Список заданий по ДМ 2к 2016 осень

<wikitex>

1. Доказать, что если в ориентированном графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
2. Доказать, что если в неориентированным графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
3. Будем называть согласованным циклом в графе класс эквивалентности циклических путей относительно циклического сдвига. При этом циклический путь не должен проходить два раза по одному ребру в разных направлениях. Докажите, что в графе есть согласованный цикл тогда и только тогда когда там есть цикл.
4. Петя придумал отношение средней связности: $u$ средне связана с $v$, если из $u$ достижима $v$ или из $v$ достижима $u$. Является ли это отношение отношением эквивалентности?
5. Пусть граф $G$ - объединение двух различных простых путей из $u$ в $v$. Докажите, что в $G$ есть цикл.
6. Харари 2.3
7. Харари 2.5
8. Харари 2.9
9. Харари 2.13
10. Харари 2.15
11. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
12. Харари 2.16
13. Харари 2.20
14. Харари 2.22
15. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
16. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
17. Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
18. При каких соотношениях $a$, $b$, $n$, $m$, $k$ существует граф с $a$ точками сочленения, $b$ мостами, $n$ вершинами, $m$ рёбрами, $k$ компонентами связности?
19. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это рефлексивно-транзитивное замыкание $R$.
20. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
21. Харари 4.2
22. Харари 4.3
23. Харари 2.29
24. Харари 2.31
25. Харари 2.32
26. Харари 2.33
27. Харари 2.35
28. Харари 2.36
29. Харари 7.2
30. Харари 7.4
31. Харари 7.5
32. Харари 7.7
33. Харари 7.9
34. Харари 7.14
35. Харари 7.17
36. Харари 7.18
37. Харари 3.2
38. Наименьшее число вершин в кубическом графе, имеющем мост, равно 10. (Харари 3.3)
39. Харари 3.4
40. Харари 3.5
41. Харари 3.6
42. Харари 3.7
43. Харари 3.9
44. Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
45. Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
46. Посчитать полного двудольного графа $K_{n,m}$.
47. Харари 12.2
48. Харари 12.3
49. Харари 12.4
50. Харари 12.5
51. Харари 12.6
52. Харари 12.12
53. Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
54. Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
55. Харари 11.1
56. Харари 11.2
57. Харари 11.3
58. Харари 11.7
59. Харари 11.8
60. Харари 11.9
61. Харари 11.10
62. Харари 11.14
63. Харари 11.15
64. Харари 11.25
65. Харари 9.1
66. Харари 9.3
67. Харари 9.4
68. Харари 9.5
69. Харари 9.8
70. Харари 9.9
71. Харари 9.13
72. Харари 8.1
73. Харари 8.2
74. Харари 8.3
75. Харари 8.8
76. Харари 8.9
77. Харари 8.10
78. Харари 8.11
79. Матроид с выкинутым элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Множества, не содержавшие $x$, остаются независимыми. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
80. Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
81. Прямая сумма матроидов. Пусть $M_1 = \langle X_1, I_1\rangle$ и $M_2=\langle X_2, I_2\rangle$ - матроиды с непересекающимися носителями ($X_1 \cap X_2 = \varnothing$). Обозначим как $M_1+M_2$ следующую конструкцию: $M_1 + M_2 = \langle X_1 \cup X_2, I = \{A \cup B|A \in I_1, B \in I_2\}$. Докажите, что сумма матроидов является матроидом.
82. Разноцветные множества. Пусть $X$ - множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Будем называть независимыми множества, в которых все элементы разного цвета. Докажите, что эта конструкция является матроидом. Используйте определение матроида.
83. Представьте конструкцию из предыдущего примера в виде прямой суммы универсальных матроидов.
84. Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
85. Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
86. Образуют ли паросочетания в полном графе семейство независимых множеств некоторого матроида?
87. Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
88. Верно ли, что в графовом матроиде любая база пересекается с любым циклом?
89. Верно ли, что в матричном матроиде любая база пересекается с любым циклом?
90. Верно ли, что в любом матроиде любая база пересекается с любым циклом?
91. Обратная аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $y \in B_2 \setminus B_1$ найдется $x \in B_1 \setminus B_2$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
92. Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
93. Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
94. Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
95. Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксимомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
96. Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
97. Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
98. Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
99. Какие универсальные матроиды являются матричными?
100. Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
101. Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
102. Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
103. Задан многочлен $A(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i$ степени $n$ и число $x_0$. Найдите представление $A(x)$ в виде $A(x) = q(x) \cdot (x - x_0) + r$, где $r$~--- число, а $q(x)$~--- многочлен степени $n-1$ за время $O(n)$.
