Объём — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 31 промежуточная версия 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
==ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА==
+
==Общий случай==
У нас есть гиперплоскость <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>d</tex> мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно независимых(ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творчески.  
+
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.  
{{Определение  
+
{{Определение
|definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимым''', если мы можем выбрать одну из них, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ вектор.
+
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
 +
# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
 +
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.  
 
}}
 
}}
 +
За единицу объема принимается объем <tex>n</tex>-мерного куба с ребром, равным единице.
  
Возьмем в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>. Получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_d, p</tex> тоже будет ЛНЗ.
+
===Переход из одной системы координат в другую===
 +
Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.
  
Пусть у нас есть какая-то выделенная зарание система координат <tex>C</tex>. Эта система приходит обычно вместе с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.
+
{{Теорема
 +
|about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле
 +
|statement= Пусть даны две <tex>n</tex>-мерные области: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>x_1 x_2\dots x_n</tex> и <tex>(\Delta)</tex> в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>, ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкой или кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Между ними с помощью формул
  
Мы знаем, что можно составить матрицу перехода, если умеем выразить координаты векторов в исходной базовой системе координат <tex>C</tex>.
+
<tex>
А в нашем случае мы это сделать, конечно, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек, просто сопредставим нашим точкам вектора, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.
+
\begin{cases}
Значит, если нам известны координаты точек, то нам известны координаты векторов в ситеме <tex>C</tex>.
+
  x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:
+
  \\
 +
  x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
 +
  \\
 +
    \dotfill
 +
  \\
 +
  x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n);
 +
\end{cases}
 +
</tex>
  
<tex>A = \begin{pmatrix} \overrightarrow{Oa_1} - \overrightarrow{Op} \\ \overrightarrow{Oa_2} - \overrightarrow{Op} \\ \dots \\ \overrightarrow{Oa_d} - \overrightarrow{Op} \end{pmatrix}^ \intercal =
+
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом
\begin{pmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p\\ \dots \\ a_d - p \end{pmatrix}^ \intercal  =
+
<tex> J =  
\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{pmatrix}^ \intercal</tex>
+
\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}  
 +
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2}
 +
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n}
 +
\end{vmatrix}
 +
</tex>,
  
В дальнейшем нас будут интересовать детерминант этой матрицы и его знак:
+
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</tex> может быть преобразован по формуле
+
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =
<tex>det(A) = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix}</tex>
+
\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n
 +
</tex>.
  
{{Лемма
 
|id=pOnPlane
 
|statement=Точка <tex>p</tex> лежит на плоскости <tex>g</tex> тогда и только тогда, когда определитель матрицы <tex>A</tex> равен <tex>0</tex>.
 
 
|proof=
 
|proof=
Плоскость <tex>g</tex> определяется замыканием набора <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex> ЛНЗ точек, значит, если <tex>p</tex> принадлежит множеству, то <tex>p</tex> является линейной комбинацией этих точек. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице <tex>A</tex>, значит, ее определитель будет ноль.
+
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца<ref>Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. {{---}} 440 c.</ref>.
 
}}
 
}}
Разобъем все точки пространства(кроме тех, что лежат на плоскости) на два множества в зависимости от того, какой знак для них будет иметь детерминант <tex>A</tex>. Покажем, что наша классификация осмысленна.
 
{{Лемма
 
|id= pConvex
 
|statement= Получившиеся множества будут выпуклыми.
 
|proof= По определению выпуклого множества. Возьмем две любые точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащие в одной области. По аксиоматике существует вектор <tex>\overrightarrow{p_1p_2}</tex>  и по определению можно сделать линейную комбинацию. Значит можем получить любую точку между <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащую с ними на одной прямой, отложив от <tex>p_1</tex> вектор <tex>\alpha \overrightarrow{p_1p_2}</tex>, где <tex>\alpha \in [0..1]</tex>. Если подставить это в определитель, то получим
 
  
<tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 + \alpha\overrightarrow{p_1p_2} & 1 \end{vmatrix} =
+
===Вычисление объема===
\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\  \alpha p_2 + (1 - \alpha)p_1 & 1 \end{vmatrix} =  
+
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл
\alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\  p_2 & 1 \end{vmatrix} +
+
 
