Блендинг изображений — различия между версиями

Текущая версия на 19:44, 4 сентября 2022

Копирование элемента одного изображения и его вставка на другое изображение — один из наиболее используемых методов для создания графического контента. Простая вставка, как правило, бросается в глаза и делает результат похожим на коллаж, во многих случаях этот эффект является нежелательным.

Определение:

Блендинг изображений (англ. image blending) — метод, позволяющий вставить часть одного изображения в другое таким образом, чтобы композиция изображений выглядела естественно, без швов на границах вставки.

Основная трудность задачи заключается в том, что естественность результата зависит не только от бесшовности наложения, но и от схожести цветов и текстуры вставляемого и фонового изображений.

Вставляемое изображение	Фоновое изображение	Простая вставка	Желаемый результат

Блендинг Пуассона

Рисунок $1.1$: Пример перепада яркости при простой вставке^[1]

Рисунок $1.2$: Результат применения блендинга Пуассона^[1]

Простая вставка одного изображения поверх другого нередко влечет заметный перепад яркости на границе вставки (рисунок $1.1$). Метод Пуассона заключается в сглаживании этого перепада (рисунок $1.2$) с целью сделать дефект менее заметным, используя градиент вставляемого изображения и значения пикселей фонового изображения на границе вставки.

Замечание: Для RGB изображений задача минимизации решается для каждого цветового канала отдельно.

Давайте обозначим за $S$ изображение, которое служит фоном, а за $I$ — изображение, вставляемое поверх $S$. Область вставки будем задавать двоичной маской $M$, содержащей единицы в области наложения. Например:

Фоновое изображение $S$	Накладываемое изображение $I$	Маска $M$

Идея подхода

Пусть замкнутое множество $P \subset \mathbb{R}^2$ — область, на которой определено изображение $S$, а замкнутое множество $\Omega \subset P$ с границей $\partial\Omega$ и внутренностью $int(\Omega)$ — область вставки изображения $I$.

Пусть $f_S$ — скалярная функция, определенная на $P \setminus int(\Omega)$, задает фоновое изображение $S$; $f$ — неизвестная скалярная функция, определенная на $int(\Omega)$, задает, каким образом должно выглядеть результат блендинга в области вставки.

$v_I$ — векторное поле, определенное на $\Omega$. В качестве $v_I$ возьмем градиент вставляемого изображения $I$: $v_I = \nabla f_I$.

Нашей задачей является поиск такой функции $f$, чтобы блендинговое изображение выглядело реалистично. Для этого минимизируем разность градиента функции $f$ и векторного поля $v_I$, считая, что $f = f_S$ на границе $\Omega$. $$ \underset{f}{\mathrm{min}} \underset{\Omega}{\iint} |\nabla f - v_I|^2, \text{где } f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}. $$ Решение задачи минимизации является единственным решением уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле. $$\nabla^2 f = \nabla^2 f_I \text{ на } \Omega, f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}, \text{где } \nabla^2 \text{— оператор Лапласа.}$$

Дискретный случай

Пусть $p$ — координаты $(x, y)$ пикселя двухмерного изображения. За $Img_p$ обозначим значение пикселя с координатами $p$ изображения $Img$. Пусть $\Omega = \left\{ p\;|\;M_p = 1 \right\}$ — область, заданная маской $M$. Тогда $\partial \Omega$ — координаты границы вставляемой области, а $int(\Omega)$ — внутренность области.

Пусть $N_p$ — множество соседей $p$ (максимум четыре пикселя, имеющих общую границу с $p$, т.е. пиксели со следующими координатами: $(x + 1, y), (x - 1, y), (x, y + 1), (x, y - 1)$). Для всех пар $(p, q)$ таких, что $q \in N_p$, введем $v_{pq} = I_p - I_q$.

