Независимые события — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 10 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Основные определения ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Два события  <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)p(B) </tex>
+
Два события  <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 8: Строка 9:
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 
Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>
 
}}
 
}}
 
==Примеры==
 
*Игральная кость
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
 
 
<tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр
 
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>
 
 
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
 
 
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
 
 
<tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
 
*Карты
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти
 
 
<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства
 
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
 
 
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
 
 
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>, значит эти события независимы.
 
 
<tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.
 
*Честная монета
 
 
<tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла
 
 
<tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки
 
 
<tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, ..., k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>
+
События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
События <tex>A_{1}, ...,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы.
+
События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы.
  
 
}}
 
}}
Строка 65: Строка 33:
 
}}
 
}}
  
==Замечание==
+
==Примеры==
*Игральная кость
+
==== Игральная кость ====
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
 
<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения чётной цифры
  
Строка 75: Строка 43:
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  
  
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
  
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
+
Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.
*Карты
+
==== Карты ====
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  
 
<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  
  
Строка 87: Строка 55:
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
 
<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства
  
<tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex>
  
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>, значит эти события независимы.
+
Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.
*Честная монета
+
==== Честная монета ====
  
 
<tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла
 
<tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла
Строка 97: Строка 65:
  
 
<tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.
 
<tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.
*Тетраэдр Бернштейна
+
==== Тетраэдр Бернштейна ====
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности - это не одно и то же.
+
Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же.
  
 
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
 
Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.
Строка 112: Строка 80:
 
<tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex>
 
<tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex>
  
Так как только одна грань из четырёх содержит два цвета, вероятность пересечения любых двух из них равна:
+
Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий  равна:
 
 
 
<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} </tex>
 
<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} </tex>
  
<tex>p(A)p(B)=p(A)p(C)=p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>
  
 
Все события попарно независимы, так как:
 
Все события попарно независимы, так как:
 
   
 
   
<tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>
+
<tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>
  
<tex>p(A \cap C)=p(A)p(C)</tex>
+
<tex>p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)</tex>
  
<tex>p(B \cap C)=p(B)p(C)</tex>
+
<tex>p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)</tex>
  
 
Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}</tex>
 
Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}</tex>
  
<tex>p(A)p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}</tex>
+
<tex>p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}</tex>
 +
 
 +
Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)</tex>
 +
 
 +
Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия {{---}} не одно и то же, что мы и хотели показать.
  
Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A)p(B)p(C)</tex>
+
==См. также==
 +
*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
 +
*[[Дискретная случайная величина]]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
Строка 137: Строка 110:
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]
  
*Романовский И. В. Дискретный анализ
+
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Основные определения

Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math] p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) [/math]


Определение:
Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются несовместными (англ. mutually exclusive), если [math] A \cap B = \emptyset [/math]


Определение:
События называются независимыми в совокупности (англ. mutually independent), если для [math]\forall I\subset \{1, \ldots, k\}[/math] [math]p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})[/math]


Определение:
События [math]A_{1}, \ldots,A_{n}[/math] называются попарно независимыми (англ. pairwise independent), если для [math]\forall i \neq j[/math] [math]\Rightarrow A_{i}[/math] и [math]A_{j}[/math] — независимы.


Утверждение:
Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]:

Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math]. Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math]. Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math]. А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math].

[math] \Leftarrow [/math]:

Допустим [math]A[/math] является пустым множеством, тогда [math] A \cap B = \emptyset[/math]. Значит [math] p(A \cap B) = 0 [/math] и [math] p(A) \cdot p(B) = 0[/math]. Следовательно события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Игральная кость

[math] A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \{2\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}[/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math], значит эти события не независимы.

Карты

[math] A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

[math]p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math], значит эти события независимы.

Честная монета

[math] A = \{0\}\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\{1\}\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math], значит эти события несовместны.

Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

[math]p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}[/math]

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} [/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}[/math]

[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

См. также

Источники информации

  • Романовский И. В. Дискретный анализ