(1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\  p_1 & 1 \end{vmatrix} </tex>
+
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>,
Матрицы одинакового знака, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит, у нашей точки будет тот же знак определителя, что и у <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>.
+
 
}}
+
где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
Хорошая лемма, пользоваться мы ей, конечно, не будем.
+
 
 +
==Вычисление объема простых фигур==
 +
===Параллелепипед===
 +
Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,
 +
<math>\chi(x_1, \dots, x_n)</math> — его характеристическая функция.
 +
Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,
 +
а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.
 +
В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>.
  
Проблема в том, что нужно показать, что любая непрерывная кривая не может пройти из точки одного множества в точку другого множества не пересекая плоскость.
+
<math> \displaystyle
Но для этого нам необходимо понятие непрерывности, а непрерывность связана с топологией. А у нас есть только афинное пространство, но нет топологии.
+
x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\
Пример с Парижской железнодорожной метрикой. '''TOTO'''
+
\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\
 +
J =
 +
\begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n
 +
\\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n
 +
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1
 +
\end{vmatrix} \text{,}\\
 +
\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n
 +
= \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}
 +
</math>
  
Можно было бы воспользоваться аналогом леммы Жордана о том, что любая замкнутая кривая без самопересечений делит пространство на две области, но у нас нет области, потому что понятие области связано с топологией.
+
== См. также==
 +
* [[Аффинное пространство]]
  
В афинном пространстве можно вполне естественно ввести евклидовскую метрику: ввести скалярное произведение, а затем показать, что корень из скалярного произведения задает метрику. Тогда эта метрика будет индуцировать топологию открытыми шарами, а значит, можно будет воспользоваться аналогом теоремы Жордана.
+
==Примечания==
  
Эта история о том, что даже когда мы притворяемся, что у нас нет метрики, мы неявно испоользуем топологию, индуцированную этой метрикой. Но, метрика, не единственна, и топология не единственна. Иногда нам достаточно топологии, которая даже может быть не индуцирована метрикой, или которая вообще не метризуема, но эта топология будет давать свойство непрерывности. Но тогда для нашей топогогии нужно будет доеказывать вышеупомянутый факт(про непрерывность кривой).
+
<references />
  
Итак, поворот классифицирует точки не лежащие на плоскости и разбивает их на два выпуклых множества
+
== Источники информации ==
  
==ОБЪЕМ==
+
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 +
[[Категория: Основание вычислительной геометрии]]

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

Общий случай

Объём в [math]n[/math]-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.

Определение:
Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
  1. У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
  2. Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.

За единицу объема принимается объем [math]n[/math]-мерного куба с ребром, равным единице.

Переход из одной системы координат в другую

Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.

Теорема (О замене переменных в [math]n[/math]-кратном интеграле):
Пусть даны две [math]n[/math]-мерные области: [math](D)[/math] в пространстве [math]x_1 x_2\dots x_n[/math] и [math](\Delta)[/math] в пространстве [math] \xi_1\xi_2\dots\xi_n[/math], ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Между ними с помощью формул

[math] \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ \dotfill \\ x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \end{cases} [/math]

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом [math] J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1} \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n} \end{vmatrix} [/math],

интеграл от непрерывной в [math](D)[/math] функции [math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math] может быть преобразован по формуле

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца[1].
[math]\triangleleft[/math]

Вычисление объема

Объём тела в [math]n[/math]-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n [/math],

где [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] – характеристическая функция геометрического образа тела.

Вычисление объема простых фигур

Параллелепипед

Пусть параллелепипед задаётся точкой [math]p[/math], и ЛНЗ векторами [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math], [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] — его характеристическая функция. Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку [math]p[/math], а затем заменим базис на [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math]. В новой системе координат параллелепипед будет областью [math]\left[0,1\right]^n[/math].

[math] \displaystyle x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\ \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\ J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix} \text{,}\\ \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.} [/math]

См. также

Примечания

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. — 440 c.

Источники информации