Введем переменные $O_p, p \in \Omega$. Так как мы хотим сделать результат бесшовным, пиксели $O_p, p \in \partial\Omega$, сделаем равными $S_p$. Для $p, q \in int(\Omega),\; q \in N_p$ постараемся найти такое $O$, чтобы разность $O_p$ и $O_q$ была близка к $v_{pq}$. Для этого решим задачу минимизации:

$$ \underset{O_p,\; p \in \Omega}{\mathrm{min}}\; \underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; \left(O_p - O_q - v_{pq}\right)^2, \text{где } O_p = S_p, p \in \partial \Omega. $$

Заметим, что функция, которую мы хотим минимизировать, квадратична относительно переменных $O_p, p \in int(\Omega)$. Для решения задачи минимизации вычислим частные производные по этим переменным и найдем значения переменных, при которых частные производные будут равны нулю. $$\frac{\partial{\underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; \left(O_p - O_q - v_{pq}\right)^2}}{\partial O_p} = \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_p - O_q - v_{pq}\right) - \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_q - O_p - v_{qp}\right) = 2 \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_p - O_q - v_{pq}\right).$$

Приравнивая к нулю, получаем: $|N_p| O_p - \underset{q \in N_p}{\sum} O_q = \underset{q \in N_p}{\sum} v_{pq}$.

Добавим условие $O_p = S_p, p \in \partial \Omega$: $\;|N_p| O_p - \underset{q \in N_p \cap int(\Omega)}{\sum} O_q = \underset{q \in N_p \cap \partial \Omega}{\sum} S_q + \underset{q \in N_p}{\sum} v_{pq}$.

Для решения систем уравнений такого вида могут быть использованы итеративные алгоритмы Gauss-Seidel и V-cycle multigrid^[2].

Получаем значения пикселей $O_p$, $p \in int(\Omega)$. Тогда результат $B$ блендинга Пуассона будет следующим: $$ B_p = \begin{cases} O_p,\; \text{если } p \in int(\Omega) \\ S_p,\; \text{иначе } \end{cases}. $$

Mетод Пуассона сдвигает цвета накладываемого изображения, сохраняя свойства градиента (т.е. если пиксель $I_{p1}$ был меньше $I_{p2}$, то после преобразования $I_{p1}$ не станет больше $I_{p2}$), однако само значение градиета может получиться другим.^[3]

Нейронный перенос стиля

Основная статья: Neural Style Transfer

Прежде чем переходить к гармонизации картин, рассмотрим задачу нейронного переноса стиля с изображения $S$ на изображение $I$. Для этого используются выходы скрытых слоёв свёрточной нейронной сети VGG-19^[4] (конкретные слои указаны ниже в деталях реализации).

Основная идея генерации изображения — решение оптимизационной задачи $\mathcal{L}(I, S, O) \xrightarrow[O]{} min$, где $O$ — итоговое изображение, $\mathcal{L}(I, S, O)$ — функция потерь. Такую задачу можно решать градиентным спуском в пространстве изображений используя метод обратного распространения ошибки.

Определение:

Пусть $F^l\left[I\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$ — матрица значений выхода $l$-го слоя сети на изображении $I$. Выход $l$-го слоя сети имеет размерность $N_l \times W_l \times H_l$. Представим его как матрицу $N_l \times M_l$, где $N_l$ — количество фильтров в $l$-ом слое, $M_l$ — количество признаков ($M_l = W_l H_l$). Тогда $F^l_{ij}\left[I\right]$ — $j$-ый признак $i$-го фильтра в $l$-ом слое. Столбец матрицы $F^l\left[I\right]$ размера $N_l$ назовём вектором активации.

Определение:

Матрица Грама (англ. Gram matrix) — матрица попарных скалярных произведений.

$$G^l\left[S\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times N_l},$$

$$G^l\left[S\right] = F^l\left[S\right]F^l\left[S\right]^T.$$

Далее рассмотренны функции потерь, которые мы будем использовать.

