Неопределённый интеграл — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
Пусть имеется [[Отображения|функция]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall v \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>.
+
Пусть имеется [[Отображения|функция]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>.  
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Функция <tex>F(x)</tex>, такая, что <tex>F'(x) = f(x)\ \forall x \in [a; b]</tex>, называется '''первообразной''' <tex>f</tex>.
 +
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 9: Строка 13:
 
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
 
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны, следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
+
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны(так как они имеют производную), следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
 
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
 
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
  
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
+
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1)\ \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 21: Строка 25:
 
:<tex>\int f(x)dx = F(x) + C</tex>.
 
:<tex>\int f(x)dx = F(x) + C</tex>.
  
Также принято там, где нужно принимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
+
Также принято там, где нужно, понимать под <tex>\int f(x)dx</tex> конкретную первообразную.
  
 
В некотором смысле, операции [[Дифференциал и производная|дифференцирования]] и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
 
В некотором смысле, операции [[Дифференциал и производная|дифференцирования]] и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:
Строка 50: Строка 54:
 
Развивая теорию Римана, мы получим, что если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, то у неё существует неопределённый интеграл.
 
Развивая теорию Римана, мы получим, что если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, то у неё существует неопределённый интеграл.
  
Условие долстаточное, и не описывает все функции, у которых существует первообразная, например:
+
Условие достаточное, и не описывает все функции, у которых существует первообразная, например:
 
:<tex>f(x) = \begin{cases}0 & x = 0\\ x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0\end{cases}</tex>
 
:<tex>f(x) = \begin{cases}0 & x = 0\\ x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0\end{cases}</tex>
 
:<tex>f'(x) = 2x \sin \frac 1x - \cos \frac 1 x, \qquad x \ne 0</tex>
 
:<tex>f'(x) = 2x \sin \frac 1x - \cos \frac 1 x, \qquad x \ne 0</tex>

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Определение

Пусть имеется функция [math]y = f(x)[/math], заданная на [math][a; b][/math].

Определение:
Функция [math]F(x)[/math], такая, что [math]F'(x) = f(x)\ \forall x \in [a; b][/math], называется первообразной [math]f[/math].


Утверждение:
Если [math]F_1' = f, F_2' = f[/math], то [math]F_2 = F_1 + \mathrm{const}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]g(x) = F_2(x) - F_1(x)[/math]. [math]F_1, F_2[/math] непрерывны(так как они имеют производную), следовательно, непрерывна и [math]g[/math], и можно применить теорему Лагранжа:

[math]g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)[/math], но [math]g' = F_2' - F_1' = 0[/math].
Таким образом, [math]g(x_2) = g(x_1)\ \forall x_1, x_2 \in [a; b][/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пусть [math]f[/math] задана на [math][a; b][/math]. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:

[math]\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}[/math]

В силы исторической традиции равенство обычно записывают короче:

[math]\int f(x)dx = F(x) + C[/math].

Также принято там, где нужно, понимать под [math]\int f(x)dx[/math] конкретную первообразную.

В некотором смысле, операции дифференцирования и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:

[math]\left ( \int f(x) dx \right )' = f(x)[/math]
[math]\int f'(x)dx = f(x)[/math]

Формулы

Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.

1) Интегрирование по частям

[math](uv)' = u'v + uv'[/math]
[math]uv = \int (uv)'dx = \int u'v dx + \int uv' dx[/math]
[math]u'dx = du, \qquad v'dx = dv[/math]
[math]\int udv = uv - \int vdu[/math]

2) Формула подстановки

[math]F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)[/math]:
[math]G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt[/math]. Докажем, что [math]F(x) = G(\varphi^{-1}(x))[/math]. Продифференцируем левую часть уравнения:
[math](G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'[/math], но

[math]t' = \frac 1{\varphi'(t)}[/math], следовательно, [math](G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)[/math], что и требовалось доказать.

Условия интегрируемости

Каким условиям должна удовлетворять функция [math]f[/math], чтобы у неё существовала первообразная?

Развивая теорию Римана, мы получим, что если [math]f[/math] непрерывна на [math][a; b][/math], то у неё существует неопределённый интеграл.

Условие достаточное, и не описывает все функции, у которых существует первообразная, например:

[math]f(x) = \begin{cases}0 & x = 0\\ x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0\end{cases}[/math]
[math]f'(x) = 2x \sin \frac 1x - \cos \frac 1 x, \qquad x \ne 0[/math]
[math]f'(0) = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac {f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \Delta x \sin \frac 1 {\Delta x} = 0[/math]

Получаем производную, разрывную в нуле. Но у этой функции существует первообразная, равная [math]f[/math].

Для установления точных условий интегрируемости интеграла Римана мало, для этого требуется понятие ингерала Лебега.