Формула Эйлера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Двумерный случай==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Формула Эйлера
+
формула Эйлера
 
|statement=
 
|statement=
 
Для произвольного [[Укладка графа на плоскости|плоского]] связного графа <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершинами, <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> [[Укладка графа на плоскости|гранями]] справедливо следующее соотношение:
 
Для произвольного [[Укладка графа на плоскости|плоского]] связного графа <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершинами, <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> [[Укладка графа на плоскости|гранями]] справедливо следующее соотношение:
 
<br/><tex>V - E + F = 2</tex>
 
<br/><tex>V - E + F = 2</tex>
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:Многоугольник.GIF|150px|thumb|right|рис. 1]]
+
 
[[Файл:плоский граф.gif|150px|thumb|right|рис. 2]]
+
 
 
Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
 
Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
 
<br />
 
<br />
Строка 15: Строка 16:
 
'''Индукционный переход''':  
 
'''Индукционный переход''':  
 
<br />
 
<br />
Покажем, что если теорема верна для графов с <tex>F</tex> гранями, то она будет верна и для графов с <tex>F + 1</tex> гранями. Пусть <tex>G</tex> - плоский граф, имеющий <tex>V</tex> вершин, <tex>E</tex> ребер и <tex>F</tex> граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани <tex>F_{\infty}</tex> некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа <tex>G</tex>. Если эта цепь имеет <tex>r</tex> ребер, то необходимо добавить <tex>r - 1</tex> новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как <tex>V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F</tex>
+
Покажем, что если теорема верна для графов с <tex>F</tex> гранями, то она будет верна и для графов с <tex>F + 1</tex> гранями. Пусть <tex>G</tex> {{---}} плоский граф, имеющий <tex>V</tex> вершин, <tex>E</tex> ребер и <tex>F</tex> граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани <tex>F_{\infty}</tex> некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа <tex>G</tex>. Если эта цепь имеет <tex>r</tex> ребер, то необходимо добавить <tex>r - 1</tex> новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как <tex>V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F = 2</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
{|align="center"
 +
|-valign="top"
 +
|[[Файл:Eulerformul1.png|300px|thumb|рис. 1]]
 +
|[[Файл:Eulerformul2.png|300px|thumb|рис. 2]]
 +
|}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|id=EulerFormulaCons
 
|about=
 
|about=
Следствие из формулы Эйлера
+
следствие из формулы Эйлера
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>G</tex> произвольный граф с <tex>V</tex> вершинами (<tex>V \ge 3</tex>), <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> гранями. Тогда <tex>E \le 3V - 6</tex>
+
Пусть <tex>G</tex> связный [[Укладка графа на плоскости|планарный]] обыкновенный граф с <tex>V</tex> вершинами (<tex>V \geqslant 3</tex>), <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> гранями. Тогда <tex>E \leqslant 3V - 6</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
+
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \geqslant 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \leqslant 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \leqslant 2E</tex>, то есть <tex>E \leqslant 3V - 6</tex>.
 
}}
 
}}
  
==Литература==
+
==Трехмерный случай==
* Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
+
 
* О.Оре - Графы и их применение
+
Покажем, что в трехмерном случае так же имеет место формула Эйлера.
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
формула Эйлера для многогранников
 +
|statement=
 +
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} число вершин, <tex>E</tex> {{---}} число ребер и <tex>F</tex> {{---}} число граней данного многогранника.
 +
|proof=
 +
[[Файл:Hypercube.gif|350px|thumb|right|Пример невыпуклого многоугольника для которого <tex dpi = 100>V - E + F = 0</tex>. Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба.]]
 +
Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим планарный граф, содержащий <tex>F' = F - 1</tex> внутренних граней, <tex>V</tex> вершин и <tex>E</tex> ребер.
 +
 
 +
Тогда справедливо уже доказанное соотношение: <tex>V - E + F ' = 1 </tex>.
 +
 
 +
Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
следствие из формулы Эйлера для многогранников
 +
|statement=
 +
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
 +
|proof=
 +
Обозначим через <tex>V_{i}</tex> число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа вершин <tex>V</tex> имеет место равенство <tex>V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots</tex>
 +
 
