Объём — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Вычисление объема)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 10 промежуточных версий 3 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.  
 
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что :
+
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого)
+
# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
 
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.  
 
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.  
 
}}
 
}}
Строка 30: Строка 30:
 
<tex> J =  
 
<tex> J =  
 
\begin{vmatrix}  \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}  
 
\begin{vmatrix}  \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}  
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2}  
+
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2}  
 
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  
 
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n}
+
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n}
 
\end{vmatrix}
 
\end{vmatrix}
 
</tex>,
 
</tex>,
  
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1,x_2, \dots, х_n</tex>) можетбыть преобразован по формуле
+
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</tex> может быть преобразован по формуле
 
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =
 
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =
 
\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n  
 
\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n  
Строка 46: Строка 46:
  
 
===Вычисление объема===  
 
===Вычисление объема===  
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:
+
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл
  
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>, где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
+
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>,
 +
 
 +
где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
  
 
==Вычисление объема простых фигур==
 
==Вычисление объема простых фигур==
===Параллелограмм===
+
===Параллелепипед===
 +
Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,
 +
<math>\chi(x_1, \dots, x_n)</math> — его характеристическая функция.
 +
Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,
 +
а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.
 +
В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>.
 +
 
 +
<math> \displaystyle
 +
x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\
 +
\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\
 +
J =
 +
\begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n
 +
\\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n
 +
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p
 +
\end{vmatrix} =
 +
\begin{vmatrix}
 +
a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1
 +
\end{vmatrix} \text{,}\\
 +
\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n
 +
= \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}
 +
</math>
  
 
== См. также==
 
== См. также==

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

Общий случай

Объём в [math]n[/math]-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.

Определение:
Объем — это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что:
  1. У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
  2. Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.

За единицу объема принимается объем [math]n[/math]-мерного куба с ребром, равным единице.

Переход из одной системы координат в другую

Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Поскольку объем не инвариантен, он изменится.

Теорема (О замене переменных в [math]n[/math]-кратном интеграле):
Пусть даны две [math]n[/math]-мерные области: [math](D)[/math] в пространстве [math]x_1 x_2\dots x_n[/math] и [math](\Delta)[/math] в пространстве [math] \xi_1\xi_2\dots\xi_n[/math], ограниченные каждая одной непрерывной — гладкой или кусочно-гладкой — поверхностью. Между ними с помощью формул

[math] \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \\ \dotfill \\ x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n); \end{cases} [/math]

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом [math] J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1} \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_n} \end{vmatrix} [/math],

интеграл от непрерывной в [math](D)[/math] функции [math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math] может быть преобразован по формуле

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца[1].
[math]\triangleleft[/math]

Вычисление объема

Объём тела в [math]n[/math]-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл

[math]\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n [/math],

где [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] – характеристическая функция геометрического образа тела.

Вычисление объема простых фигур

Параллелепипед

Пусть параллелепипед задаётся точкой [math]p[/math], и ЛНЗ векторами [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math], [math]\chi(x_1, \dots, x_n)[/math] — его характеристическая функция. Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку [math]p[/math], а затем заменим базис на [math]\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n[/math]. В новой системе координат параллелепипед будет областью [math]\left[0,1\right]^n[/math].

[math] \displaystyle x_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\ \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\ J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix} \text{,}\\ \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.} [/math]

См. также

Примечания

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. — 440 c.

Источники информации