|
|
| (не показано 20 промежуточных версий этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Двудольный граф ==
| + | #перенаправление [[Раскраска двудольного графа в два цвета]] |
| − | | |
| − | [[Файл: Bipartite_graph.png|300px|thumb|center|Пример [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольного]] графа]]
| |
| − | | |
| − | == Раскраска в 2 цвета ==
| |
| − | | |
| − | {{Теорема
| |
| − | |statement=
| |
| − | Граф 2-раскрашиваемый тогда и только тогда, когда он двудольный (англ. '' bipartite graph'' or ''bigraph'').
| |
| − | |proof=
| |
| − | Если множество вершин двудольного графа можно разделить на два независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества, тогда граф <tex>G = (W, E)</tex> — 2-раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>.
| |
| − | | |
| − | Если же граф 2-раскрашиваемый, то множество его вершин можно разделить на два непересекающихся множества так, чтобы в каждом из них не нашлось двух смежных вершин. Тогда граф будет двудольным.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==Теорема Кёнига==
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |about=
| |
| − | Кёниг
| |
| − | |statement=
| |
| − | Граф <tex> G </tex> является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы в графе <tex> G </tex> имеют чётную длину.
| |
| − | |proof=
| |
| − | | |
| − | ''Достаточность.''
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доле <tex> U </tex>. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы вернуться в <tex> U </tex> снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным.
| |
| − | | |
| − | ''Необходимость.''
| |
| − | | |
| − | Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на два непересекающихся множества <tex> U </tex> и <tex> V </tex> так, чтобы в <tex> U </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> — нечётная. При этом <tex> u \in U </tex>.
| |
| − | | |
| − | В графе <tex> G </tex> нет ребер <tex>ab</tex>, таких что <tex>a, b </tex> лежат одновременно в <tex> U </tex> и <tex>V</tex>. Докажем это от противного. Пусть <tex>a, b \in U </tex>. Зададим <tex> P_0 </tex> — кратчайшая <tex> (u, a) </tex> цепь, а <tex> P_1 </tex> — кратчайшая <tex> (u, b) </tex> цепь. Обе цепи четной длины. Пусть <tex> v_0 </tex> — последняя вершина цепи <tex> P_0 </tex>, принадлежащая <tex> P_1 </tex>. Тогда подцепи от <tex> u </tex> до <tex> v_0 </tex> в <tex> P_0</tex> и <tex>P_1</tex> имеют одинаковую длину (иначе бы, пройдя по более короткой подцепи от <tex>u</tex> до <tex>v_0</tex> мы смогли бы найти более короткую цепь от <tex> u </tex> до <tex> a </tex> или от <tex> u </tex> до <tex> b </tex>, чем цепь <tex> P_0 </tex> или <tex> P_1 </tex> ). Так как подцепи от <tex> v_0 </tex> до <tex> a </tex> и от <tex> v_0 </tex> до <tex> b </tex> в цепях <tex> P_0 </tex> и <tex> P_1 </tex> имеют одинаковую четность, а значит в сумме с ребром <tex> ab </tex> они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == Следствие ==
| |
| − | | |
| − | ===Алгоритм проверки графа на двудольность, используя обход в глубину===
| |
| − | | |
| − | Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину (англ. ''Depth-first search'').
| |
| − | На каждом шаге обхода в глубину помечаем вершину. Допустим, мы пошли в первую вершину — помечаем её как <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины, и если не помечена вершина, то на ней ставим пометку <tex> 2 </tex> и рекурсивно переходим в нее. Если же она помечена и на ней стоит та же пометка, что и у той, из которой шли (в нашем случае <tex> 1 </tex>), значит граф не двудольный.
| |
| − | | |
| − | ===Алгоритм проверки графа на двудольность, используя обход в ширину===
| |
| − | | |
| − | Произведём серию поисков в ширину (англ. ''Breadth-first search''). Т.е. будем запускать поиск в ширину из каждой непосещённой вершины. Ту вершину, из которой мы начинаем идти, мы помещаем в первую долю. В процессе поиска в ширину, если мы идём в какую-то новую вершину, то мы помещаем её в долю, отличную от доли текущей вершину. Если же мы пытаемся пройти по ребру в вершину, которая уже посещена, то мы проверяем, чтобы эта вершина и текущая вершина находились в разных долях. В противном случае граф двудольным не является.
| |
| − | По окончании работы алгоритма мы либо обнаружим, что граф не двудолен, либо найдём разбиение вершин графа на две доли.
| |
| − | | |
| − | ==См. также ==
| |
| − | * [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-coloring-layout| Графы. Раскраски и укладки.]
| |
| − | | |
| − | == Источники информации ==
| |
| − | * Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.
| |
| − | * Харари Ф. - Теория графов.
| |
| − | * [http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig's_theorem_(graph_theory) Теорема Кёнига]
| |
| − | * [http://e-maxx.ru/algo/bipartite_checking MAXimal :: algo :: Проверка графа на двудольность]
| |
| − | * [http://www.e-maxx.ru/algo/dfs Обход в глубину. Реализации.]
| |
| − | * [http://e-maxx.ru/algo/bfs Обход в ширину. Реализации.]
| |
| − | | |
| − | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
| |
| − | [[Категория: Раскраски графов]]
| |
