Язык Дика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|definition=Пусть <tex>A = \{a_1, a_2, \ldots , a_k\}</tex> — произвольный конечный набор различных букв. '''Словом''' в алфавите <tex>A</tex> называется произвольная конечная последовательность буквa <tex>a_1 a_2 \ldots a_m,</tex> где <tex>a_i \in A , i = 1, \ldots , m</tex>. Число <tex>m</tex> называется '''длиной слова'''. '''Языком''' над алфавитом <tex>A</tex> называется произвольное (конечное или бесконечное) множество слов в алфавите <tex>A</tex>.
 
}}
 
 
'''Пустое слово''' <tex>\lambda</tex> имеет длину <tex>0</tex> и может входить или не входить в язык.
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def2
 
|id=def2
Строка 21: Строка 13:
 
== Правила вывода в языке Дика ==
 
== Правила вывода в языке Дика ==
  
 +
Язык Дика является [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#lang | контекстно-свободным языком]].
 
Рассмотрим два ''правила вывода в языке Дика:''
 
Рассмотрим два ''правила вывода в языке Дика:''
 
:1)  <tex>r \longrightarrow \lambda</tex>
 
:1)  <tex>r \longrightarrow \lambda</tex>
Строка 68: Строка 61:
 
*[[Числа Каталана]]
 
*[[Числа Каталана]]
 
*[[Правильные скобочные последовательности]]
 
*[[Правильные скобочные последовательности]]
 +
*[[Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа]]
  
 
== Источники информации ==  
 
== Источники информации ==  
Строка 74: Строка 68:
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Производящая функция]]

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Определение:
Язык Дика (англ. Dyck language) — множество правильных скобочных структур вместе с пустой структурой, образующее язык над алфавитом [math]\{a, b\}[/math].


Определение:
Производящей функцией (англ. generating function) языка [math]L[/math] называется производящая функция [math]L(s) = l_0 + l_1 s + l_2 s^2 + \ldots,[/math] где [math]l_k[/math] есть число слов длины [math]k[/math] в языке [math]L[/math].


Правила вывода в языке Дика

Язык Дика является контекстно-свободным языком. Рассмотрим два правила вывода в языке Дика:

1) [math]r \longrightarrow \lambda[/math]
2) [math]r \longrightarrow arbr,[/math]

где [math]r[/math] — буква, не входящая в алфавит [math]\{a, b\}[/math],

стрелка [math]\longrightarrow[/math] заменяет фразу: если в слове есть буква [math]r[/math], то эту букву можно заменить на слово, стоящее справа от стрелки.

Правила вывода можно понимать следующим образом:

Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.

Ясно, что для каждого слова такое представление единственно.

Производящая функция для языка Дика

Вычислим с помощью правил вывода производящую функцию для языка Дика. Для этой цели выпишем некоммутативный производящий ряд, перечисляющий слова языка. Этот ряд представляет собой формальную сумму всех слов языка, выписанных в порядке возрастания длины:

[math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math]

Теорема:
Ряд [math]D(a, b) = \lambda + ab + aabb + abab + aaabbb + aababb + \ldots[/math] удовлетворяет уравнению [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Действительно, в левой части равенства [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math] записана сумма всех слов языка Дика. Равенство означает справедливость утверждения:

Всякое слово в языке Дика есть либо

1) пустое слово,
2) слово, в котором внутри самой левой пары соответственных скобок стоит некоторое слово языка Дика и после этой пары стоит слово языка Дика.
При этом такое представление единственно.
[math]\triangleleft[/math]

Чтобы перейти от некоммутативного производящего ряда к обычному, сделаем подстановку [math]a = s,\,b = s,\, \lambda = s^0 = 1[/math]. Уравнение [math]D(a, b) = \lambda + aD(a, b)bD(a, b)[/math] примет вид [math]D(s, s) = 1 + s^2D(s, s)[/math].

Отсюда, обозначив [math]D(s, s)[/math] через [math]d(s),[/math] получим [math]d(s) = 1 + s^2d(s)^2[/math]

Решение [math]d(s) = \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s^2}[/math] этого уравнения совпадает с производящей функцией для чисел Каталана. Необходимость подстановки [math]s^2[/math] вместо [math]s[/math] объясняется тем, что в языке Дика длина слова, составленного из [math]n[/math] пар скобок, равна [math]2n[/math]: мы перечисляем слова по числу скобок, а не пар скобок.

См. также

Источники информации

  • С. А. Ландо: Лекции о производящих функциях
  • Гросс М., Лантен А.: Теория формальных грамматик