Построение компонент вершинной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 43 промежуточные версии 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Определение==
+
==Двупроходный алгоритм==
{{Определение
+
Найти [[Отношение вершинной двусвязности|компоненты вершинной двусвязности]] неориентированного графа можно с помощью [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин |обхода в глубину]].
|definition = Компонентой вершинной двусвязности графа <tex>G(V, E)</tex> называется подмножество ребер <tex> S \subset E </tex>, такое что любые два ребра из него лежат на вершинно простом цикле.
 
}}
 
  
Построение компонент вершинной двусвязности будем осуществлять с помощью обхода в глубину.
+
'''Первый проход:
==Двупроходный алгоритм==
+
[[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|ищем точки сочленения с помощью обхода в глубину]], заполняем массивы <tex>tin</tex> и <tex>up</tex>. <br>
'''Первый проход
 
Используем первый проход, чтобы [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|найти точки сочленения.]] <br>
 
Определим для каждой вершины две величины: <tex> enter [i] </tex> - время входа поиска в глубину в вершину <tex> i </tex>, <tex> return [i] </tex> – минимальное из времен входа вершин, достижимых из <tex> i </tex> по дереву <tex> dfs </tex> и не более, чем одному обратному ребру. Ребро к родителю не является обратным ребром. <br>
 
'''Псевдокод первого прохода:
 
    void dfs(v, parent) {
 
        enter[v] = return[v] = time++;
 
        used[v] = true;
 
        для всех  вершин u смежных v:
 
            если (u == parent):
 
                переходим к следующей итерации
 
            если (used[u]):
 
                return[v] := min(return[v], enter[u]);
 
            иначе:
 
                dfs(u, v);
 
                return[v] := min(return[v], return[u]);
 
    }
 
    void start() {
 
        used для всех вершин заполняем false
 
        для всех v вершин графа:
 
            если (!used[v]):
 
                time = 0;
 
                dfs(v, -1);
 
    }
 
  
'''Второй проход
+
'''Второй проход:
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
+
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее <tex> \exists </tex> непосредственный сын <tex> u : return[u] \ge enter[v] </tex>. <br> Это так же значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро, по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. <br>
+
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u</tex>, такой что <tex> up[u] \geqslant tin[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности. <br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
'''Псевдокод второго прохода:
+
=== Псевдокод второго прохода ===
    void dfs(v, c, parent) {
+
* Во время первого запуска <tex>dfs</tex> будут заполняться массивы <tex>tin</tex> и <tex>up</tex>, поэтому при запуске функции <tex>paint</tex> мы считаем, что они уже посчитаны.
        used[v] = true;
+
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.
        для всех  вершин u смежных v:
+
* <tex>\mathtt{color}</tex> хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция <tex>\mathrm{paint}</tex> для текущей вершины.
            если (u == parent):
+
* <tex>\mathtt{parent}</tex> {{---}} это вершина, из которой мы попали в текущую.
                переходим к следующей итерации
+
 
            если (!used[u]):
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>, color, parent):
                если (return[u] >= enter[v]):
+
  visited[<tex>v</tex>] = '''true'''
                    с2 = newColor();
+
  '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
                    col[vu] = c2;
+
    '''if''' <tex>u</tex> == parent
                    dfs(u, c2, v);
+
      '''continue'''
                иначе:
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
                    col[vu] = c;
+
      '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
                    dfs(u, c, v);
+
        newColor = ++maxColor
            иначе:
+
        col[<tex>vu</tex>] = newColor
                если (enter[u] <= enter[v]):
+
        paint(<tex>u</tex>, newColor, <tex>v</tex>)
                    col[vu] = c;         
+
      '''else'''
    }
+
        col[<tex>vu</tex>] = color
    void start() {
+
        paint(<tex>u</tex>, color, <tex>v</tex>)
        used для всех вершин заполняем false;
+
    '''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] <tex><</tex> tin[<tex>v</tex>]
        для всех v вершин графа:
+
      col[<tex>vu</tex>] = color
            если (!used[v]):
+
 
                dfs(v, -1, -1);
+
'''function''' solve():
    }
+
  '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 +
    dfs(<tex>v</tex>)   
 +
  '''for''' <tex> v \in V</tex>:
 +
    '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
 +
      maxColor++
 +
      paint(<tex>v</tex>, maxColor, -1)
 +
 