Content loss

$F^l\left[I\right]$ отражает содержание изображения. Мы хотим чтобы содержание результата было как можно ближе к исходной картинке. Введём для этого такую функцию потерь: $$\mathcal{L}_{content}(I, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\alpha_l}{2 N_l M_l}\displaystyle\sum_{i, j} \left(F^l_{ij}\left[I\right] - F^l_{ij}\left[O\right]\right)^2,$$ где $\alpha_l$ — вклад $l$-го слоя в функцию потерь.

Style loss

$G^l\left[S\right]$ отражает статистику выходов фильтров независимо от их расположения, что, в свою очередь, отражает стиль изображения. Чтобы стиль результата был похож на стилевое изображение, введём следующую функцию потерь: $$\mathcal{L}_{style}(S, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\beta_l}{2N_l^2} \displaystyle\sum_{i, j} \left(G^l_{ij}\left[S\right] - G^l_{ij}\left[O\right]\right)^2,$$ где $\beta_l$ — вклад $l$-го слоя в функцию потерь.

Gatys' loss

Скомбинируем $\mathcal{L}_{content}$ и $\mathcal{L}_{style}$ и получим функцию потерь, которая была использована в алгоритме Гатиса^[5]: $$\mathcal{L}_{Gatys}(I, S, O) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O).$$ Вес $w_{style}$, векторы $\alpha$ и $\beta$ являются, в некотором смысле, гиперпараметрами алгоритма, которые мы выберем позднее.

Histogram Loss

Авторы другой статьи^[6] показывают, что результаты, полученные с помощью $\mathcal{L}_{Gatys}$ нестабильны и предложили учитывать ещё одну функцию потерь, основанную на сопоставлении гистограмм.

Определение:

Сопоставление гистограмм (англ. Histogram matching) — метод обработки изображения, после которого гистограмма изображения совпадает с целевой гистограммой^[7].

Пусть $R = histmatch(S, O)$ — отображение пикселей такое, что гистограмма $S$ совпадает с гистограммой $R(O)$, тогда Histogram loss будет выглядеть так: $$\mathcal{L}_{hist}(S, O) = \displaystyle\sum_l \gamma_l \displaystyle\sum_{i, j} \left(F^l_{ij}\left[O\right] - R\left(F^l_{ij}\left[O\right]\right)\right)^2,$$ где $\gamma_l$ — вклад $l$-го слоя в функцию потерь.

Замечание: Если в случае остальных функций потерь нетрудно посчитать производную, то здесь могут возникнуть проблемы. Но поскольку $\displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}_{hist}}{\partial F^l_{ij}\left[O\right]}$ является нулём почти везде, авторы предлагают при подсчёте производной считать $R\left(F^l_{ij}\left[O\right]\right)$ константой, которая не зависит от $O$.

Total variation loss

Также добавим ещё одну функцию потерь, которая удаляет шумы, при этом сохраняя важные детали изображения^[8]^[9]:

$$\mathcal{L}_{tv}(O) = \displaystyle\sum_{i, j} \left(O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}\right)^2 + \left(O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}\right)^2.$$

Глубокая гармонизация картин

Для того чтобы вставить изображение в картину или рисунок нужно не только сделать бесшовный переход и изменить цвета, но ещё и изменить текстуру вставляемого изображения, например, сымитировать мазки кистью (рисунок $2$). Используем для этого комбинацию подходов из других статей^[5]^[9]^[6].

Рисунок $2$: Пример работы алгоритма Deep Image Analogy^[10] ($3$ картинка) и Deep Painterly Harmonization^[11] ($4$ картинка)

Алгоритм состоит из двух проходов. Первый проход делает грубую гармонизацию, а второй — более тщательную. Отличаются они стилевым маппингом и функциями потерь^[11].

Определение:

Стилевым маппингом назовём отображение $P : \mathcal{R}^{N_l \times M_l} \rightarrow \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$, которое некоторым образом переставляет столбцы матрицы (не обязательно обратимо, то есть столбцы могут теряться и копироваться). Более формально, пусть $p(j)$ — новая позиция столбца $j$, тогда $P(Q)_{i, p(j)} = Q_{ij}$.

