Алгоритм Ахо-Корасик — различия между версиями
(→Поиск шаблонов с масками) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 59 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Задача | {{Задача | ||
− | |definition = Дан набор строк в алфавите размера <tex>k</tex> суммарной длины <tex>m</tex>. | + | |definition = Дан набор строк в алфавите размера <tex>k</tex> суммарной длины <tex>m</tex>. Необходимо найти для каждой строки все ее вхождения в текст. |
}} | }} | ||
Строка 9: | Строка 9: | ||
====Пример построенного бора==== | ====Пример построенного бора==== | ||
− | Бор для набора строк <tex> \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} </tex>:<br /> | + | Бор для набора строк <tex> \{ \textbf{he},\ \textbf{she},\ \textbf{his},\ \textbf{hers}\} </tex>:<br /> |
[[Файл:Бор.jpg]] | [[Файл:Бор.jpg]] | ||
− | === Шаг 2. Преобразование бора | + | === Шаг 2. Преобразование бора === |
− | + | Обозначим за <tex>[u]</tex> слово, приводящее в вершину <tex>u</tex> в боре.<br /> | |
− | Узлы бора | + | Узлы бора можно понимать как состояния [[Детерминированные_конечные_автоматы | автомата]], а корень как начальное состояние.<br /> |
− | Узлы бора, в которых заканчиваются | + | Узлы бора, в которых заканчиваются строки, становятся терминальными.<br /> |
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций:<br /> | Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций:<br /> | ||
*<tex>\mathrm{parent}(u)</tex> {{---}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>;<br /> | *<tex>\mathrm{parent}(u)</tex> {{---}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>;<br /> | ||
− | *<tex>\pi(u) = \delta(\pi(\mathrm{parent}(u)), c)</tex> {{---}} суффиксная ссылка | + | *<tex>\pi(u) = \delta(\pi(\mathrm{parent}(u)), c)</tex> {{---}} '''суффиксная ссылка''', и существует переход из <tex>\mathrm{parent}(u)</tex> в <tex>u</tex> по символу <tex>c</tex>;<br /> |
*<tex>\delta(u, c) = | *<tex>\delta(u, c) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 25: | Строка 25: | ||
\delta(\pi(u), c), &\text{else.} | \delta(\pi(u), c), &\text{else.} | ||
\end{cases}</tex> {{---}} функция перехода. | \end{cases}</tex> {{---}} функция перехода. | ||
+ | Мы можем понимать рёбра бора как переходы в автомате по соответствующей букве. Однако одними только рёбрами бора нельзя ограничиваться. Если мы пытаемся выполнить переход по какой-либо букве, а соответствующего ребра в боре нет, то мы тем не менее должны перейти в какое-то состояние. Для этого нам и нужны суффиксные ссылки. | ||
+ | <br> Суффиксная ссылка <tex>\pi(u) = v</tex>, если <tex>[v]</tex> {{---}} максимальный суффикс <tex>[u]</tex>, <tex>[v]\neq[u]</tex>. | ||
+ | Функции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом [[Обход в глубину, цвета вершин | обхода в глубину]] с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма [[Обход в ширину | обхода в ширину]]. | ||
+ | |||
+ | Из определений выше можно заметить два следующих факта: | ||
+ | * функция перехода определена через суффиксную ссылку, а суффиксная ссылка {{---}} через функию переходов; | ||
+ | * для построения суффиксных ссылок небходимо знать информацию только выше по бору от текущей вершины до корня. | ||
+ | Это позволяет реализовать функции поиска переходов по символу и суффиксных ссылок ленивым образом при помощи взаимной рекурсии. | ||
− | |||
− | |||
==== Пример автомата Ахо-Корасик ==== | ==== Пример автомата Ахо-Корасик ==== | ||
[[Файл:axo.jpg]]<br /> | [[Файл:axo.jpg]]<br /> | ||
Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень. | Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень. | ||
