|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Производящая функция Дирихле''' (англ. ''Dirichlet generating functions'') последовательности <tex>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> — это формальный ряд вида:
| |
| − | <center>
| |
| − | <tex>A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</tex>,
| |
| − | </center>
| |
| − | }}
| |
| | | | |
| − | == Примечание ==
| |
| − | * Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
| |
| − | * Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
| |
| − | * Принято писать <tex> \frac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.
| |
| − |
| |
| − | == Примеры ==
| |
| − |
| |
| − | Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Дзета-функция Римана ''' (англ. ''The Riemann zeta function'') — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, состоящей из единиц:<center>
| |
| − | <tex>\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,</tex>
| |
| − | </center>
| |
| − |
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Таблица содержит последовательности производящих функций. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. <tex>[\zeta(s)]^2</tex> является последовательностью количества делителей числа. <tex>\mu(n)</tex> — последовательность Мҷбиуса (англ. Möbius). <tex>H(n)</tex> — последоватльность факторизаций числа. <tex>\phi(n)</tex> — функция Эйлера. <tex>\lambda(s)</tex> — лямбда функция Дирихле.
| |
| − | {| class="wikitable" style="width:20cm" border=1
| |
| − |
| |
| − | |-align="center" bgcolor=#EEEEFF
| |
| − | | '''<tex>f(s)</tex>''' || '''Последоватльность''' || '''<tex>{a_n}</tex>'''
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>\zeta(s)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>1/\zeta(s)</tex> || <tex>\mu(n)</tex> || <tex>1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>[\zeta(s)]^2</tex> || <tex>d(n)</tex> || <tex>1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>\zeta(s)\zeta(s-k)</tex> || <tex>\sigma_k(n)</tex> ||
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>\zeta(s-1)/\zeta(s)</tex> || <tex>\phi(n)</tex> || <tex>1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>1/[2-\zeta(s)]</tex> || <tex>H(n)</tex> || <tex>1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>\lambda(s)</tex> || <tex>1/2[1-(-1)^n]</tex> || <tex>1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots</tex>
| |
| − |
| |
| − | |-align="left" bgcolor=#FFFFFF
| |
| − | | <tex>(\zeta(s)\zeta(s-1))/(\zeta(2s))</tex> || <tex>\psi(n)</tex> || <tex>1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, \dots</tex>
| |
| − | |}
| |
| − | == Операции ==
| |
| − |
| |
| − | Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.
| |
| − |
| |
| − | === Умножение ===
| |
| − |
| |
| − | Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — произодящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответсвенно, то <tex>A(s)B(s) = \frac{a_1b_1}{1^s} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \frac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \frac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \frac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
| |
| − | === Сложение ===
| |
| − |
| |
| − | Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.
| |
| − |
| |
| − | //пример
| |
| − |
| |
| − | === Единица ===
| |
| − |
| |
| − | Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.
| |
| − |
| |
| − | === Обратимость ===
| |
| − |
| |
| − | Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>
| |
| − |
| |
| − | Attention!
| |
| − | Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана
| |
| − | == Источники информации ==
| |
| − | * [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/47_lando_lekcii_o_proizvodyashih_foo.pdf С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год]
| |
| − | * [http://mathworld.wolfram.com/DirichletGeneratingFunction.html Dirichlet Generating Function]
| |
| − | * [https://mathlesstraveled.com/2017/01/30/dirichlet-generating-functions/ Dirichlet generating functions]
| |
| − | * [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
| |
| − | * Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
| |
| − |
| |
| − | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
| |
| − | [[Категория: Комбинаторика]]
| |
