Производящая функция Дирихле — различия между версиями
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 37 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 11: | Строка 11: | ||
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой. | * Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой. | ||
* Принято писать <tex> \dfrac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой. | * Принято писать <tex> \dfrac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой. | ||
− | == Операции == | + | == Операции над производящими функциями Дирихле== |
− | |||
− | |||
− | |||
=== Сложение === | === Сложение === | ||
Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей. | Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей. | ||
+ | |||
+ | === Умножение === | ||
+ | |||
+ | Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — производящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответственно, то <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. | ||
=== Единица === | === Единица === | ||
Строка 26: | Строка 27: | ||
=== Обратимость === | === Обратимость === | ||
− | Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом | + | Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом (<tex>a_1 \neq 0</tex>) обратима, то есть для неё существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>. |
− | Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} | + | Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, что в нашем случае равно <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. Получаем, что <tex>a_1b_1 = 1</tex>, тогда <tex>b_1 = \dfrac{1}{a_1}</tex>. Остальные слагаемые равны <tex>0</tex>. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед <tex>\dfrac{1}{n^s}</tex> равен <tex>\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}</tex>. Отсюда <tex>{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}</tex> для всех <tex>n>1</tex>. |
<!---- | <!---- | ||
Строка 37: | Строка 38: | ||
== Применение == | == Применение == | ||
− | Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел. | + | Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Мультипликативные функции]</ref>. |
− | {{Определение | + | <!------------jalko stirat' no net mesta---------{{Определение |
|definition = | |definition = | ||
'''Мультипликативная функция''' (''multiplicative function'') {{---}} функция <math>f(m)</math>, такая что | '''Мультипликативная функция''' (''multiplicative function'') {{---}} функция <math>f(m)</math>, такая что | ||
Строка 45: | Строка 46: | ||
:: <math>f(1)=1</math>. | :: <math>f(1)=1</math>. | ||
+ | }}----------> | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition = | ||
+ | '''Мультипликативная последовательность''' (''multiplicative sequence'') {{---}} последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, такая что <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> для любых чисел <math>m</math> и <math>n</math>. | ||
}} | }} | ||
+ | Заметим, что для мультипликативных последовательностей <tex>a_1=1</tex>. Иначе равенство <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> при <tex>m=1</tex> не выполнено, если <tex>a_1\neq 0</tex> либо превращается в нулевую последовательность, если <tex>a_1=0</tex>. | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= Последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex> является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид | |statement= Последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex> является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид | ||
− | <tex>A(s)= \prod\limits_p(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^ns})</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения. | + | <tex>A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^{ns}}\bigg)</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения. |
}} | }} | ||
Строка 92: | Строка 98: | ||
|} | |} | ||
− | ==Свойства производящих функций Дирихле== <!-------xz как назвать, потом придумаю)))-------> | + | ==Свойства некоторых производящих функций Дирихле== <!-------xz как назвать, потом придумаю)))-------> |
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 100: | Строка 106: | ||
<tex>\mu_n = \begin{cases} | <tex>\mu_n = \begin{cases} | ||
− | (-1)^{t_n} \\ | + | (-1)^{t_n} & \text{где } t_n \text{ равно количеству простых делителей числа } n \text{, если в разложении этого числа они не повторяются} \\ |
− | 0 | + | 0 & \text{иначе} |
\end{cases}</tex> <!------ !!! how to make po-russki ??? -----> | \end{cases}</tex> <!------ !!! how to make po-russki ??? -----> | ||
|proof = | |proof = | ||
Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда | Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда | ||
− | <tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k} | + | <tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}</tex>. |
− | Действительно, пусть разложение n на простые множители имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1 | + | Действительно, пусть [[Разложение на множители (факторизация)|разложение <tex>n</tex> на простые множители]] имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}</tex>. Тогда коэффициент при <tex>m^{−s}</tex> функции <tex>M(s)</tex> участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если <tex>m</tex> является произведением некоторого подмножества множества простых чисел <tex>n = p_1\ldots p_{t_n}</tex>. Число таких подмножеств из <tex>k</tex> элементов равно <tex>\dbinom{t_n}{k}</tex>, а знак соответствующего коэффициента при <tex>m^{−s}</tex> равен <tex>(-1)^{k}</tex>. |
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |statement = Пусть <tex>f_n,g_n</tex> такие, что <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex>. Тогда <tex>g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k | + | |statement = Пусть <tex>f_n,g_n</tex> такие, что <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex>. Тогда <tex>g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k f_k</tex>. |
− | |proof = Равенство <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex> означает, что <tex>F(s) = \zeta(s) | + | |proof = Равенство <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex> означает, что <tex>F(s) = \zeta(s)G(s)</tex>, где <tex>F(s),G(s)</tex> {{---}} производящие функции Дирихле для последовательностей <tex>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> и <tex>\{g_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> соответственно. Домножим левую и правую части на <tex>M(s)</tex>. Получаем <tex>M(s)F(s) = M(s)\zeta(s)G(s)</tex>, а правая часть равна <tex>G(s)</tex>, так как <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> сокращаются по предыдущей теореме. |
}} | }} | ||
Строка 118: | Строка 124: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement=<tex>\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения. | |statement=<tex>\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения. | ||
+ | |proof = Данное равенство верно, если <tex>M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^{-s})}</tex>. Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых <tex>n</tex> представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса. | ||
}} | }} | ||
Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022
Определение: |
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности , | — это формальный ряд вида:
Примечание
- Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
- Вместо переменной используется . Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
- Принято писать вместо . Это считается более удобной формой.
Операции над производящими функциями Дирихле
Сложение
Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.
Умножение
Если
и — производящие функции Дирихле двух последовательностей и соответственно, то , где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа в произведение двух сомножителей.Единица
Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция
.Обратимость
Любая производящая функция Дирихле
с ненулевым свободным членом ( ) обратима, то есть для неё существует функция , такая что .Действительно, по правилу перемножения функций имеем
, что в нашем случае равно . Получаем, что , тогда . Остальные слагаемые равны . Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед равен . Отсюда для всех .
Применение
Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел[1].
Определение: |
Мультипликативная последовательность (multiplicative sequence) — последовательность | , такая что для любых чисел и .
Заметим, что для мультипликативных последовательностей
. Иначе равенство при не выполнено, если либо превращается в нулевую последовательность, если .Утверждение: |
Последовательность является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид
, где принимает все простые значения. |
Примеры
Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана.
Определение: |
Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности
| , состоящей из единиц:
Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. является последовательностью количества делителей числа[2]. — последовательность Мёбиуса [3]. — последовательность факторизаций числа, — функция Эйлера.
Последовательность | ||
Свойства некоторых производящих функций Дирихле
Теорема: |
Функция Мёбиуса имеет вид:
, где |
Доказательство: |
Перемножим функции Действительно, пусть и и рассмотрим коэффициент при . Назовём его . Тогда . разложение имеет вид на простые множители . Тогда коэффициент при функции участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если является произведением некоторого подмножества множества простых чисел . Число таких подмножеств из элементов равно , а знак соответствующего коэффициента при равен . |
Теорема: |
Пусть такие, что . Тогда . |
Доказательство: |
Равенство | означает, что , где — производящие функции Дирихле для последовательностей и соответственно. Домножим левую и правую части на . Получаем , а правая часть равна , так как и сокращаются по предыдущей теореме.
Утверждение: |
, где принимает все простые значения. |
Данное равенство верно, если | . Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.