− | ===Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок | + | Суффиксная ссылка для каждой вершины <tex>u</tex> — это вершина, в которой оканчивается наидлиннейший собственный суффикс строки, соответствующей вершине <tex>u</tex>. Единственный особый случай — корень бора: для удобства суффиксную ссылку из него проведём в себя же. Например, для вершины <tex>5</tex> с соответствующей ей строкой <tex>\textbf{she}</tex> максимальным подходящим суффиксом является строка <tex>\textbf{he}</tex>. Видим, что такая строка заканчивается в вершине <tex>2</tex>. Следовательно суффиксной ссылкой вершины для <tex>5</tex> является вершина <tex>2</tex>. |
+ | |||
+ | ===Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок === | ||
+ | При построении автомата может возникнуть такая ситуация, что ветвление есть не на каждом символе. Тогда можно маленький бамбук заменить одним ребром. Для этого и используются сжатые суффиксные ссылки. | ||
+ | |||
<tex>up(u) = | <tex>up(u) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
Строка 38: | Строка 48: | ||
\varnothing,&\text{if $\pi(u)$ is root;}\\ | \varnothing,&\text{if $\pi(u)$ is root;}\\ | ||
up(\pi(u)), &\text{else.} | up(\pi(u)), &\text{else.} | ||
− | \end{cases}</tex> {{---}} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. | + | \end{cases}</tex> |
− | + | ||
+ | где <tex>up</tex> {{---}} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. Аналогично обычным суффиксным ссылкам сжатые суффиксные ссылки могут быть найдены при помощи ленивой рекурсии. | ||
== Использование автомата == | == Использование автомата == | ||
− | По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам строки, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему строки тоже отмечаем.<br /> | + | Теперь нужно сказать немного слов о том, как мы будем использовать наш автомат. По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам строки, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему строки тоже отмечаем.<br /> |
− | |||
== Пример реализации == | == Пример реализации == | ||
− | Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия).<br />< | + | Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия).<br /> |
+ | <tex>k</tex> {{---}} размер алфавита. | ||
+ | |||
'''Структура вершины:''' | '''Структура вершины:''' | ||
'''struct''' Node: | '''struct''' Node: | ||
− | '''Node''' son[ | + | '''Node''' son[k] <font color=green>// массив сыновей</font> |
− | '''Node''' go[ | + | '''Node''' go[k] <font color=green>// массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии), используемый для вычисления суффиксных ссылок</font> |
− | '''Node''' parent | + | '''Node''' parent <font color=green>// вершина родитель</font> |
− | '''Node''' suffLink | + | '''Node''' suffLink <font color=green>// суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии)</font> |
− | '''Node''' up | + | '''Node''' up <font color=green>// сжатая суффиксная ссылка</font> |
− | '''char''' charToParent | + | '''char''' charToParent <font color=green>// символ, ведущий к родителю</font> |
− | '''bool''' isLeaf | + | '''bool''' isLeaf <font color=green>// флаг, является ли вершина терминалом</font> |
− | '''vector <int>''' leafPatternNumber | + | '''vector<int>''' leafPatternNumber <font color=green>// номера строк, за которые отвечает терминал</font> |
− | '''Функция | + | '''Функция для вычисления суффиксной ссылки:''' |
'''Node''' getSuffLink('''Node''' v): | '''Node''' getSuffLink('''Node''' v): | ||
− | '''if''' '' | + | '''if''' v.suffLink == ''null'' <font color=green>// если суффиксная ссылка ещё не вычислена</font> |
'''if''' v == root '''or''' v.parent == root | '''if''' v == root '''or''' v.parent == root | ||
v.suffLink = root | v.suffLink = root | ||
− | + | '''else''' | |
− | v.suffLink = | + | v.suffLink = getLink(getSuffLink(v.parent), v.charToParent) |
'''return''' v.suffLink | '''return''' v.suffLink | ||
− | '''Функция | + | '''Функция для вычисления перехода:''' |
− | '''Node''' | + | '''Node''' getLink('''Node''' v, '''char''' c): |
− | '''if''' | + | '''if''' v.go[c] == ''null'' <font color=green>// если переход по символу c ещё не вычислен</font> |
'''if''' v.son[c] | '''if''' v.son[c] | ||
