Неравенства Гёльдера, Минковского

Неравенство Юнга

[math]\ln x[/math] выпукла вверх. Рассмотрим [math]\alpha_k \geq 0[/math], [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1[/math] и набор [math]\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}[/math].

Применим неравенство Йенсена [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math]. Потенцируем.

[math]e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}[/math]

Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:

[math]\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math] (неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим).

При [math]\alpha_k = \frac1n[/math] получается знакомая формула:

[math]\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n[/math]

Пусть теперь [math]n = 2[/math]. Тогда

[math]x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \overline{1, 2}[/math]

[math]u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}[/math]

[math]uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}[/math]

[math]p \gt 1[/math].

Определение:

Числа [math]p[/math] и [math]q[/math] называются сопряженными показателями, если [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math]

[math]\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}[/math] — неравенство Юнга.

Теорема Гёльдера

Теорема (Гёльдера):

Пусть [math]a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \gt 1[/math], [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math] Тогда [math] \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}[/math], [math]B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}[/math] По неравенству Юнга [math] \forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq \frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q [/math] Сложим по [math]k = \overline{1, n}[/math]: [math] \sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq \frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = [/math] [math]\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q = \frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q = 1 [/math] Получили, что [math]\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Полагая [math]p = q = 2[/math], для [math]a_k, b_k \gt 0[/math] получаем неравенство Коши для сумм:

[math] \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2}\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} [/math]

Теорема Минковского

Теорема (Минковского):

Пусть снова [math]a_1; a_2 \ldots a_n \gt 0[/math], [math]b_1; b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \ge 1[/math]. Тогда [math] \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

При [math]p = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть тогда [math]p \ne 1[/math]. [math]p \gt 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 \gt 0[/math]. Так как [math]p \gt 1[/math], положим [math]q = \frac{p}{p - 1}[/math]. Применяем к [math]\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}[/math] неравенство Гёльдера: [math] \sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{(p-1)q\,=\,p}\right)^{1/q} [/math] Используем аналогичное неравенство для [math]\sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1}[/math] : [math] \sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p = \sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq [/math] [math] \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} [/math] Сокращая обе части на [math]\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}[/math], окончательно получаем: [math] \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} = \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Неравенство Коши для сумм:

[math] \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} [/math]