Неотделимые множества — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 +
|author=1
 
|statement=
 
|statement=
−
Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
+
Существует [[Вычислимые функции#Основные определения | вычислимая функция]], не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
 
|proof=
 
|proof=
−
Рассмотрим функцию <tex>f(n) = U(n, n) + 1</tex>, где <tex>U(n, n)</tex> {{---}} [[Диагональный метод.|универсальная функция]]. Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>. Это значит, что <tex>\forall n: g(n) \neq \bot </tex> и <tex>f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex>. По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. Тогда <tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>f(i) = U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие. Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
+
Рассмотрим функцию <tex>f(n) = U(n, n) + 1</tex>, где <tex>U(n, n)</tex> {{---}} [[Диагональный метод|универсальная функция]].
 +
 
 +
Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n) \Rightarrow f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex> и <tex> \forall n \in \mathbb{N} \ g(n) \neq \bot</tex>.
 +
 
 +
По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i \Rightarrow g(i) = U(i, i)</tex>.  
 +
 
 +
Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, определено значение <tex>f(i)</tex> и <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие.
 +
 
 +
Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Лемма
 +
|author=2
 +
|statement=
 +
Существует [[Вычислимые функции#Основные определения | вычислимая функция]], значения которой принадлежат множеству <tex>\{0, 1, \bot\}</tex>, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
 +
|proof=
 +
Рассмотрим функцию
 +
<tex>f(n) = \begin{cases}
 +
  0 & U(n, n) \neq 0 \text{, }U(n, n) \neq \bot \\
 +
  1 & U(n, n) = 0 \\
 +
  \bot & U(n, n) = \bot
 +
\end{cases}</tex>
 +
 +
Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>.
 +
 +
Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>g(i) = U(i, i) \neq \bot</tex> и определено значение <tex>f(i)</tex>. Но по построению функции <tex>f(n)</tex> видим, что <tex>f(i) \neq U(i, i)</tex>. Получили противоречие.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Существуют такие непересекающиеся перечислимые множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex>, что не существует таких разрешимых множеств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, что <tex>X' \subset X</tex>, <tex>Y' \subset Y</tex>, <tex>X \cap Y = \varnothing</tex>, <tex>X \cup Y = \mathbb{N}</tex>. Такие множества <tex>X'</tex> и <tex>Y'</tex> называют '''неотделимыми''' (англ. ''inseparable sets'').
 +
|proof=
 +
Рассмотрим множества <tex>X' = \{n \mid f(n) = 0\}</tex> и <tex>Y' = \{n \mid f(n) = 1\}</tex>, где <tex>f(n)</tex> {{---}} функция из леммы 2.
 +
 +
Пусть существуют <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, удовлетворяющие указанным свойствам, тогда вычислима характеристическая функция <tex>g(n) = \begin{cases}
 +
  1, & n \in Y \\
 +
  0, & n \notin Y (n \in X)
 +
\end{cases}</tex>  множества <tex>Y</tex>.
 +
 +
Заметим, что <tex>g(n)</tex> всюду определена и является продолжением <tex>f(n)</tex>, что противоречит лемме 2.
 +
}}
 +
 +
Неотделимые множества используются в доказательстве других фактов<ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. с. 39, с. 63, c. 100. ISBN 5-900916-36-7]</ref>.
 +
 +
== Примечания ==
 +
 +
<references />
 +
 +
== Источники информации ==
 +
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_inseparable_sets Wikipedia {{---}} Recursively inseparable sets]
 +
* Gasarch, William (1998), "A survey of recursive combinatorics", Handbook of recursive mathematics, Vol. 2, Stud. Logic Found. Math. 139, Amsterdam: North-Holland, pp. 1041–1176, MR 1673598
 +
* Smullyan, Raymond M. (1958), "Undecidability and recursive inseparability", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 4: 143–147
 +
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Теория вычислимости]]

Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022

Лемма (1):
Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(n) = U(n, n) + 1[/math], где [math]U(n, n)[/math] — универсальная функция.

Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение [math]g(n) \Rightarrow f(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)[/math] и [math] \forall n \in \mathbb{N} \ g(n) \neq \bot[/math].

По определению универсальной функции [math]g(n) = U(i, n)[/math] для некоторого [math]i \Rightarrow g(i) = U(i, i)[/math].

Поскольку [math]g(n)[/math] всюду определена, то [math]U(i, i) \neq \bot[/math]. Значит, определено значение [math]f(i)[/math] и [math]g(i) = f(i) = U(i, i) + 1[/math]. Получили противоречие.

Таким образом, построенная функция [math]f(n)[/math] не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
Существует вычислимая функция, значения которой принадлежат множеству [math]\{0, 1, \bot\}[/math], не имеющая всюду определенного вычислимого продолжения.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(n) = \begin{cases} 0 & U(n, n) \neq 0 \text{, }U(n, n) \neq \bot \\ 1 & U(n, n) = 0 \\ \bot & U(n, n) = \bot \end{cases}[/math]

Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение [math]g(n) = U(i, n)[/math] для некоторого [math]i[/math].

Поскольку [math]g(n)[/math] всюду определена, то [math]g(i) = U(i, i) \neq \bot[/math] и определено значение [math]f(i)[/math]. Но по построению функции [math]f(n)[/math] видим, что [math]f(i) \neq U(i, i)[/math]. Получили противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Существуют такие непересекающиеся перечислимые множества [math]X'[/math] и [math]Y'[/math], что не существует таких разрешимых множеств [math]X[/math] и [math]Y[/math], что [math]X' \subset X[/math], [math]Y' \subset Y[/math], [math]X \cap Y = \varnothing[/math], [math]X \cup Y = \mathbb{N}[/math]. Такие множества [math]X'[/math] и [math]Y'[/math] называют неотделимыми (англ. inseparable sets).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множества [math]X' = \{n \mid f(n) = 0\}[/math] и [math]Y' = \{n \mid f(n) = 1\}[/math], где [math]f(n)[/math] — функция из леммы 2.

Пусть существуют [math]X[/math] и [math]Y[/math], удовлетворяющие указанным свойствам, тогда вычислима характеристическая функция [math]g(n) = \begin{cases} 1, & n \in Y \\ 0, & n \notin Y (n \in X) \end{cases}[/math] множества [math]Y[/math].

Заметим, что [math]g(n)[/math] всюду определена и является продолжением [math]f(n)[/math], что противоречит лемме 2.
[math]\triangleleft[/math]

Неотделимые множества используются в доказательстве других фактов[1].

Примечания

  1. ↑ Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. с. 39, с. 63, c. 100. ISBN 5-900916-36-7

Источники информации

  • Wikipedia — Recursively inseparable sets
  • Gasarch, William (1998), "A survey of recursive combinatorics", Handbook of recursive mathematics, Vol. 2, Stud. Logic Found. Math. 139, Amsterdam: North-Holland, pp. 1041–1176, MR 1673598
  • Smullyan, Raymond M. (1958), "Undecidability and recursive inseparability", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 4: 143–147
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Неотделимые_множества&oldid=85822»