определении предела для <tex> a_n </tex> и <tex> c_n </tex> определенный <tex> \varepsilon > 0 </tex>, '
+
Зафиксировав в определении предела для <tex> a_n </tex> и <tex> c_n </tex> определенный <tex> \varepsilon > 0 </tex>,
 
получаем, что для какого-то <tex> N: \forall n > N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
 
получаем, что для какого-то <tex> N: \forall n > N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon)
 
\Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>
 
\Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) </tex>
Строка 136: Строка 139:
 
\Rightarrow \lim b_n = d </tex>
 
\Rightarrow \lim b_n = d </tex>
 
}}
 
}}
 +
Использовать при доказательстве этого принципа предыдущее утверждение, записав двойное неравенство, нельзя, так как в условии принципа сжатой переменной не гарантируется существование <tex>\lim b_n</tex>.
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
Строка 149: Строка 153:
 
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N \cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
 
<tex> 0 < \varepsilon < 1, \exists N \in \mathbb N: 1 < N \cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N < \varepsilon </tex>
  
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> - выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
+
<tex> n > N \Rightarrow \frac 1n < \frac 1N < \varepsilon </tex> {{---}} выполняется для произведения <tex> \varepsilon </tex> и <tex> n > N \Rightarrow
 
\lim\frac 1n = 0 </tex>
 
\lim\frac 1n = 0 </tex>
  
Строка 159: Строка 163:
 
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n \cdot \alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
 
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n \cdot \alpha_n </tex> (используем неравенство Бернулли).
  
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> - бесконечно малая.
+
<tex> 0 < \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n </tex> {{---}} бесконечно малая.
  
 
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + </tex> (б.м.) <tex> \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 </tex>
 
<tex> 2^{\frac 1n} = 1 + </tex> (б.м.) <tex> \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 </tex>
Строка 186: Строка 190:
 
<tex> \alpha_n^2 < \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n < \varepsilon </tex> - определение предела верно и для <tex> \alpha_n </tex>
 
<tex> \alpha_n^2 < \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n < \varepsilon </tex> - определение предела верно и для <tex> \alpha_n </tex>
  
<tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая <tex> \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 </tex>
+
<tex> \alpha_n </tex> {{---}} бесконечно малая <tex> \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 </tex>
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> - бесконечно малые.
+
Пусть <tex> \alpha_n, \beta_n </tex> {{---}} бесконечно малые.
  
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n  \cdot  \beta_n) </tex> - также бесконечно малые.
+
Тогда <tex> (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n  \cdot  \beta_n) </tex> {{---}} также бесконечно малые.
  
 
|proof=
 
|proof=
Строка 198: Строка 202:
 
1) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \frac {\varepsilon}2 , \beta_n < \frac {\varepsilon}2 </tex>
 
1) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \frac {\varepsilon}2 , \beta_n < \frac {\varepsilon}2 </tex>
  
<tex> |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| < \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
+
<tex> |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| < \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon </tex> - для всех <tex>n</tex>, начиная с <tex>N</tex>.
  
 
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
 
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
  
<tex> |\alpha_n  \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </tex> - для всех n, начиная с N.
+
<tex> |\alpha_n  \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </tex> {{---}} для всех <tex>n</tex>, начиная с <tex>N</tex>.
 
}}
 
}}
  
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> - бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> - ограниченная, то <tex> \alpha_n  \cdot  a_n </tex> - также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малая''.
+
Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если <tex> \alpha_n </tex> {{---}} бесконечно малая, и <tex> a_n </tex> {{---}} ограниченная, то <tex> \alpha_n  \cdot  a_n </tex> {{---}} также бесконечно малая <tex> \Rightarrow </tex> ''произведение бесконечно малой на ограниченную {{---}} также бесконечно малая''.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 215: Строка 219:
 
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
 
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
 
# <tex> (a_n  \cdot  b_n) \rightarrow a  \cdot  b </tex>
 
# <tex> (a_n  \cdot  b_n) \rightarrow a  \cdot  b </tex>
# Если <tex> b_n \nrightarrow 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
+
# Если <tex> \lim b_n \ne 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
  
 
|proof=
 
|proof=
Строка 225: Строка 229:
 
Тогда <tex> a_n  \cdot b_n = (a + \alpha_n)  \cdot  (b + \beta_n) = a  \cdot  b + \alpha_n  \cdot  b + \beta_n  \cdot  a + \alpha_n  \cdot  \beta_n </tex>
 
Тогда <tex> a_n  \cdot b_n = (a + \alpha_n)  \cdot  (b + \beta_n) = a  \cdot  b + \alpha_n  \cdot  b + \beta_n  \cdot  a + \alpha_n  \cdot  \beta_n </tex>
  
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную - также бесконечно малые величины:
+
По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную {{---}} также бесконечно малые величины:
  
 
<tex> \alpha_n  \cdot b + \beta_n  \cdot  a + \alpha_n  \cdot  \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a  \cdot b + \alpha_n  \cdot  b + \beta_n  \cdot a + \alpha_n  \cdot  \beta_n \rightarrow a  \cdot  b </tex>
 
<tex> \alpha_n  \cdot b + \beta_n  \cdot  a + \alpha_n  \cdot  \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a  \cdot b + \alpha_n  \cdot  b + \beta_n  \cdot a + \alpha_n  \cdot  \beta_n \rightarrow a  \cdot  b </tex>
 
}}
 
}}

Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022


Лекция от 20 сентября.

