Барицентр дерева

Определение:

Барицентром дерева (англ. tree barycenter) называется вершина [math] x [/math], у которой величина [math]d(x) = \sum\limits_v dist(x, v) [/math] минимальна, где [math] dist(x, v) -[/math] расстояние между вершинами [math] x [/math] и [math] v [/math].

Основные свойства

Лемма:

Пусть существуют вершины [math] y, z -[/math] соседи вершины [math] x [/math]. Тогда [math] 2d(x) \lt d(y) + d(z) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Подвесим дерево за вершину [math] x [/math]. Тогда дерево можно представить в виде объединения трёх непересекающихся множеств: [math] Y, Z \ - [/math] поддеревья с корнями в вершинах [math] y, z [/math] соответственно и [math] X = V_G \setminus (Y \cup Z) [/math]. Заметим, что все эти множества не пустые, так как содержат вершины [math] y, z, x [/math] соответственно. Найдём [math] d(x) [/math]. Простой путь до вершины [math] t \in Y [/math] из [math] x [/math] всегда единственный и представим следующим образом: [math] x \rightarrow y \rightsquigarrow t[/math]. Значит, все вершины из множества [math] Y [/math] находятся от [math] x [/math] на одно ребро дальше, чем от [math] y [/math]. Аналогично все вершины из множеств [math] Z, X [/math] ближе на одно ребро к [math] x [/math], чем к [math] y [/math]. Тогда [math] d(x) = d(y) + |Y| - |Z| - |X| [/math]. Аналогично [math] d(x) = d(z) + |Z| - |Y| - |X| [/math]. Сложим эти уравнения и получим: [math] 2d(x) = d(y) + d(z) - 2|X| [/math]. При этом [math] |X| \gt 0 [/math]. Таким образом, [math] 2d(x) \lt d(y) + d(z) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Функция [math] d(x) [/math] строго выпукла на любом пути в дереве.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Признак непрерывной строго выпуклой функции : [math] \forall x, y \in \mathbb{R} (x \neq y) [/math] выполнено [math] 2f(\displaystyle \frac{x+y}{2}) \lt f(x) + f (y) [/math]. Будем называть функцию строго выпуклой на множестве натуральных чисел, если предыдущее неравенство выполнено для всех [math] x, y \in \mathbb{N} [/math]. Введём функцию [math] g_p(x): \mathbb{N} \rightarrow V_G [/math], которая по номеру вершины в пути [math] p [/math] находит саму вершину. В дальнейшем [math] d(a) [/math] будем считать как [math] d(g_p(a)) [/math] для некоторого рассматриваемого пути [math] p [/math]. Доопределим функцию [math] d(x) [/math] так, чтобы в точке [math] a + \displaystyle \frac{1}{2} [/math], где [math] a \in \mathbb{N} [/math] она принимала значение, строго меньшее [math] \displaystyle \frac{d(a)+d(a+1)}{2} [/math]. Это нужно сделать, потому что не всегда [math] \displaystyle \frac{a+b}{2} \in \mathbb{N}[/math]. Докажем, что такая функция строго выпукла на множестве натуральных чисел. Есть два случая: когда расстояние между [math] x, y [/math] четное и нечетное. Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Пусть в пути от [math] x [/math] до [math] y [/math], кроме них есть только вершина [math] z [/math]. Тогда по предыдущей лемме неравенство очевидно. Пусть есть другие вершины, кроме [math] x, y, z [/math], тогда их не меньше двух, так как [math] dist(x, y) [/math] четно. Рассмотрим тогда в этом пути вершины, которые находятся от [math] z [/math] на расстоянии не больше [math] 2 [/math] (пусть они идут в порядке: [math] a b z c d [/math]), и докажем, что неравенство всё ещё сохраняется. [math] 4d(z) \lt 2d(b) + 2d(c) \lt d(a) + d(z) + d(z) + d (b) \Rightarrow 2d(z) \lt d(a) + d (b)[/math]. Так будем увеличивать расстояние от [math] z [/math] и придём к вершинам [math] x, y [/math], сохраняя инвариант.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о числе барицентров):

В дереве не более [math] 2 [/math] барицентов

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть в дереве есть хотя бы [math] 3 [/math] барицентра: [math] a, b, c [/math]. Тогда рассмотрим путь, начинающийся в [math] a [/math] и заканчивающийся в [math] b [/math]. Так как [math] d(a) = d(b) = d_{min} [/math], и функция [math] d(x) [/math] строго выпукла, вершины [math] a, b [/math] являются соседями. В противном случае, или в этом пути есть вершина [math] v: d(v) \lt d_{min} [/math], или для всех вершин [math] u [/math] в пути [math] d(u) = d_{min} [/math]. Первое предположение противоречит тому, что [math] a, b \ - [/math] барицентры, а второе [math] - [/math] тому, что функция [math] d(x) [/math] строго выпукла. Таким образом, вершины [math] a, b [/math] являются соседями. Аналогично доказывается, что вершины [math] b, c [/math] и [math] a, c \ -[/math] соседи. Но в таком случае в дереве образовался цикл, что противоречит определению дерева. Таким образом, более [math] 2 [/math] барицентров в дереве быть не может.

[math]\triangleleft[/math]

Центр дерева

Определение:

Центром дерева (англ. Tree center) называется вершина [math] x [/math], для которой величина [math] \max\limits_v dist(x, v) [/math] минимальна.

Теорема:

Для любого числа [math] k [/math] существует дерево, в котором расстояние между центром и барицентром дерева не меньше [math] k [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим дерево, построенное следующим образом: к вершине дерева [math] x [/math] подвесим [math] n [/math] свободных вершин (в дереве они станут листьями) и бамбук, расстояние в котором от листа до [math] x [/math] назовём числом [math] l [/math]. Докажем, что существуют такие [math] n, l [/math], что расстояние между центром и барицентром не меньше [math] k [/math]. Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные [math] l. [/math] Назовём лист бамбука вершиной [math] a [/math], а центр дерева [math]- \ c [/math]. Тогда [math] dist(a, c) = \displaystyle \frac{l+1}{2} [/math]. Теперь будем искать, какое [math] n [/math] стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина [math] x [/math]. Найдём [math] d(x) [/math]: [math] d(x) = n + 1 + \dots + l = n + \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} [/math]. Рассмотрим вершину [math] v \neq x [/math]. [math] d(v) \gt 2(n-1) [/math], так как все вершины, кроме [math] x [/math] удалены хотя бы на расстояние [math] 2 [/math] от [math] n-1 [/math] вершины. В таком случае, [math] d(x) \lt d(v) \Leftarrow n \gt \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} + 2 [/math]. Мы получили, что [math] dist(c, x) = \displaystyle \frac{l-1}{2} [/math], и [math] x [/math] является барицентром. Найдём такие [math] l ,[/math] что [math] \displaystyle \frac{l-1}{2} \geqslant k[/math]. Для этого можно взять любое [math] l \geqslant 2k + 1 [/math]. Таким образом, искомые [math] n, l [/math] существуют.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: доказательство существования такого [math] n [/math], чтобы вершина [math] x [/math] была барицентром можно было проводить и менее строго, ведь очевидно, что при больших [math] n [/math] у барицентра должно быть минимальное расстояние до [math] n [/math] листьев. И такой вершиной и является [math] x [/math].

См. также

• Выпуклые функции
• Дерево, эквивалентные определения

Источники информации

• Melnikov O.. «Exercises in Graph Theory» — «Springer», 2013 г. — 47-48 стр. — ISBN 978-94-017-1514-0