Один проход состоит из $3$ частей:

Входное $I$ и стилевое $S$ изображения подаются на вход нейронной сети VGG-19, так мы получаем $F^l_{ij}\left[I\right]$ и $F^l_{ij}\left[S\right]$.
Для каждого слоя $l$ некоторым алгоритмом $\pi$ cтроится стилевой маппинг $P_l$, который сопоставляет столбцам из $F_l[I]$ столбцы из $F_l[S]$.
Изображение $O$ восстанавливается градиентным спуском по пространству изображений с использованием функции потерь $\mathcal{L}$.

 fun $SinglePassHarmonization$(
   $I$,// Входное изображение 
   $M$,// Маска 
   $S$,// Стилевое изображение 
   $\pi$,// Алгоритм построения стилевого маппинга 
   $\mathcal{L}$// Функция потерь 
 ):
   // Строим матрицы $F[I]$ и $F[S]$ с помощью свёрточной сети VGG-19 
   $F[I] \leftarrow ComputeNeuralActivations(I)$
   $F[S] \leftarrow ComputeNeuralActivations(S)$
   // Строим стилевой маппинг 
   $P \leftarrow \pi(F[I], M, F[S])$
   // Градиентным спуском ищем изображение $O$, которое минимизирует $\mathcal{L}$ 
   $O \leftarrow Reconstruct(I, M, S, P, \mathcal{L})$
   return $O$

Первый проход

Определение:

Патчем (англ. patch) для столбца $j$ будем называть тензор $3 \times 3 \times N_l$, который состоит из соседних векторов активации в тензоре выхода свёрточного слоя, с центром в $(x, y)$, где $j = y W_l + x$.

Рисунок $3.2$: Результаты после второго прохода^[6]

Рисунок $3.1$: Результаты после первого прохода^[6]

Первый проход делает грубую гармонизацию, но при этом он хорошо работает с любыми стилями (рисунок $3.1$). Здесь используется алгоритм $IndependentMapping$ для построения стилевого маппинга. Этот алгоритм для каждого столбца $j$ в $F_l[I]$ ищет столбец $p(j)$ в $F_l[S]$, такой что евклидово расстояние между патчем $F_l[I]$ с центром $j$ и патчем $F_l[S]$ с центром $p(j)$ минимально (метод ближайшего соседа).

 fun $IndependentMapping$(
   $F[I]$,// Выходы слоёв после входного изображения 
   $Mask$,// Маска 
   $F[S]$// Выходы слоёв после стилевого изображения 
 ):
   // Для всех слоёв от $1$ до $L$ 
   for $l \in [1 : L]$: 
     // Для всех столбцов от $1$ до $M_l$ 
     for $j \in [1 : M_l]$:
       // Рассматриваем патчи только внутри маски, которую нужно масштабировать в соответсвии с размером слоя $l$ 
       if $j \in Resize(Mask, l)$:
         // Берём самый похожий стилевой патч и записываем его в маппинг.  
         $P_l(j) \leftarrow NearestNeighborIndex(F[I], j, F[S])$
   return $P$

В первом проходе используется модифицированная функция потерь $\mathcal{L}_{Gatys}$, с тем лишь отличием, что в $\mathcal{L}_{style}$ к $F_l[S]$ применяется стилевой маппинг $P_l$:

$$\mathcal{L}_1(I, S, O, P) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O, P).$$

Замечание: при посчёте градиента $\mathcal{L}_{content}$ используются только пиксели внутри маски^[12].