Последовательность

Определение:
Последовательностьфункция натурального аргумента:

[math] f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R [/math]

[math] f(n) [/math] — значения [math] f [/math], [math] f(n) = a_n [/math]

[math] f(N) [/math] — множество значений [math] f [/math]


[math] c_n = a_n + b_n [/math] — сумма последовательностей.

[math] c_n = a_n \cdot b_n [/math] — произведение последовательностей.

В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.


Определение:
Последовательность [math] a_n = f(n) [/math] ограничена сверху(снизу), если [math] f(N) [/math] ограничено сверху(снизу).


Иначе это можно записать так:

[math] \exists d : \forall n : d \le a_n \Rightarrow a_n [/math] ограниченa снизу.

[math] \exists d : \forall n : d \ge a_n \Rightarrow a_n [/math] ограниченa сверху.


Определение:
Последовательность [math] a_n [/math] возрастает (пишут: [math] a_n \!\! \uparrow [/math]), если: [math] \forall n : a_n \le a_{n+1} [/math]. Аналогично, если [math] \forall n : a_n \ge a_{n+1} [/math], то говорят, что последовательность [math] a_n [/math] убывает ([math] a_n \!\! \downarrow [/math]).


Предел последовательности

Определение:
Число [math] a \in \mathbb R [/math] называется пределом последовательности [math] a_n [/math], если:

[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math]

Записывают: [math] a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/math]


Определение:
Если последовательность имеет предел, то она сходится: [math] a_n \rightarrow a [/math].


В определении предела последовательности [math] \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math], строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.

Также в определении предела, при выборе [math] \varepsilon [/math] разрешено ставить ограничение на [math] \varepsilon [/math] сверху:

[math] 0 \lt \varepsilon \lt \varepsilon_0 [/math].

Однако, ограничение [math] 0 \lt \varepsilon [/math] обязательно.

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : a_n \lt -\varepsilon [/math]

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : a_n \gt \varepsilon [/math]

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : |a_n| \gt \varepsilon [/math]

Ряд простейших свойств предела

Утверждение:
Если [math] \{ a_n \} [/math] сходится, то [math] \{ a_n \} [/math] — ограничена.
[math]\triangleright[/math]

Если взять [math] \varepsilon = 1 [/math], то:

[math] \exists N \in \mathbb N : \forall n \gt N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) [/math]

Вне интервала [math] (a - 1, a + 1) [/math] лежат не более, чем точки [math] a_1, a_2, ..., a_N [/math], а таких — конечное число.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b [/math] — единственность предела последовательности.
[math]\triangleright[/math]
[math] |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow \forall \varepsilon \gt 0 : |b - a| \lt \varepsilon \Rightarrow |b - a| = 0 \Rightarrow a = b [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n [/math] — предельный переход в неравенстве.
[math]\triangleright[/math]

Предположим обратное: [math] \lim a_n = a, \lim b_n = b, a \gt b [/math]

Положим [math] \varepsilon = \frac{a - b}{3} [/math]:

[math] \exists N_1: \forall n \gt N_1: a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) [/math]

[math] \exists N_2: \forall n \gt N_2: b_n \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon) [/math]

Отрезки [math] (a - \varepsilon, a + \varepsilon) [/math] и [math] (b - \varepsilon, b + \varepsilon) [/math] не пересекаются, и первый лежит, по предположению, правее второго на числовой оси.

Но [math] \forall n \gt (N_1 + N_2) : a_n \gt b_n [/math], получили противоречие [math] \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Если для последовательностей [math] a_n, b_n, c_n [/math] выполняется:

[math] a_n \le b_n \le c_n [/math] и [math] a_n \rightarrow d, c_n \rightarrow d [/math], то:

[math] b_n \rightarrow d [/math] (принцип сжатой переменной)
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим отрезок [math] [a_n, c_n] [/math]

Зафиксировав в определении предела для [math] a_n [/math] и [math] c_n [/math] определенный [math] \varepsilon \gt 0 [/math], получаем, что для какого-то [math] N: \forall n \gt N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) \Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) [/math]

Но [math] a_n \le b_n \le c_n \Rightarrow b_n \in [a_n, c_n] \Rightarrow b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) [/math].

