Отображения

Лекция от 13 сентября 2010 года.

Определение

Определение:

Закон (правило) f, посредством которого каждому [math]a \in A[/math] сопоставляется единственный [math]b \in B[/math], называют отображением. Обычно это записывают так: [math] b = f(a) [/math].

Формы записи:

[math] f: A \rightarrow B [/math] — отображение из [math]A[/math] в [math]B[/math].

Определение:

Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.

Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

Связанные понятия

Пусть:

[math] f : A \rightarrow B [/math]

[math] C \subset A [/math]

[math] g : C \rightarrow B [/math]

[math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

[math] A = D(f) [/math] — область определения f

[math] R(f) = \{ b | b = f(a), a \in A \} [/math] — область значений f

[math] C \subset A ; f(C) = \{f(a)| a \in C \} [/math] — образ множества C при отображении f

[math] D \subset B ; f^{-1}(D) = \{ a| a \in A, f(a) \in D \} [/math] — прообраз множества D при отображении f

Определение:

Отображение [math]f^{-1}: B \rightarrow A[/math] называется обратным отображением для f.

[math] f(f^{-1}(a)) = a; \\ f^{-1}(f(b)) = b; [/math]

Термины "прямое" и "обратное" отображения взаимны.

Свойства отображений

Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

См. также

• Множества