Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 61 промежуточная версия 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
== Реберная двусвязность ==
+
== Рёберная двусвязность ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
−
Две вершины <tex>u</tex> и <tex> v</tex> [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> называются '''реберно двусвязными''', если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.
+
Две вершины <tex>u</tex> и <tex> v</tex> [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> называются '''рёберно двусвязными''' ''(англ. edge biconnected)'', если между этими вершинами существуют два рёберно непересекающихся пути.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
−
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
+
Отношение рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
 
|proof=
 
|proof=
  
−
Пусть <tex>R</tex> — отношение реберной двусвязности.
+
 
 +
Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение рёберной двусвязности.[[Файл: Edge_biconnected.png|right|300px|thumb|К доказательству транзитивности.]]
  
 
'''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно)
 
'''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно)
  
−
'''Коммутативность:''' <tex>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </tex> (Очевидно)
+
'''Симметричность:''' <tex>(u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. </tex> (Очевидно)
  
 
'''Транзитивность:''' <tex>(u, v)\in R </tex> и <tex>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </tex>
 
'''Транзитивность:''' <tex>(u, v)\in R </tex> и <tex>(v, w)\in R  \Rightarrow (u, w)\in R. </tex>
  
−
''Доказательство:'' Пусть <tex>P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v </tex> (реберно непересекающиеся пути) и  <tex>Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w </tex> (реберно непересекающиеся пути).
+
''Доказательство:''
 +
Пусть из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два рёберно непересекающихся пути,  <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> соответственно.  Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух рёберно непересекающихся путей из  <tex> u </tex> в <tex> v </tex>.
 +
<tex> C </tex> будет рёберно-простым циклом.
 +
Пусть  вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> с <tex> C </tex> соответственно.
 +
Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <tex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>. Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит  <tex> u </tex> и  <tex> w </tex> рёберно двусвязны.
 +
 
  
−
Составим пути <tex>S_1 = P_1 \circ Q_1 </tex> и <tex>S_2 = P_2 \circ Q_2 </tex>. Сделаем пути <tex>S_1, S_2 </tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простыми]]. Получим два реберно непересекающихся пути <tex>S_1, S_2 </tex>. Действительно, <tex>S_1 \land S_2 = \varnothing</tex>, так как <tex>P_1 \land P_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>u</tex> и <tex>v</tex>), <tex>Q_1 \land Q_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>w</tex> и <tex>v</tex>).
 
−
<tex>P_1 \land Q_2 = </tex> {какой-то путь} или <tex>P_2 \land Q_1 = </tex> {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность.
 
−
<!-- [ЧЁ ЗА БРЕД???] Если <tex>S_1 \land S_2 \neq \varnothing </tex>, тогда возьмем <tex>S_1 = P_1 \circ Q_2 </tex>, а <tex>S_2 = P_2 \circ Q_1 </tex>, сделаем их простыми. -->
 
−
Утверждение доказано.
 
 
}}
 
}}
  
−
== Компоненты реберной двусвязности ==
+
== Компоненты рёберной двусвязности ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
−
Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых — классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер — множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
+
'''Компонентами рёберной двусвязности''' ''(англ. costal doubly-linked components)'' графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
 
}}
 
}}
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
−
[[Отношение вершинной двусвязности]]
+
*[[Отношение вершинной двусвязности]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6
 +
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Визуализатор - компоненты двусвязности]
 +
 
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория:Связность в графах]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Рёберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются рёберно двусвязными (англ. edge biconnected), если между этими вершинами существуют два рёберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]R[/math] — отношение рёберной двусвязности.
К доказательству транзитивности.

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство: Пусть из [math] w [/math] в [math] v [/math] есть два рёберно непересекающихся пути, [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] соответственно. Обозначим за [math] C [/math] объединение двух рёберно непересекающихся путей из [math] u [/math] в [math] v [/math]. [math] C [/math] будет рёберно-простым циклом. Пусть вершины [math]a[/math] и [math]b[/math] — первые со стороны [math]w[/math] вершины на пересечении [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] с [math] C [/math] соответственно.

Рассмотрим два пути [math] wau [/math] и [math] wbu [/math], такие, что части [math] au [/math] и [math] bu [/math] идут в разные стороны по циклу [math] C [/math]. Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит [math] u [/math] и [math] w [/math] рёберно двусвязны.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты рёберной двусвязности

Определение:
Компонентами рёберной двусвязности (англ. costal doubly-linked components) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_рёберной_двусвязности&oldid=84840»