В силу того, что ранее мы могли зафиксировать любой [math] \varepsilon \gt 0 [/math], получаем, что:

[math] \forall \varepsilon : \exists N : \forall n \gt N : b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) \Rightarrow \lim b_n = d [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Использовать при доказательстве этого принципа предыдущее утверждение, записав двойное неравенство, нельзя, так как в условии принципа сжатой переменной не гарантируется существование [math]\lim b_n[/math].

Примеры

Определение:
Если [math] \lim a_n = 0 [/math], то [math] a_n [/math] называют бесконечно малой (б.м.) величиной, и обозначают строчной греческой буквой ([math] \alpha_n, \beta_n, \gamma_n, ... [/math]).


[math] \alpha_n = \frac 1n [/math] (из аксиомы Архимеда).

[math] 0 \lt \varepsilon \lt 1, \exists N \in \mathbb N: 1 \lt N \cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N \lt \varepsilon [/math]

[math] n \gt N \Rightarrow \frac 1n \lt \frac 1N \lt \varepsilon [/math] — выполняется для произведения [math] \varepsilon [/math] и [math] n \gt N \Rightarrow \lim\frac 1n = 0 [/math]

Пример 1

[math] a_n = 2^{\frac 1n} \rightarrow 1 \, (?)[/math]

[math] 2^{\frac 1n} \gt 1 [/math]. Обозначим [math] \alpha_n = 2^{\frac 1n} - 1 \gt 0 [/math]

[math] 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n \cdot \alpha_n [/math] (используем неравенство Бернулли).

[math] 0 \lt \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n [/math] — бесконечно малая.

[math] 2^{\frac 1n} = 1 + [/math] (б.м.) [math] \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 [/math]

Именно по этой причине говорят, что [math] 2^0 = 1 [/math].

Пример 2

[math] a_n = n^{\frac 1n} \rightarrow 1 [/math]

[math] n^{\frac 1n} \gt 1 [/math]

[math] 0 \lt \alpha_n = n^{\frac 1n} - 1 [/math]

[math] n^{\frac 1n} = \alpha_n + 1 \Rightarrow n = (1 + \alpha_n)^n = \sum\limits_{j=0}^n {n \choose j} \cdot \alpha_n^j \ge {n \choose 2} \cdot \alpha_n^2 [/math]

[math] {n \choose 2} = \frac {n(n-1)}{2} [/math]

[math] 0 \lt \alpha_n^2 \lt \frac 2{n-1} \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha_n^2 \rightarrow 0 [/math]

[math] \alpha_n^2 \rightarrow 0 [/math]:

[math] \forall \varepsilon_0 = \varepsilon^2 \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n^2 \lt \varepsilon_0 = \varepsilon^2 [/math]

[math] \alpha_n^2 \lt \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n \lt \varepsilon [/math] - определение предела верно и для [math] \alpha_n [/math]

[math] \alpha_n [/math] — бесконечно малая [math] \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 [/math]

Утверждение:
Пусть [math] \alpha_n, \beta_n [/math] — бесконечно малые. Тогда [math] (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n \cdot \beta_n) [/math] — также бесконечно малые.
[math]\triangleright[/math]

1) [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n \lt \frac {\varepsilon}2 , \beta_n \lt \frac {\varepsilon}2 [/math]

[math] |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| \lt \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon [/math] - для всех [math]n[/math], начиная с [math]N[/math].

2) [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n \lt \varepsilon , \beta_n \lt 1 [/math]

[math] |\alpha_n \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| \lt \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon [/math] — для всех [math]n[/math], начиная с [math]N[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если [math] \alpha_n [/math] — бесконечно малая, и [math] a_n [/math] — ограниченная, то [math] \alpha_n \cdot a_n [/math] — также бесконечно малая [math] \Rightarrow [/math] произведение бесконечно малой на ограниченную — также бесконечно малая.

Утверждение:
Из пунктов 4 и 5 вытекает так называемая арифметика пределa:

[math] a_n \rightarrow a, b_n \rightarrow b \Rightarrow [/math]:

  1. [math] (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b [/math]
  2. [math] (a_n \cdot b_n) \rightarrow a \cdot b [/math]
  3. Если [math] \lim b_n \ne 0 [/math], то [math] ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab [/math]
[math]\triangleright[/math]

Докажем, например, свойство для произведения:

Представим [math] a_n, b_n [/math] в виде: [math] a_n = a + \alpha_n, b_n = b + \beta_n [/math].

Тогда [math] a_n \cdot b_n = (a + \alpha_n) \cdot (b + \beta_n) = a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n [/math]

По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную — также бесконечно малые величины:

[math] \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow a \cdot b [/math]
[math]\triangleleft[/math]