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 +
<br>
 +
В алгоритме выполняется два прохода <tex>dfs</tex>, каждый из которых работает <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Значит время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
==Однопроходный алгоритм==
+
== Однопроходный алгоритм ==
Предположим, что граф содержит точку сочленения <tex> i' \in V </tex> , за которой следует один или несколько блоков, содержащих вершины <tex> V' \subset V </tex>. В таком случае: <br>
+
Заведем [[Стек|стек]], в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека. <br>
 +
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.
 +
=== Доказательство корректности алгоритма ===
 +
Предположим, что граф содержит точку сочленения <tex> i' \in V </tex> , за которой следует один или несколько блоков. Вершины из этих блоков образуют подмножество <tex> V' \subset V </tex>. В таком случае: <br>
 
# Все вершины <tex> V' </tex> являются потомками <tex> i' </tex> в дереве обхода;
 
# Все вершины <tex> V' </tex> являются потомками <tex> i' </tex> в дереве обхода;
# Все вершины <tex> V' </tex> будут пройдены в течение периода серого состояния <tex> i' </tex>.
+
# Все вершины <tex> V' </tex> будут пройдены в течение периода серого состояния <tex> i' </tex>;
При этом в <tex> G </tex> не может быть обратных дуг из <tex> V' </tex> в <tex> V \setminus V' </tex>. Воспользуемся этим.
+
# В <tex> G </tex> не может быть обратных дуг из <tex> V' </tex> в <tex> V \setminus V' </tex>.<br>
Заведем стек, в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека. <br>
+
Значит все дуги <tex> V' </tex> будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного  с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.<br>
'''Псевдокод:
+
=== Псевдокод ===
    void dfs(v, parent) {
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>, parent):
        enter[v] = return[v] = time++;
+
  visited[<tex>v</tex>] = '''true'''
        used[v] = true;
+
  tin[<tex>v</tex>] = up[<tex>v</tex>] = time++
        для всех  вершин u смежных v:
+
  '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
            если (u == parent):
+
    '''if''' <tex>u</tex> == parent  
                переходим к следующей итерации
+
      '''continue'''
            если (!used[u]):
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
                stack.push(vu);
+
      stack.push(<tex>vu</tex>)
                dfs(u, v);
+
      paint(<tex>u, v</tex>)
                если (return[u] >= enter[v]):
+
      '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
                    c = newColor()
+
        color = maxColor++
                    пока (stack.top() <> (vu)):
+
        '''while''' stack.top() != (<tex>vu</tex>)
                        color[stack.top()] = c;
+
          colors[stack.top()] = color
                        stack.pop();
+
          stack.pop()
                    color[vu] = c;
+
        colors[<tex>vu</tex>] = color
                    stack.pop();
+
        stack.pop()
                если (return[u] < return[v]):
+
      '''if''' up[<tex>u</tex>] < up[<tex>v</tex>]
                    return[v] = return[u];
+
        up[<tex>v</tex>] = up[<tex>u</tex>]
            иначе:
+
    '''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] < tin[<tex>v</tex>]
                если (return[v] > enter[u]):
+
      stack.push(<tex>vu</tex>)
                    return[v] = return[u];
+
      '''if''' tin[<tex>u</tex>] < up[<tex>v</tex>]
    }
+
        up[<tex>v</tex>] = tin[<tex>u</tex>]
    void start() {
+
    '''else''' '''if''' up[<tex>v</tex>] > tin[<tex>u</tex>]
        used для всех вершин заполняем false
+
      up[<tex>v</tex>] = up[<tex>u</tex>]
        для всех v вершин графа:
+
 
            если (!used[v]):
+
'''function''' solve():
                time = 0;
+
  '''for''' <tex> v \in V</tex>:
                dfs(v, -1);
+
    dfs(<tex>v</tex>)
    }
+
  '''for''' <tex> v \in V</tex>:
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]:
 +
      time = 0
 +
      maxColor++
 +
      paint(<tex>v</tex>, -1)
 +
 
