Незнакопостоянные ряды

Определение

Определение:

Если в ряду есть бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов, то такой ряд называется незнакопостоянным

Утверждение:

Исследование незнакопостоянных рядов во сто крат сложнее исследования знакопостоянных

Пример незнакопостоянного ряда: [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{\sin k}k[/math]

Для таких рядов вводится дополнительная терминология. Пусть дан незнакопостоянный ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math]. Составим ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty |a_k|[/math].

Определение:

Если ряд из модулей сходится, то [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math] называют абсолютно сходящимся, иначе — условно-сходящийся.

[math]\left|\sum\limits_{k = n}^{n + p}a_n\right| \leq \sum\limits_{k = n}^{n + p}|a_k|[/math]. По критерию Коши видим, что абсолютно сходящийся ряд сходится и сам по себе. Устремляя [math]n \to \infty[/math], получаем [math]\left|\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n\right| \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty |a_k|[/math].

Введём для условно-сходящихся рядов два важных дополнительных ряда.

Определение:

[math]\forall x\in \mathbb{R}\ x^+ = \begin{cases}x, & x \gt 0\\0, & x \leq 0 \end{cases}[/math]

Определение:

[math]\forall x\in \mathbb{R}\ x^- = \begin{cases}0, & x \geq 0\\ -x, & x \lt 0\end{cases}[/math]

Отсюда, имея ряд [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k[/math], построим ряды [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a^+_k[/math] и [math]\sum\limits_{k=1}^\infty a^-_k[/math]. Они положительны по определению [math]x^+[/math] и [math]x^-[/math].

В силу оценок [math]a_n^+ \leq |a_n|[/math], если ряд абсолютно сходится, то сходятся и оба вспомогательных ряда и

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k^+ - \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k^-[/math].

Утверждение:

Если ряд условно сходится, то [math]\sum a_n^+[/math] и [math]\sum a_n^-[/math] расходятся

[math]\triangleright[/math]

Предположим на секунду, что [math]\sum a_n^+[/math] сходится. Но [math]a_n^- = a_n^+ - a_n[/math]. Тогда, по линейности рядов, начнёт сходиться и ряд [math]\sum a_n^-[/math]. Тогда, по линености рядов, так как [math]|a_n| = a_n^+ + a_n^-[/math], начнёт сходиться и ряд [math]\sum |a_n|[/math]. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Именно этим и объясняется сложность исследования условно-сходящихся рядов.

Ряд Лейбница

Определение:

[math]\sum\limits_{k = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n[/math], [math]a_n \geq 0[/math] — знакочередующийся ряд

Определение:

Знакочередующийся ряд, в котором [math]a_n[/math] убывает и [math]a_n[/math] стремится к нулю — ряд Лейбница

Например, [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty (-1)^{n - 1} \frac1n[/math] — ряд Лейбница. Позже мы докажем, что сумма этого ряда равна [math]\ln 2[/math].

Перед формулировкой теоремы введём понятие «остатка ряда».

Определение:

Пусть дан сходящийся ряд. Рассмотрим [math]S_{n + m} = S_n + a_{n + 1} + \ldots + a_{n + m}[/math]. Так как ряд сходящийся, у частичных сумм есть предел [math]S[/math]. Зафиксируем в равенстве [math]n[/math] и устремим [math]m[/math] к бесконечности. Тогда в пределе, [math]S = S_n + \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k[/math]. Тогда остатком ряда называют [math]R_n = \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k[/math].

По определению остатка ряда, [math]S = S_n + R_n[/math].

