|
|
| (не показаны 52 промежуточные версии 5 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{
| + | Материал перенесён в [[Математическое ожидание случайной величины]], эту страницу нужно удалить --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 08:45, 13 января 2012 (MSK) |
| − | Теорема
| + | [[Категория:Удалить]] |
| − | |author=Кэли(''Cayley'')
| |
| − | |about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
| |
| − | |statement=
| |
| − | Любая конечная группа <tex>G</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).
| |
| − | | |
| − | |proof=
| |
| − | Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Вследствие существования обратного к <tex>g</tex> элемента <tex>g^{-1}</tex>, у этой функции есть обратная к ней <tex>f^{-1}_g</tex> , и поэтому <tex>f_g</tex> - перестановка.
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.
| |
| − | Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что
| |
| − | | |
| − | *<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.
| |
| − | | |
| − | Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.
| |
| − | | |
| − | *<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.
| |
| − | *Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
| |
| − | | |
| − | То есть <tex>T</tex> - гомоморфизм, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==Источники==
| |
| − | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
| |