 +
Во время алгоритма совершается один проход <tex>dfs</tex>, который работает за <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет <tex>O(|E|)</tex> операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)</tex>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
*[[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
+
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
*[[Построение компонент реберной двусвязности]]
+
* [[Построение компонент реберной двусвязности]]
*[[Отношение вершинной двусвязности]]
+
 
==Литература==
+
== Источники информации ==
 
* В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 
* В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Дискретная математика: Алгоритмы {{---}} Компоненты двусвязности, мосты и точки сочленения]
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Двупроходный алгоритм

Найти компоненты вершинной двусвязности неориентированного графа можно с помощью обхода в глубину.

Первый проход: ищем точки сочленения с помощью обхода в глубину, заполняем массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math].

Второй проход: точка сочленения принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности. Вершина [math] v \ne root [/math] является точкой сочленения, если у нее есть сын [math] u[/math], такой что [math] up[u] \geqslant tin[v] [/math].
Это также значит, что ребро [math] vu [/math] содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину [math] v [/math] , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности.
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.

Псевдокод второго прохода

  • Во время первого запуска [math]dfs[/math] будут заполняться массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math], поэтому при запуске функции [math]paint[/math] мы считаем, что они уже посчитаны.
  • [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.
  • [math]\mathtt{color}[/math] хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция [math]\mathrm{paint}[/math] для текущей вершины.
  • [math]\mathtt{parent}[/math] — это вершина, из которой мы попали в текущую.
function paint([math]v[/math], color, parent):
  visited[[math]v[/math]] = true
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        newColor = ++maxColor
        col[[math]vu[/math]] = newColor
        paint([math]u[/math], newColor, [math]v[/math])
      else
        col[[math]vu[/math]] = color
        paint([math]u[/math], color, [math]v[/math])
    else if tin[[math]u[/math]] [math]\lt [/math] tin[[math]v[/math]]
      col[[math]vu[/math]] = color
function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])    
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor, -1)

Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
В алгоритме выполняется два прохода [math]dfs[/math], каждый из которых работает [math]O(|V| + |E|)[/math]. Значит время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Заведем стек, в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека.
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.

Доказательство корректности алгоритма

Предположим, что граф содержит точку сочленения [math] i' \in V [/math] , за которой следует один или несколько блоков. Вершины из этих блоков образуют подмножество [math] V' \subset V [/math]. В таком случае:

  1. Все вершины [math] V' [/math] являются потомками [math] i' [/math] в дереве обхода;
  2. Все вершины [math] V' [/math] будут пройдены в течение периода серого состояния [math] i' [/math];
  3. В [math] G [/math] не может быть обратных дуг из [math] V' [/math] в [math] V \setminus V' [/math].

Значит все дуги [math] V' [/math] будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.

Псевдокод

function paint([math]v[/math], parent):
  visited[[math]v[/math]] = true
  tin[[math]v[/math]] = up[[math]v[/math]] = time++
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent 
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      stack.push([math]vu[/math])
      paint([math]u, v[/math])
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        color = maxColor++
        while stack.top() != ([math]vu[/math])
          colors[stack.top()] = color
          stack.pop()
        colors[[math]vu[/math]] = color
        stack.pop()
      if up[[math]u[/math]] < up[[math]v[/math]]
        up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]
    else if tin[[math]u[/math]] < tin[[math]v[/math]] 
      stack.push([math]vu[/math])
      if tin[[math]u[/math]] < up[[math]v[/math]]
        up[[math]v[/math]] = tin[[math]u[/math]]
    else if up[[math]v[/math]] > tin[[math]u[/math]]
      up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]
function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]:
      time = 0
      maxColor++
      paint([math]v[/math], -1)

Во время алгоритма совершается один проход [math]dfs[/math], который работает за [math]O(|V| + |E|)[/math]. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет [math]O(|E|)[/math] операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)[/math]

См. также

Источники информации