Второй проход

Рисунок $4.1$: Только первый проход^[6]

Рисунок $4.2$: Только второй проход^[6]

Рисунок $4.3$: Результат с $\mathcal{L}_{style}$ вместо $\mathcal{L}_{s1}$^[6]

Рисунок $4.4$: Оба прохода^[6]

Рисунок $4.5$: Финальный результат^[6]

Второй проход делает более качественную гармонизацию после первого прохода (рисунок $3.2$). Здесь мы будем использовать более сложный алгоритм $ConsistentMapping$ построения стилевого маппинга и более сложную функцию потерь. Суть этого алгоритма в том, чтобы найти стилевой мапинг на некотором слое $l_{ref}$ и перенести этот маппинг на остальные слои. Также, мы будем предпочитать маппинги, в которых смежные патчи в $F_l[S]$ остаются смежными после мапинга, чтобы обеспечить пространсвенную согласованность (таким образом мы хотим переносить сложные текстуры более качественно, например, мазки кистью). Если применять второй проход сразу, то результаты получаются хуже (рисунок $4.2$).

 fun $ConsistentMapping$(
   $F[I]$,// Выходы слоёв после входного изображения 
   $Mask$,// Маска 
   $F[S]$// Выходы слоёв после стилевого изображения 
 ):
   // Сначала посчитаем маппинг как в IndependentMapping только для слоя $l_{ref}$ 
   for $j \in [1 : M_{l_{ref}}]$:
     if $j \in Resize(Mask, l_{ref})$:
       $P_0(j) \leftarrow NearestNeighborIndex(F[I], j, F[S])$
 
   // Далее обеспечиваем пространсвенную согласованность 
   for $j \in [1 : M_{l_{ref}}]$:
     if $j \in Resize(Mask, l_{ref})$:
       $q \leftarrow P_0(j)$
       // Инициализируем множество кандидатов на новый маппинг 
       $CSet \leftarrow \{q\}$
       // Перебираем все смежные патчи 
       for $o \in \left\{N, NE, E, SE, S, SW, W, NW\right\}$: 
         // Добавляем в кандидаты патч, сосед которого является маппингом для нашего соседа в соответсвующем направлении 
         $CSet \leftarrow CSet \cup \left\{P_0(j + o) - o\right\}$
       // Среди всех кандидатов выбираем тот, который ближе всего к маппингам наших соседей 
       $P_{l_{ref}}(j) \leftarrow \underset{c \in CSet}{\mathrm{argmin}}\displaystyle\sum_o \left\|(F_{l_{ref}}[S]_c - F_{l_{ref}}[S]_{P_0(j + o)}\right\|^2$
 
   // Теперь нужно перенести маппинг для $l_{ref}$ на остальные слои 
   for $l \in [1 : L] \setminus \{l_{ref}\}$:
     for $j \in [1 : M_l]$:
       if $j \in Resize(Mask, l)$:
         // Вычисляем позицию $j'$ на слое $l_{ref}$ соответствующую позиции $j$ на слое $l$
         $j' \leftarrow ChangeResolution(l, l_{ref}, j)$
         // Берём маппинг для позиции $j'$
         $q \leftarrow P_{l_{ref}}(j')$
         // Переносим позицию $q$ обратно на слой $l$
         $P_l(j) \leftarrow ChangeResolution(l_{ref}, l, q)$
   return $P$

При вычислении стилевого маппинга появляется очень много дублирующихся векторов, что даёт не очень хорошие результаты (рисунок $4.3$). Поэтому при вычислении матрицы Грама выкинем повторяющиеся векторы. Назовём функцию потерь с такой модификацией $\mathcal{L}_{s1}$.

$$\mathcal{L}_2(I, S, O, P) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{s1}(S, O, P) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O),$$ где $w_{style}, w_{hist}, w_{tv}$ — веса соответсвующих функций потерь.