v.go[c] = v.son[c] | v.go[c] = v.son[c] | ||
− | + | '''else''' '''if''' v == root | |
v.go[c] = root | v.go[c] = root | ||
− | + | '''else''' | |
− | v.go[c] = | + | v.go[c] = getLink(getSuffLink(v), c) |
'''return''' v.go[c] | '''return''' v.go[c] | ||
− | '''Функция | + | '''Функция для вычисления сжатой суффиксной ссылки:''' |
'''Node''' getUp('''Node''' v): | '''Node''' getUp('''Node''' v): | ||
− | '''if''' '' | + | '''if''' v.up == ''null'' <font color=green>// если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена</font> |
'''if''' getSuffLink(v).isLeaf | '''if''' getSuffLink(v).isLeaf | ||
v.up = getSuffLink(v) | v.up = getSuffLink(v) | ||
− | + | '''else''' '''if''' getSuffLink(v) == root | |
v.up = root | v.up = root | ||
− | + | '''else''' | |
v.up = getUp(getSuffLink(v)) | v.up = getUp(getSuffLink(v)) | ||
'''return''' v.up | '''return''' v.up | ||
− | '''Функция | + | '''Функция для добавления строки в бор:''' |
− | '''fun''' addString('''string | + | '''fun''' addString('''string''' s, '''int''' patternNumber): |
'''Node''' cur = root | '''Node''' cur = root | ||
'''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1 | '''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1 | ||
− | '''char''' c = s[i] | + | '''char''' c = s[i] |
'''if''' cur.son[c] == 0 | '''if''' cur.son[c] == 0 | ||
cur.son[c] = Node | cur.son[c] = Node | ||
Строка 104: | Строка 116: | ||
cur = cur.son[c] | cur = cur.son[c] | ||
cur.isLeaf = ''true'' | cur.isLeaf = ''true'' | ||
− | cur.leafPatternNumber. | + | cur.leafPatternNumber.pushBack(patternNumber) |
− | '''Функция | + | '''Функция для процессинга текста (поиск, встречается строка или нет):''' |
− | '''fun''' processText('''string | + | '''fun''' processText('''string''' t): |
− | |||
'''Node''' cur = root | '''Node''' cur = root | ||
'''for''' i = 0 '''to''' t.length - 1 | '''for''' i = 0 '''to''' t.length - 1 | ||
'''char''' c = t[i] - 'a' | '''char''' c = t[i] - 'a' | ||
− | cur = | + | cur = getLink(cur, c) |
− | |||
− | |||
<font color=green>/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины, | <font color=green>/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины, | ||
обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки | обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки | ||
− | и так до корня | + | и так до корня. */</font> |
Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет. | Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет. | ||
+ | |||
+ | == Оптимизации == | ||
+ | Существует несколько оптимизаций данного алгоритма, направленных на случаи, когда нас интересует только первое вхождение образца в текст: | ||
+ | |||
+ | # '''Сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин.''' | ||
+ | #: Существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, то есть если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку. | ||
+ | # '''Сброс пометки терминальной вершины.''' | ||
+ | #: В изначальном множестве образцов могут быть дублирующиеся строки. Мы можем хотеть из различать, если с одинаковыми строками связана разная мета-информация. Тогда при попадании в терминальную вершину можно осуществлять сброс пометки этой терминальной вершины, что сэкономит время на обновлении информации о вхождении образцов в текст. Тривиальным примером, в котором возникает ситуация долгой обработки, служит огромное множество образцов из одинаковых символов и текст только из этих символов. | ||
== Поиск шаблонов с масками == | == Поиск шаблонов с масками == | ||
Строка 124: | Строка 141: | ||
|definition = Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст.<BR> | |definition = Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст.<BR> | ||
}} | }} | ||
− | + | Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex>, который содержит в себе три маски, встречается на позициях <tex>2</tex> и <tex>7</tex> строки <tex>xabvccababcax</tex>. | |
− | Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex>, который содержит в себе три маски, встречается на позициях <tex>2</tex> и <tex> | ||
=== Алгоритм поиска === | === Алгоритм поиска === | ||
Строка 144: | Строка 160: | ||
*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick MAXimal :: algo :: Алгоритм Ахо-Корасик] | *[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick MAXimal :: algo :: Алгоритм Ахо-Корасик] | ||
*[http://aho-corasick.narod.ru Сопоставление множеств и алгоритм Ахо-Корасик] | *[http://aho-corasick.narod.ru Сопоставление множеств и алгоритм Ахо-Корасик] | ||
+ | *[http://codeforces.com/blog/entry/14854?locale=ru Codeforces :: Алгоритм Ахо-Корасик] | ||
+ | *[https://habrahabr.ru/post/198682/ Habr :: Алгоритм Ахо-Корасик] | ||
+ | *[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%90%D1%85%D0%BE_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BA Wiki :: Алгоритм Ахо-Корасик] | ||
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | ||
[[Категория: Поиск подстроки в строке]] | [[Категория: Поиск подстроки в строке]] | ||
[[Категория: Точный поиск]] | [[Категория: Точный поиск]] |
Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022
Задача: |
Дан набор строк в алфавите размера | суммарной длины . Необходимо найти для каждой строки все ее вхождения в текст.
Алгоритм
Шаг 1. Построение бора
Строим бор из строк.
Построение выполняется за время , где — суммарная длина строк.
Пример построенного бора
:Шаг 2. Преобразование бора
Обозначим за
Узлы бора можно понимать как состояния автомата, а корень как начальное состояние.
Узлы бора, в которых заканчиваются строки, становятся терминальными.
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций:
- — функция перехода.
Мы можем понимать рёбра бора как переходы в автомате по соответствующей букве. Однако одними только рёбрами бора нельзя ограничиваться. Если мы пытаемся выполнить переход по какой-либо букве, а соответствующего ребра в боре нет, то мы тем не менее должны перейти в какое-то состояние. Для этого нам и нужны суффиксные ссылки.
Суффиксная ссылка , если — максимальный суффикс , .
Функции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом обхода в глубину с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма обхода в ширину.
Из определений выше можно заметить два следующих факта:
- функция перехода определена через суффиксную ссылку, а суффиксная ссылка — через функию переходов;
- для построения суффиксных ссылок небходимо знать информацию только выше по бору от текущей вершины до корня.
Это позволяет реализовать функции поиска переходов по символу и суффиксных ссылок ленивым образом при помощи взаимной рекурсии.
Пример автомата Ахо-Корасик
Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень.
Суффиксная ссылка для каждой вершины
— это вершина, в которой оканчивается наидлиннейший собственный суффикс строки, соответствующей вершине . Единственный особый случай — корень бора: для удобства суффиксную ссылку из него проведём в себя же. Например, для вершины с соответствующей ей строкой максимальным подходящим суффиксом является строка . Видим, что такая строка заканчивается в вершине . Следовательно суффиксной ссылкой вершины для является вершина .Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок
При построении автомата может возникнуть такая ситуация, что ветвление есть не на каждом символе. Тогда можно маленький бамбук заменить одним ребром. Для этого и используются сжатые суффиксные ссылки.
где
— сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. Аналогично обычным суффиксным ссылкам сжатые суффиксные ссылки могут быть найдены при помощи ленивой рекурсии.Использование автомата
Теперь нужно сказать немного слов о том, как мы будем использовать наш автомат. По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа
Пример реализации
Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия).
— размер алфавита.
