Язык Дика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 16 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|definition=Пусть <tex>A = \{a_1, a_2, \ldots , a_k\}</tex> — произвольный конечный набор различных букв. '''Словом''' в алфавите <tex>A</tex> называется произвольная конечная последовательность буквa <tex>a_1 a_2 \ldots a_m,</tex> где <tex>a_i \in A , i = 1, \ldots , m</tex>. Число <tex>m</tex> называется '''длиной слова'''. '''Языком''' над алфавитом <tex>A</tex> называется произвольное (конечное или бесконечное) множество слов в алфавите <tex>A</tex>.
 
}}
 
 
'''Пустое слово''' <tex>\lambda</tex> имеет длину <tex>0</tex> и может входить или не входить в язык.
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def2
 
|id=def2
|definition='''Язык Дика''' (англ. ''Dyck language'') — множество [[Правильные скобочные последовательности#Определения |правильных скобочных структур]] вместе с пустой структурой, образующее язык над алфавитом <tex>\{a, b\}</tex>.
+
|definition='''Язык Дика''' (англ. ''Dyck language'') — множество [[Правильные скобочные последовательности#Определения |правильных скобочных структур]] вместе с пустой структурой, образующее [[Основные определения, связанные со строками#deflanguage | язык]] над [[Основные определения, связанные со строками#alphabet | алфавитом]] <tex>\{a, b\}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def3
 
|id=def3
|definition='''Производящей функцией''' (англ. generating function) '''языка'''  <tex>L</tex> называется производящая функция <tex>L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots,</tex> где <tex>l_k</tex> есть число слов длины <tex>k</tex> в языке <tex>L</tex>.
+
|definition='''Производящей функцией''' (англ. generating function) '''языка'''  <tex>L</tex> называется [[Производящая функция | производящая функция]] <tex>L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots,</tex> где <tex>l_k</tex> есть число [[Основные определения, связанные со строками#string | слов]] длины <tex>k</tex> в языке <tex>L</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 21: Строка 13:
 
== Правила вывода в языке Дика ==
 
== Правила вывода в языке Дика ==
  
 +
Язык Дика является [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#lang | контекстно-свободным языком]].
 
Рассмотрим два ''правила вывода в языке Дика:''
 
Рассмотрим два ''правила вывода в языке Дика:''
 
:1)  <tex>r \longrightarrow \lambda</tex>
 
:1)  <tex>r \longrightarrow \lambda</tex>
Строка 35: Строка 28:
  
 
Ясно, что для каждого слова такое представление единственно.
 
Ясно, что для каждого слова такое представление единственно.
 +
 +
== Производящая функция для языка Дика ==
  
 
Вычислим с помощью правил вывода производящую функцию для языка Дика. Для этой цели выпишем '''некоммутативный производящий ряд''', перечисляющий слова языка. Этот ряд представляет собой формальную сумму всех слов языка, выписанных в порядке возрастания длины:
 
Вычислим с помощью правил вывода производящую функцию для языка Дика. Для этой цели выпишем '''некоммутативный производящий ряд''', перечисляющий слова языка. Этот ряд представляет собой формальную сумму всех слов языка, выписанных в порядке возрастания длины:
  
 
<tex>D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots</tex>
 
<tex>D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots</tex>
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=th1
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=
 +
Ряд <tex>D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots</tex> удовлетворяет уравнению <tex>D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)</tex>.
 +
|proof=
 +
Действительно, в левой части равенства <tex>D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)</tex> записана сумма всех слов языка Дика. Равенство означает справедливость утверждения:
 +
 +
Всякое слово в языке Дика есть либо
 +
:1) пустое слово,
 +
:2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.
 +
При этом такое представление единственно.
 +
}}
 +
 +
Чтобы перейти от '''некоммутативного''' производящего ряда к '''обычному''', сделаем подстановку <tex>a = s,\,b = s,\, \lambda = s^0 = 1</tex>. Уравнение <tex>D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)</tex> примет вид <tex>D(s, s) = 1 + s^2D(s, s)</tex>.
 +
 +
Отсюда, обозначив <tex>D(s, s)</tex> через <tex>d(s),</tex> получим <tex>d(s) = 1 + s^2d(s)^2</tex>
 +
 +
Решение <tex>d(s) = \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s^2}</tex>
 +
этого уравнения совпадает с производящей функцией для [[Числа Каталана#Вычисление производящей функции чисел Каталана | чисел Каталана]]. Необходимость подстановки <tex>s^2</tex> вместо <tex>s</tex> объясняется тем, что в языке Дика длина слова, составленного из <tex>n</tex> пар скобок, равна <tex>2n</tex>:  мы перечисляем слова по числу скобок, а не ''пар'' скобок.
 +
 +
== См. также ==
 +
*[[Производящая функция]]
 +
*[[Числа Каталана]]
 +
*[[Правильные скобочные последовательности]]
 +
*[[Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* С. А. Ландо: Лекции о производящих функциях
 +
* Гросс М., Лантен А.: Теория формальных грамматик
 +
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Производящая функция]]

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Определение:
Язык Дика (англ. Dyck language) — множество правильных скобочных структур вместе с пустой структурой, образующее язык над алфавитом [math]\{a, b\}[/math].


Определение:
Производящей функцией (англ. generating function) языка [math]L[/math] называется производящая функция [math]L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots,[/math] где [math]l_k[/math] есть число слов длины [math]k[/math] в языке [math]L[/math].


Правила вывода в языке Дика

Язык Дика является контекстно-свободным языком. Рассмотрим два правила вывода в языке Дика:

1) [math]r \longrightarrow \lambda[/math]
2) [math]r \longrightarrow arbr,[/math]

где [math]r[/math] — буква, не входящая в алфавит [math]\{a, b\}[/math],

стрелка [math]\longrightarrow[/math] заменяет фразу: если в слове есть буква [math]r[/math], то эту букву можно заменить на слово, стоящее справа от стрелки.

Правила вывода можно понимать следующим образом:

Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.

Ясно, что для каждого слова такое представление единственно.

Производящая функция для языка Дика

Вычислим с помощью правил вывода производящую функцию для языка Дика. Для этой цели выпишем некоммутативный производящий ряд, перечисляющий слова языка. Этот ряд представляет собой формальную сумму всех слов языка, выписанных в порядке возрастания длины:

[math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math]

Теорема:
Ряд [math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math] удовлетворяет уравнению [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Действительно, в левой части равенства [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math] записана сумма всех слов языка Дика. Равенство означает справедливость утверждения:

Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.
При этом такое представление единственно.
[math]\triangleleft[/math]

Чтобы перейти от некоммутативного производящего ряда к обычному, сделаем подстановку [math]a = s,\,b = s,\, \lambda = s^0 = 1[/math]. Уравнение [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math] примет вид [math]D(s, s) = 1 + s^2D(s, s)[/math].

Отсюда, обозначив [math]D(s, s)[/math] через [math]d(s),[/math] получим [math]d(s) = 1 + s^2d(s)^2[/math]

Решение [math]d(s) = \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s^2}[/math] этого уравнения совпадает с производящей функцией для чисел Каталана. Необходимость подстановки [math]s^2[/math] вместо [math]s[/math] объясняется тем, что в языке Дика длина слова, составленного из [math]n[/math] пар скобок, равна [math]2n[/math]: мы перечисляем слова по числу скобок, а не пар скобок.

См. также

Источники информации

  • С. А. Ландо: Лекции о производящих функциях
  • Гросс М., Лантен А.: Теория формальных грамматик