104. Предложите способ восстановления коэффициентов многочлена $A(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i x^i$ по заданным $n+1$ парам $\{(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots (x_n, y_n)\}$, где $y_i = A(x_i)$ и все $x_i$ различны, за $O(n^2)$.
105. Пусть заданы значения многочлена $A(x)$ степени $n$ для всех $x = 0, 1, \ldots, n$. Для заданного числа $t > n$ посчитайте $A(t)$ за $O(n)$.
106. Докажите, что $DFT(DFT(\langle a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \rangle)) = n \cdot \langle a_0, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_1 \rangle$
107. Опишите модификацию алгоритма FFT для случая, когда размер массива является степенью тройки ($n = 3^k$). Какое будет рекуррентное соотношение для времени работы и само время работы в таком случае? Указание: как разделить на 3 многочлена и как скомпоновать результаты?
108. Как за один вызов алгоритма FFT посчитать преобразование Фурье 2 многочленов $A$ и $B$ с вещественными коэффициентами? Указание: нужно объединить 2 многочлена степени $n$ в один многочлен $C$ степени $n$ с комплексными коэффициентами и восстановить $DFT(A)$ и $DFT(B)$ по $DFT(C)$.
109. Для заданных $n$ различных чисел $x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}$ постройте многочлен $n$-й степени, который имеет корни только в заданных $n$ точках за $O(n \log^2 n)$
110. Пусть мы хотим считать преобразование Фурье не в поле комплексных чисел, а в поле остатков по модулю $p$, где $p$~--- простое число. Для каких $p$ такое преобразование можно сделать, как найти соответствующий корень $n$-й степени из единицы $\omega_n$, и как изменится сам алгоритм?
111. Даны 2 числа в десятичной системе счисления, каждое состоит из $n$ десятичных цифр. Найдите их произведение за $O(n \log n)$.
112. Даны две строки $p$ и $t$ из символов 0 и 1 ($|p| \le |t|$). Найдите расстояние Хэмминга между $p$ и всеми подстроками $t[i..i+|p|-1]$ длины $|p|$ за $O(n \log n)$.
113. Задан многочлен $A(x) = \sum\limits_{i=0}^{n - 1} a_i x^i, a_0 \neq 0$. Найдите такой многочлен $B(x)$, что $A(x) \times B(x) = 1 + x^n Q(x)$ для какого-то многочлена $Q(x)$ за $O(n \log^2 n)$.
114. То же самое за $O(n \log n)$.
115. Каков критерий существования решения и алгоритм восстановления числа в КТО, если убрать требование взаимной простоты модулей $m_1$ и $m_2$?
116. Чему равна сумма всех чисел от 0 до $n-1$, взаимнопростых с $n$?
117. Найдите $\frac{n!}{p^k} \mod p$, где $k$ - максимальная степень вхождения простого $p$ в $n!$, за $O(p \log n)$
118. Докажите, что $gcd$ последовательных чисел Фибоначчи равен 1.
119. Докажите, что $gcd(F_n, F_m) = F_{gcd(n, m)}$.
120. Для заданных $a$ и нечетного простого $p$, проверьте, что существует $x$: $x^2 \equiv a \mod p$ за $O(\log p)$
121. Решите задачу дискретного логарифма для простого модуля $p$ вида $2^k + 1$ за $O(\mathop{poly}(k))$.
122. Докажите лемму о паросочетании в графе замен (формулировка тут: [1], доказательство неправильное - неверный индукционный переход)
123. Рассмотрим два матроида $M_1$ и $M_2$. Как связаны максимальное независимое множество пересечения $M_1 \cap M_2$ и база $M_1 \cup M_2^*$? ($M_2^*$ - матроид, двойственный $M_2$)
124. Докажите теорему Радо: пусть $M$ - матроид с ранговой функцией $r$, $X = X_1 \cup X_2 \cup ...\cup X_k$, причем все $X_i$ попарно не пересекаются. Будем называть независимой системой представителей независимое множество $A$, такое что $|A \cap X_i| \le 1$. Пусть $A_{max}$ - максимальная по мощности независимая система представителей. Тогда $|A_{max}|=\min_{Z\subset \{1,..,k\}}(r(\cup_{i\in Z} X_i)+k-|Z|)$.
125. Предложите алгоритм построения максимальной независимой системы представителей.
126. Докажите, что длина кратчайшего пути из $S$ в $T$ в алгоритме построения базы пересечения матроидов не убывает.
127. Докажите, что число различных длин кратчайшего пути из $S$ в $T$, которые встречаются в алгоритме построения базы пересечения матроидов, есть $O(\sqrt n)$.
128. Докажите, что сумма длин кратчайших пути из $S$ в $T$, которые встречаются в алгоритме построения базы пересечения матроидов, есть $O(n \log n)$.
129. Игра Шеннона. Рассмотрим игру на связном графе с множеством ребер $E$. Играют два игрока, cut и link, первым ходит cut. Игроки по очереди добавляют себе ребра, не использованные на предыдущих ходах. В конце игры link выигрывает, если по его ребрам можно дойти от любой вершины до любой. Докажите, что link выигрывает при оптимальной игре, если и только если в графе существует два непересекающихся остовных дерева.
130. Игра Шеннона на произвольном матроиде. Рассмотрим игру на матроиде $M$. Играют два игрока, cut и link, первым ходит cut. Игроки по очереди выбирают себе элементы носителя, не использованные на предыдущих ходах. В конце игры link выигрывает, если его множество содержит базу матроида. Докажите, что link выигрывает при оптимальной игре, если и только если в графе существует две непересекающихся базы.
131. Пусть $M$ - невырожденная квадратная матрица над вещественными числами. Докажите, что для любого множества строк $R$ найдется множество столбцов той же мощности $C$, что миноры $R\times C$ и $\overline{R}\times \overline{C}$ - ненулевые (как $\overline T$ обозначено множество строк/столбцов, не входящих в $T$).
132. Задан двудольный граф, каждая вершина имеет вес. Требуется выбрать паросочетание, чтобы суммарный вес покрытых вершин был максимален. Решите эту задачу, не используя сведение к обычной задаче о назначениях.

</wikitex>