Структура вершины:
struct Node: Node son[k] // массив сыновей Node go[k] // массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии), используемый для вычисления суффиксных ссылок Node parent // вершина родитель Node suffLink // суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии) Node up // сжатая суффиксная ссылка char charToParent // символ, ведущий к родителю bool isLeaf // флаг, является ли вершина терминалом vector<int> leafPatternNumber // номера строк, за которые отвечает терминал
Функция для вычисления суффиксной ссылки:
Node getSuffLink(Node v): if v.suffLink == null // если суффиксная ссылка ещё не вычислена if v == root or v.parent == root v.suffLink = root else v.suffLink = getLink(getSuffLink(v.parent), v.charToParent) return v.suffLink
Функция для вычисления перехода:
Node getLink(Node v, char c): if v.go[c] == null // если переход по символу c ещё не вычислен if v.son[c] v.go[c] = v.son[c] else if v == root v.go[c] = root else v.go[c] = getLink(getSuffLink(v), c) return v.go[c]
Функция для вычисления сжатой суффиксной ссылки:
Node getUp(Node v): if v.up == null // если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена if getSuffLink(v).isLeaf v.up = getSuffLink(v) else if getSuffLink(v) == root v.up = root else v.up = getUp(getSuffLink(v)) return v.up
Функция для добавления строки в бор:
fun addString(string s, int patternNumber): Node cur = root for i = 0 to s.length - 1 char c = s[i] if cur.son[c] == 0 cur.son[c] = Node /* здесь также нужно обнулить указатели на переходы и сыновей */ cur.son[c].suffLink = 0 cur.son[c].up = 0 cur.son[c].parent = cur cur.son[c].charToParent = c cur.son[c].isLeaf = false cur = cur.son[c] cur.isLeaf = true cur.leafPatternNumber.pushBack(patternNumber)
Функция для процессинга текста (поиск, встречается строка или нет):
fun processText(string t): Node cur = root for i = 0 to t.length - 1 char c = t[i] - 'a' cur = getLink(cur, c) /* В этом месте кода должен выполняться переход по сжатой суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины, обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки и так до корня. */
Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет.
Оптимизации
Существует несколько оптимизаций данного алгоритма, направленных на случаи, когда нас интересует только первое вхождение образца в текст:
- Сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин.
- Существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, то есть если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку.
- Сброс пометки терминальной вершины.
- В изначальном множестве образцов могут быть дублирующиеся строки. Мы можем хотеть из различать, если с одинаковыми строками связана разная мета-информация. Тогда при попадании в терминальную вершину можно осуществлять сброс пометки этой терминальной вершины, что сэкономит время на обновлении информации о вхождении образцов в текст. Тривиальным примером, в котором возникает ситуация долгой обработки, служит огромное множество образцов из одинаковых символов и текст только из этих символов.
Поиск шаблонов с масками
Задача: |
Пусть | — маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст.
Например, шаблон
, который содержит в себе три маски, встречается на позициях и строки .Алгоритм поиска
Для того чтобы найти все вхождения в текст заданного шаблона с масками
Пусть — набор подстрок
, разделенных масками, и пусть — их стартовые позиции в . Например, шаблон содержит две подстроки без масок и и их стартовые позиции соответственно и . Для алгоритма понадобится массив . — количество встретившихся в тексте безмасочных подстрок шаблона, который начинается в тексте на позиции . Тогда появление подстроки в тексте на позиции будет означать возможное появление шаблона на позиции .
- Используя алгоритм Ахо-Корасик, находим безмасочные подстроки шаблона
- Каждое
Рассмотрим подстроку текста
Поиск подстрок заданного шаблона с помощью алгоритма Ахо-Корасик выполняется за время , где — суммарная длина подстрок, то есть длина шаблона, — длина текста, — количество появлений подстрок шаблона. Далее просто надо пробежаться по массиву и просмотреть значения ячеек за время .