Кратчайший путь в ациклическом графе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 37 промежуточных версий 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Определение|definition= '''Кратчайший путь''' из '''u''' в '''v''' – это любой путь '''p''' из '''u '''в '''v''', для которого <tex> w(p) = \delta(u, v)</tex>, где: <br>
+
{{Задача
* <tex>\boldsymbol w(p)</tex> = сумма весов всех ребер пути p
+
|definition =  
*<tex>\rm{\delta}(u, v) = \left\{\begin{array}{llcl}
+
Пусть дан [[Основные_определения_теории_графов |ациклический ориентированный взвешенный граф]]. Требуется найти вес [[Алгоритм_Дейкстры |кратчайшего пути]] из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
==Решение==
 +
Воспользуемся принципом оптимальности на префиксе.<br />
 +
Пусть <tex>d</tex> — функция, где <tex>d(i)</tex> — вес кратчайшего пути из <tex>u</tex> в <tex>i</tex>. Ясно, что <tex>d(u)</tex> равен <tex>0</tex>. Пусть <tex>w(i, j)</tex> {{---}} вес ребра из <tex>i</tex> в <tex>j</tex>. Будем обходить граф в порядке [[Использование_обхода_в_глубину_для_топологической_сортировки | топологической сортировки]]. Получаем следующие соотношения: <br />
 +
: <tex> d(i) = \min\limits_{\mathop{j:j \rightsquigarrow i}} (d(j) + w(j, i)) </tex>
 +
 
 +
Так как мы обходим граф в порядке [[Использование_обхода_в_глубину_для_топологической_сортировки |топологической сортировки]], то на <tex>i</tex>-ом шаге всем <tex>d(j)</tex> (<tex>j</tex> такие, что существует ребро из <tex>j</tex> в <tex>i</tex>) уже присвоены оптимальные ответы, и, следовательно, <tex>d(i)</tex> также будет присвоен оптимальный ответ.
  
min \text{ } \omega(p) \text{ for all ways p from u to v} ;&if  \text{ }\mathcal{9} p   \\
+
==Реализация==
\mathcal{1};&if \text{ } \nexists p\\
+
Реализуем данный алгоритм:
\end{array}\right.
+
  <font color=green>//w {{---}} матрица смежности</font>
</tex>
+
  <font color=green>//d {{---}} массив кратчайших расстояний</font>
}}
+
  <font color=green>//p {{---}} массив индексов вершин графа в порядке топологической сортировки</font>
 +
   '''for''' i = 1 .. n
 +
    d[i] = <tex>\infty</tex>
 +
  d[u] = 0 <font color=green>// где u {{---}} начальная вершина</font><br />
 +
  p = topSort(w) <font color=green>//топологическая сортировка графа</font>
 +
  '''for''' i = 1 .. n
 +
    '''for''' j: есть ребро из p[i] в j
 +
      d[j] = min(d[j], d[p[i]] + w[p[i]][j]) <br />
  
 +
==Пример==
 +
[[Файл:WayAcyclicGraph.png|thumb|right|500px|Граф из примера]]
 +
Пусть дана матрица смежности графа <tex>w</tex> со следующими весами ребер: <br />
 +
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
 +
|-
 +
| || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8'''
 +
|-
 +
| '''1''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  2  ||  -  ||  -  ||  -
 +
|-
 +
| '''2''' ||  1  ||  -  ||  1  ||  -  ||  4  ||  3  ||  -  ||  -
 +
|-
 +
| '''3''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  1  ||  -  ||  -
 +
|-
 +
| '''4''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -
 +
|-
 +
| '''5''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  3  ||  -  ||  -  ||  -  ||  1
 +
|-
 +
| '''6''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  5  ||  -  ||  -  ||  2  ||  -
 +
|-
 +
| '''7''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  2  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -
 +
|-
 +
| '''8''' ||  -  ||  -  ||  -  ||  1  ||  -  ||  -  ||  -  ||  -
 +
|}
 +
Требуется найти вес кратчайшего пути из '''2''' в '''4'''. <br />
 +
Массив <tex>p</tex> будет выглядеть следующим образом: <br />
 +
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
 +
|-
 +
| <tex>i</tex> || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8'''
 +
|-
 +
| <tex>p[i]</tex> || 2 || 3 || 6 || 7 || 1 || 5 || 8 || 4
 +
|}
 +
Массив <tex>d</tex> будет выглядеть следующим образом:  <br />
 +
{| class="wikitable" cellpadding="4" border="1" style="border-collapse: collapse;"
 +
|-
 +
| <tex>i</tex> || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8'''
 +
|-
 +
| <tex>d[i]</tex> || 1 || 0 || 1 || 5 || 3 || 2 || 4 || 4
 +
|}
  
 +
Ответ равен <tex>5</tex>.
  
==Принцип оптимальности на префиксе==
+
==Альтернативный способ решения==
Префикс оптимального решения сам является оптимальным решением (в другой подзадаче)<br>
+
Решим задачу, используя [[Обход_в_ширину |обход в ширину]]. Для этого заведем массив, в котором будем хранить веса кратчайших расстояний от начальной вершины до всех остальных. Совершая обход по графу, будем в каждой вершине для всех ее потомков проверять, уменьшится ли вес кратчайшего пути до сына, если пройти через текущую вершину. Если да, то весу кратчайшего расстояния до сына присваиваем значение, равное сумме веса кратчайшего расстояния до текущей вершины и стоимости прохода по ребру между вершиной и ее сыном.
<tex>a \rightsquigarrow b \rightsquigarrow c </tex>  <br>
+
В силу особенности обхода графа, обновление весов кратчайших путей до сыновей вершины происходит только тогда, когда для нее уже найден оптимальный ответ.
Если ac - оптимальное решение , то и ab (префикс ac) тоже является оптимальным решением.<br>
 
  
== ==
+
==См. также==
 +
*[[Алгоритм_Флойда_—_Уоршалла |Алгоритм Флойда—Уоршалла]]
 +
*[[Алгоритм_Форда-Беллмана |Алгоритм Форда-Беллмана]]
  
Для нахождения кратчайшего пути в графе заведем функцию переменную opt[x], в которой хранится длина кратчайшего пути до вершины х.<br>
+
==Источники информации==
В общем случае мы можем написать: <br>
+
*[http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/960208.html Алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе]
<tex>opt[u] = min_{v,u \in E}  (opt[v] + cost(vu))</tex>, где  cost(vu) - вес ребра из u в v.  <br>
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_substructure Wikipedia {{---}} Optimal substructure]
Будем обходить вершины в порядке, обратном к топологической сортировке.
+
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория:Динамическое программирование]]

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022

Задача:
Пусть дан ациклический ориентированный взвешенный граф. Требуется найти вес кратчайшего пути из [math]u[/math] в [math]v[/math].


Решение

Воспользуемся принципом оптимальности на префиксе.
Пусть [math]d[/math] — функция, где [math]d(i)[/math] — вес кратчайшего пути из [math]u[/math] в [math]i[/math]. Ясно, что [math]d(u)[/math] равен [math]0[/math]. Пусть [math]w(i, j)[/math] — вес ребра из [math]i[/math] в [math]j[/math]. Будем обходить граф в порядке топологической сортировки. Получаем следующие соотношения:

[math] d(i) = \min\limits_{\mathop{j:j \rightsquigarrow i}} (d(j) + w(j, i)) [/math]

Так как мы обходим граф в порядке топологической сортировки, то на [math]i[/math]-ом шаге всем [math]d(j)[/math] ([math]j[/math] такие, что существует ребро из [math]j[/math] в [math]i[/math]) уже присвоены оптимальные ответы, и, следовательно, [math]d(i)[/math] также будет присвоен оптимальный ответ.

Реализация

Реализуем данный алгоритм:

 //w — матрица смежности
 //d — массив кратчайших расстояний 
 //p — массив индексов вершин графа в порядке топологической сортировки
 for i = 1 .. n
   d[i] = [math]\infty[/math]
 d[u] = 0 // где u — начальная вершина
p = topSort(w) //топологическая сортировка графа for i = 1 .. n for j: есть ребро из p[i] в j d[j] = min(d[j], d[p[i]] + w[p[i]][j])

Пример

Граф из примера

Пусть дана матрица смежности графа [math]w[/math] со следующими весами ребер:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 - - - - 2 - - -
2 1 - 1 - 4 3 - -
3 - - - - - 1 - -
4 - - - - - - - -
5 - - - 3 - - - 1
6 - - - 5 - - 2 -
7 - - - 2 - - - -
8 - - - 1 - - - -

Требуется найти вес кратчайшего пути из 2 в 4.
Массив [math]p[/math] будет выглядеть следующим образом:

[math]i[/math] 1 2 3 4 5 6 7 8
[math]p[i][/math] 2 3 6 7 1 5 8 4

Массив [math]d[/math] будет выглядеть следующим образом:

[math]i[/math] 1 2 3 4 5 6 7 8
[math]d[i][/math] 1 0 1 5 3 2 4 4

Ответ равен [math]5[/math].

Альтернативный способ решения

Решим задачу, используя обход в ширину. Для этого заведем массив, в котором будем хранить веса кратчайших расстояний от начальной вершины до всех остальных. Совершая обход по графу, будем в каждой вершине для всех ее потомков проверять, уменьшится ли вес кратчайшего пути до сына, если пройти через текущую вершину. Если да, то весу кратчайшего расстояния до сына присваиваем значение, равное сумме веса кратчайшего расстояния до текущей вершины и стоимости прохода по ребру между вершиной и ее сыном. В силу особенности обхода графа, обновление весов кратчайших путей до сыновей вершины происходит только тогда, когда для нее уже найден оптимальный ответ.

См. также

Источники информации