Доказательства с нулевым разглашением

В криптографии Доказательство с нулевым разглашением (информации) (Zero-Knowledge Proof) — это интерактивный протокол, позволяющий одной из сторон (проверяющему, Verifier) убедиться в достоверности какого-либо утверждения (обычно математического), не получив при этом никакой другой информации от второй стороны (доказывающего, Prover).

Доказательство с нулевым разглашением должно обладать тремя свойствами:

1. Полнота: если утверждение действительно верно, то доказывающий убедит в этом проверяющего.
2. Корректность: если утверждение неверно, то даже нечестный доказывающий не сможет убедить проверяющего за исключением пренебрежимо малой вероятности.
3. Нулевое разглашение: если утверждение верно, то даже нечестный проверяющий не узнает ничего кроме самого факта, что утверждение верно.

Формальное определение

Пусть [math]L[/math] ∈ NP, и [math]M[/math] — машина Тьюринга для проверки сертификата, то есть [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y \in \{0,1\}^{p(|x|)} : M(x, y) = 1[/math]. Пара [math]\langle P, V \rangle[/math] интерактивных вероятностных алгоритмов называется доказательством с нулевым разглашением для [math]L[/math], если выполнены следующие три условия:

1. Полнота: Для любого [math]x \in L[/math] и сертификата [math]y[/math] выполнено [math]P \left( \text{out}_V \left\langle P(x,y), V(x) \right\rangle = 1 \right) \ge 2/3[/math]
2. Корректность: Если [math]x \not \in L[/math], то для любых [math]P^*, y[/math] выполнено [math] P \left( \text{out}_V \left\langle P^*(x,y), V(x) \right\rangle = 1 \right) \le 1/3[/math]
3. Нулевое разглашение: Для любой вероятностной полиномиальной интерактивной стратегии [math]V^*[/math] существует вероятностный полиномиальный алгоритм [math]S^*[/math], такой что для любого [math]x \not \in L[/math] и соответствующего сертификата y выполнено [math]\text{out}_{V^*} \left \langle P(x,y), V^*(x) \right \rangle\equiv S^*(x)[/math]. Такой алгоритм [math]S^*[/math] называется симулятором для [math]V^*[/math], он симулирует результат взаимодействия [math]V^*[/math] c proover'ом без доступа к последнему.

Пример: изоморфизм графов

Назовем проверяющую сторону Виктор (Victor), а доказывающую сторону Пегги (Peggy). Им обоим известна пара графов [math]\langle G_0, G_1 \rangle[/math]. Допустим, эти графы изоморфны и Пегги известна биекция между вершинами этих графов, то есть некоторая перестановка [math]\pi[/math], такая что [math]G_0 = \pi G_1[/math]. Пегги хочет доказать Виктору, что графы изоморфны, не выдавая при этом ни самой перестановки, ни какой-либо информации о ней.

Для этого Виктор и Пегги совместно выполняют несколько раундов протокола:

• Вначале Пегги создает случайную перестановку [math]\phi[/math]. Применив ее к [math]G_0[/math], она получает некий граф [math]H = \phi G_0[/math].
• Пегги передает граф [math]H[/math] Виктору.
• Виктор выбирает случайный бит [math]i \leftarrow \{0,1\}[/math]
• Виктор просит Пегги доказать изоморфизм [math]G_i[/math] и [math]H[/math], то есть предоставить соответствие вершин этих двух графов.
• Если [math]i = 0[/math], то Пегги отсылает Виктору [math]\phi[/math], иначе [math]\phi \cdot \pi[/math]

В каждом раунде Виктор выбирает новый случайный бит, который неизвестен Пегги. Поэтому чтобы ответить на оба вопроса, Пегги нужно чтобы [math]H[/math] был в самом деле изоморфен [math]G_i[/math]. Это означает, что после достаточного числа раундов, Виктор может быть уверен в том, что графы [math]G_0[/math] и [math]G_1[/math] изоморфны. С другой стороны, Пегги не раскрывает никакой информации о перестановке [math]\pi[/math]. Более того, Виктору сложно будет доказать кому-либо ещё изоморфизм этих графов.

Предположим, что у Пегги нет перестановки [math]\pi[/math] и она хочет обмануть Виктора. Тогда граф [math]H[/math], который она отсылает Виктору, будет не изоморфен хотя бы одному из пары графов [math]\langle G_0, G_1 \rangle[/math]. Поэтому вероятность того, что она сможет обмануть Виктора в одном раунде не более [math]\frac{1}{2}[/math]. Вероятность того, что Пегги сможет обманывать Виктора на протяжении [math]n[/math] раундов не превосходит [math]2^{-n}[/math].

Предположим, что Виктор не узнал перестановку [math]\pi[/math], но хочет доказать Френку, что Пегги ее знает. Если Виктор, например, заснял на видео все раунды протокола, Френк едва ли ему поверит. Френк может предположить, что Пегги и Виктор в сговоре и в каждом раунде Виктор заранее сообщал Пегги свой выбор случайного бита, чтобы Пегги могла передавать ему [math]H[/math] для проверок изоморфизма. Таким образом без участия Пегги доказать изоморфизм графов, можно лишь доказав, что во всех раундах протокола выбирались действительно случайные биты.