 +
Аналогично, обозначим через <tex>F_{i}</tex> число граней выпуклого многогранника, у которых имеется <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа граней <tex>F</tex> имеет место равенство <tex>F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots</tex>
 +
 
 +
Посчитаем число ребер <tex>E</tex> многогранника. Имеем: <tex>3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E</tex>, <tex>3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E</tex>.
 +
 
 +
По теореме Эйлера выполняется равенство <tex>4V - 4E + 4F = 8</tex>. Подставляя вместо <tex>V</tex>, <tex>E</tex> и <tex>F</tex> их выражения, получим:
 +
 
 +
<tex>4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots - (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8</tex>.
 +
Следовательно, <tex>V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots </tex>, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.}}
 +
 
 +
==Источники информации==
 +
* Асанов М,, Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика {{---}} Графы, матроиды, алгоритмы (стр. 104-107)
 +
* О.Оре {{---}} Графы и их применение (стр. 131-135)
 +
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Википедия {{---}} Теорема Эйлера для многоугольников]
 +
* [http://www.geometry2006.narod.ru/Lecture/Mnogogr/Mnogogr.htm Выпуклые многогранники]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Укладки графов ]]
 
[[Категория: Укладки графов ]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

Двумерный случай

Теорема (формула Эйлера):
Для произвольного плоского связного графа [math]G[/math] с [math]V[/math] вершинами, [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями справедливо следующее соотношение:
[math]V - E + F = 2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
База индукции:
[math]F = 2[/math]. Граф [math]G[/math] представляет собой многоугольник с [math]n[/math] вершинами (рис. 1). Тогда [math]V = E = n[/math], значит, равенство [math]V - E + F = 2[/math] выполняется.
Индукционный переход:

Покажем, что если теорема верна для графов с [math]F[/math] гранями, то она будет верна и для графов с [math]F + 1[/math] гранями. Пусть [math]G[/math] — плоский граф, имеющий [math]V[/math] вершин, [math]E[/math] ребер и [math]F[/math] граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани [math]F_{\infty}[/math] некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа [math]G[/math]. Если эта цепь имеет [math]r[/math] ребер, то необходимо добавить [math]r - 1[/math] новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как [math]V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F = 2[/math]
[math]\triangleleft[/math]
рис. 1
рис. 2
Теорема (следствие из формулы Эйлера):
Пусть [math]G[/math] связный планарный обыкновенный граф с [math]V[/math] вершинами ([math]V \geqslant 3[/math]), [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями. Тогда [math]E \leqslant 3V - 6[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку [math]G[/math] не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку [math]l_i \geqslant 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)[/math], получаем [math]3F \leqslant 2E[/math]. Из формулы Эйлера [math]3E - 3V + 6 = 3F \leqslant 2E[/math], то есть [math]E \leqslant 3V - 6[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Трехмерный случай

Покажем, что в трехмерном случае так же имеет место формула Эйлера.

Теорема (формула Эйлера для многогранников):
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство [math]V - E + F = 2[/math], где [math]V[/math] — число вершин, [math]E[/math] — число ребер и [math]F[/math] — число граней данного многогранника.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пример невыпуклого многоугольника для которого [math]V - E + F = 0[/math]. Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба.

Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим планарный граф, содержащий [math]F' = F - 1[/math] внутренних граней, [math]V[/math] вершин и [math]E[/math] ребер.

Тогда справедливо уже доказанное соотношение: [math]V - E + F ' = 1 [/math].

Подставляем [math]F' = F - 1[/math] и получаем [math]V - E + F = 2[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (следствие из формулы Эйлера для многогранников):
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим через [math]V_{i}[/math] число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа вершин [math]V[/math] имеет место равенство [math]V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots[/math]

Аналогично, обозначим через [math]F_{i}[/math] число граней выпуклого многогранника, у которых имеется [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа граней [math]F[/math] имеет место равенство [math]F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots[/math]

Посчитаем число ребер [math]E[/math] многогранника. Имеем: [math]3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E[/math], [math]3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E[/math].

По теореме Эйлера выполняется равенство [math]4V - 4E + 4F = 8[/math]. Подставляя вместо [math]V[/math], [math]E[/math] и [math]F[/math] их выражения, получим:

[math]4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots - (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8[/math].

Следовательно, [math]V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots [/math], значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации