Вероятностное пространство, элементарный исход, событие

Основные определения

Определение:

Дискретным вероятностным пространством (англ. discrete probability space) называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества $\Omega$ и функции $p\colon \Omega \to \mathbb R_+$ ( $\Omega$ называется множеством элементарных исходов (англ. sample space), $\omega \in \Omega$ — элементарным исходом (англ. elementary outcome), такая, что $\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1$.

Определение:

$p$ называют дискретной вероятностной мерой (англ. discrete probability measure), или дискретной плотностью вероятности (англ. discrete probability density).

$p(\omega)$ — вероятность элементарного исхода.

Определение:

Множество $A \subset \Omega$ называется событием (англ. event).

$p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}$, то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение:

Прямым произведением вероятностных пространств (англ. direct product of probability spaces) $X=\langle\Omega_{1},p{}_{1}\rangle$ и $Y=\langle\Omega_{2},p{}_{2}\rangle$ называется такое вероятностное пространство $Z\:\langle\Omega,p\rangle \: = X\times Y$, что $\Omega=\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ $p(\omega_{1},\omega_{2}) = p(\omega_{1})\cdot p(\omega_{2})$

Другими словами, $\Omega$ — множество всех пар элементарных исходов из $X$ и $Y$ (т.е. декартово произведение этих множеств).

Примеры вероятностных пространств

1. Конечные вероятностные пространства
   1. Честная монета
      Множество исходов $\Omega = \left\{0,1\right\}$, где $0$ — выпадает орел, $1$ — выпадает решка. $p(0)=p(1)=0,5.$
      Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
      $\varnothing$: $p(\varnothing)=0$. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
      $\left\{0\right\}$: $p(0)=0,5$. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
      $\left\{1\right\}$: $p(1)=0,5$. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
      $\left\{0,1\right\}$: $p(\left\{0,1\right\})=1$. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
   2. Нечестная монета
      Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако $p(0)=x, p(1) = 1 - x=y$, где $x,y \in \left[ 0,1 \right ]$.
   3. Игральная кость
      Множество исходов $\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$. $p(i)= \dfrac {1}{6}.$ Рассмотрим некоторые события этого пространства.
      $A=\left\{1,2,3 \right\}$ : $p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.$ Вероятность выпадения одного из трех чисел из множества $A$ равна одной второй.
      $B=\left\{2,4 \right\}$ : $p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.$ Числа $2$ или $4$ выпадут с вероятностью одна треть.
   4. Колода карт
      $\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1 \ldots 4\right\}; j \in \left\{1 \ldots 13\right\} \right\}$. Здесь $i$ — масть, $j$ — достоинство карты.
      Вероятность элементарного исхода этого пространства $p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.$
2. Бесконечное вероятностное пространство
   Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на $i$-ом подбрасывании честной монеты в первый раз.
   Тогда вероятность исхода с номером $i$ равна: $p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .$
   Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным $\dfrac {1}{2} .$ Найдем сумму этой прогрессии: $\sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.$
   Так как сумма всех элементарных исходов равна $1,$ то это множество является вероятностным пространством.

См. также

• Дискретная случайная величина

Источники информации

• Википедия — Вероятностное пространство
• MachineLearning.ru — Дискретное вероятностное пространство
• Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.