Итоговый алгоритм

Теперь осталось запустить две стадии:

 fun $Harmonization$(
   $I$,// Входное изображение 
   $Mask$,// Маска 
   $S$// Стилевое изображение 
 ):
   // Грубый проход алгоритма. Каждый слой рассматривается отдельно при построении стилевого маппинга. 
   $I' \leftarrow SinglePassHarmonization(I, Mask, S, IndependentMapping, \mathcal{L}_1)$
   // Улучшение результата. Стилевой маппинг строится консистентно для всех слоёв. 
   $O  \leftarrow SinglePassHarmonization(I', Mask, S, ConsistentMapping, \mathcal{L}_2)$
   return $O$

Постобработка

Рисунок $5$: Результат постобработки (без постобработки, после первой стадии, после второй стадии)^[6]

Описанный алгоритм даёт хорошие результаты в целом, но при ближайшем рассмотрении могут быть артефакты (рисунок $5$). Поэтому сделаем двухступенчатую постобработку (подробное описание есть в оригинальной статье^[11]):

Переведём изображение в цветовое пространство $L*\alpha*\beta$ и применим Guided filter для a и b каналов.
С помощью алгоритма PatchMatch^[13] и того же Guided filter делаем так, чтобы все патчи выходного изображения присутсвовали в стилевом (чтобы не было новых объектов или структур).

Детали реализации

Рисунок $6$: Влияние $l_{ref}$ на результат^[6]

Возьмём $l_{ref}$ = conv4_1 (что будет если использовать другие слои видно на рисунке $6$). Выберем следующие веса для слоёв:

Первый проход
Параметр	conv1_1	conv2_1	conv3_1	conv4_1	conv5_1
$\alpha$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$
$\beta$	$0$	$0$	$1/3$	$1/3$	$1/3$

Второй проход
Параметр	conv1_1	conv2_1	conv3_1	conv4_1	conv5_1
$\alpha$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$
$\beta$	$1/4$	$1/4$	$1/4$	$1/4$	$0$
$\gamma$	$1/2$	$0$	$0$	$1/2$	$0$

Введём гиперпараметр $\tau$ и возьмём $w_{style} = w_{hist} = \tau$, $w_{tv} = \tau\frac{10}{1 + \exp(10^4 * noise(S) - 25)}$, где $noise(S) = \underset{i,j}{\mathrm{med}}\left\{\left(O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}\right)^2 + \left(O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}\right)^2\right\}$^[14].

Для того чтобы подбирать $\tau$ авторы статьи использовали классификатор стилей изображений. Они взяли VGG-19, обучили её классифицировать $18$ различных стилей. Эти стили были разделены на $3$ категории с разными $\tau$. Используя $Softmax$ можно интерполировать необходимый $\tau$ по следующей таблице:

Категория стиля	Примеры стилей	$\tau$
Слабый	Барокко, Высокое Возрождение	$1$
Средний	Абстрактное Искусство, Постимпрессионизм	$5$
Сильный	Кубизм, Экспрессионизм	$10$

На рисунке $4.4$ результат алгоритма без подбора гиперпараметров. Видно, что самолёт ярче, чем остальное изображение. С подбором параметров получается более естественный результат (рисунок $4.5$).

Примеры

Примеры взяты с Github авторов.

Исходное изображение	Простая вставка	Результат	Постобработка

Более новые подходы

Глубокий блендинг

Алгоритм глубокого блендинга состоит из двух этапов. На первом этапе на стилевое изображения $S$ бесшовно накладывается входное изображение $I$, получается подготовительное блендинг-изображение $B$. На втором этапе $B$ модифицируется таким образом, чтобы результат по стилю был похож на $S$.

Будем считать, что на вход подаются изображения, прошедшие предварительную обработку:

Используемая для вставки часть $I$ вырезана с помощью маски.
$M$ и $I$ выровнены относительно $S$.
Размеры матриц, задающих $M, S, I$, совпадают.

Примеры входных данных:

Стилевое изображение $S$^[1]
Накладываемое изображение $I$^[1]

Определение:

Простой вставкой (англ. copy and paste) $CAP(M, S, I)$ будем назвать изображение, полученное наложением части изображения $I$, заданной маской $M$, на изображение $S$. $CAP(M, S, I) = I \odot M + S \odot (1 - M)$, где $\odot$ — покомпонентное умножение.