Утверждение:

[math]\lim\limits_{n \to \infty} R_n = 0[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]S = S_n + \lim\limits_{n \to \infty} R_n[/math]. При [math]n \to \infty[/math], [math]\lim\limits_{n \to \infty} R_n = 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Лейбниц):

1. Любой ряд Лейбница сходится. 2. Для остатка такого ряда справедлива оценка [math]|R_n| \leq |a_{n + 1}|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Рассмотрим суммы с чётными номерами. В силу определения ряда Лейбница, [math]S_{2n} = (a_1 - a_2) + \ldots + (a_{2n - 1} - a_{2n})[/math] По условию теоремы каждая скобка неотрицательна, значит, [math]S_{2n}[/math] возрастает. Рассмотрим [math]S_{2n + 1} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2n} - a_{2n - 1})[/math] Каждая скобка неотрицательна [math]\Rightarrow[/math] [math]S_{2n+1}[/math] убывает. [math]S_{2n + 1} = S_{2n} + a_{2n + 1}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]S_{2n} \leq S_{2n+1} \leq S_1 [/math]. Тогда [math]S_{2n}[/math] ограничена сверху. Тогда по теореме Вейерштрасса, [math]S_{2n}[/math] сходится. Но так как [math]S_{2n + 1} = S_{2n} + a_{2n + 1}[/math] и [math]a_{2n + 1} \to 0[/math], то [math]S_{2n + 1} \to S[/math]. Значит, по принципу сжатой переменной, обе эти подпоследовательности стремятся к одному и тому же числу. Значит, вся последовательность стремится к [math]S[/math]. То есть, ряд Лейбница всегда сходится. 2. Теперь установим неравенство для остатков на примере чётного остатка. Случай нечётного рассматривается аналогично. [math]R_{2n} = a_{2n + 1} - (a_{2n + 2} - a_{2n + 3}) - \ldots[/math], т.е ряд Лейбница. [math]R_{2n} = a_{2n + 1} - (a_{2n + 2} - a_{2n + 3}) - \ldots[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]R_{2n} \leq a_{2n + 1}[/math] [math]R_{2n} = (a_{2n + 1} - a_{2n + 2}) + (a_{2n + 3} - a_{2n + 4}) + \ldots[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]R_{2n} \geq 0[/math] Значит, [math]|R_{2n}| = R_{2n}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|R_{2n}| \leq a_{2n + 1}[/math]. Для нечётного аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Абеля-Дирихле

Теперь установим признак сходимости более общего плана, чем только что установленная теорема Лейбница. Более того, из этого признака теорема Лейбница вытекает как частный случай, но это не умаляет её значения, ибо помимо сходимости эта теорема позволяет оценить остаток.

Теорема (Абель-Дирихле):

Пусть [math]\left|\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k\right| \leq M[/math], [math]a_n[/math] убывает и [math]a_n \to 0[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n b_n[/math] сходится.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По критерию Коши нужно установить, что [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0[/math]. Для этого применим приём, имеющий важное значение в анализе в целом — преобразование Абеля. [math]B_n = \sum\limits_{k = 1}^n b_n[/math], [math]b_k = B_k - B_{k - 1}[/math]. [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k =[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k(B_k - B_{k - 1}) =[/math] [math]\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_k - \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k B_{k - 1} =[/math] [math]\sum\limits_{j = n}^{n + p} a_j B_j - \sum\limits_{j = n - 1}^{n + p - 1} a_{j + 1} B_j =[/math] [math]a_{n + p}B_{n + p} - a_n B_{n - 1} + \sum\limits_{j = n}^{n + p - 1} (a_j - a_{j + 1}) B_j[/math] [math]\left|\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k b_k \right| \leq M(a_{n + p} + a_n) + M\sum\limits_{j = n}^{n + p - 1} a_j - a_{j + 1} =[/math] [math]M(a_{n + p} + a_n) + M(a_n - a_{n + p}) \leq 4Ma_n[/math] [math]a_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \Rightarrow 4Ma_n \to 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Рассмотрим действие этой теоремы на примере ряда [math]\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{\sin k}k[/math]. За [math]a_n[/math] возьмём [math]\frac1n[/math]. Она убывает, положительна и стремтся к нулю. [math]B_n = \sum\limits_{k = 1}^n \sin k[/math]

Докажем ограниченность [math]B_n[/math]. Домножим на [math]\sin \frac12[/math]

[math]\sin\frac12B_n=\sum\limits_{k = 1}^n\sin\frac12\sin k =[/math] [math]\sum\limits_{k = 1}^n\frac12(\cos(k - \frac12) - \cos(k + \frac12)) =[/math] [math]\frac12(\cos \frac12 - \cos(k + \frac12))[/math]. Это, очевидно, ограничено.