Определение:

Дискретный оператор Лапласа (фильтр Лапласа) $\mathbf{D}^2$ — аналог непрерывного оператора Лапласа $\nabla^2$, который позволяет выделять контуры изображения (рисунки $7.1$ и $7.2$). $$\mathbf{D}^2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}.$$

Рисунок $7.1$: Исходное изображение^[15]	Рисунок $7.2$: Применение фильтра Лапласа

Для сохранения контуров изображений $S$ и $I$ в области вставки воспользуемся идеей из метода Пуассона и введём следующую функцию потерь^[1]: $$\mathcal{L}_{grad}(S, I, M, O) = \displaystyle\frac{1}{2HW}\displaystyle\sum_{m=1}^H \displaystyle\sum_{n=1}^W \left[ \mathbf{D}^2 B - \left(\mathbf{D}^2 S + \mathbf{D}^2 I\right) \right]^2_{mn},$$ где $H, W$ — высота и ширина изображений. $B = CAP(M, S, O)$ — блендинговое изображение, оптимизируемое относительно $O$.

Рассмотрим область $\overline{\Omega} = \{\;p \;| \;M_p = 0\; \}$. Заметим, что градиент $I$ в $\overline{\Omega}$ равен нулю. Тогда градиенты $S$ и $B$ совпадают, и задача минимизации $\mathcal{L}_{grad}$ решается только в области вставки.

На обоих этапах алгоритм минимизирует взвешенную сумму следующих функций потерь:

$\mathcal{L}_{content}$ для сохранения содержания накладываемого изображения $I$.
$\mathcal{L}_{style}$ для переноса стиля изображения $S$ на $I$.
$\mathcal{L}_{hist}$ для стабилизации переноса стиля.
$\mathcal{L}_{tv}$ для удаления шумов.
$\mathcal{L}_{grad}$ для сохранения контуров фона и изображения.

Для подсчета $\mathcal{L}_{style}$ и $\mathcal{L}_{content}$ авторами статьи^[1] использовалась сеть VGG-19^[4], обученная на ImageNet^[16].

Первый этап

На первом этапе изображение $I$ накладывается на фоновое изображение $S$ таким образом, чтобы были незаметны швы. Построение начинается с белого шума $Z$, который оптимизируется в области вставки путем минимизации суммарной функции потерь $\mathcal{L}_{total}$, представленной взвешенной суммой всех функций потерь, описанных выше: $$ \mathcal{L}_{total}(Z) = w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{content}\mathcal{L}_{content}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B).$$ Для решения задачи минимизации авторы статьи^[1] используют алгоритм L-BFGS^[17].

Отметим, что $\mathcal{L}_{content}$ зависит от маски и отвечает за сохранение содержания $I$ в области вставки.

Отличительной чертой этого этапа является использование функции потерь $\mathcal{L}_{grad}$, приближающей градиент результата к градиенту $I$ в области наложения, за счет чего достигается бесшовность.

В результате получается подготовительное блендинг-изображение $B$.

 fun $SeamlessBlending$(
   $I$,   // Входное изображение 
   $M$,   // Маска 
   $S$    // Стилевое изображение 
 ):
   // Инициализируем первое приближение белым шумом 
   $Z \leftarrow RandomNoise() $
   $B \leftarrow CAP(M, S, Z)$
   // Определим суммарную функцию потерь с весами слагаемых $w$
   $\mathcal{L}_{total}(Z) \leftarrow w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{content}\mathcal{L}_{content}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B)$
   // С помощью алгоритма L-BFGS ищем изображение $Z$, которое минимизирует $\mathcal{L}_{total}$ 
   $Z \leftarrow Reconstruct(\mathcal{L}_{total}, Z)$
   return $CAP(M, S, Z)$

Второй этап

Второй этап алгоритма представляет собой модификацию полученного на первом этапе блендинг-изображения $B$ таким образом, чтобы стиль изображения был наиболее близок к стилю $S$.

В отличие от предыдущего этапа, функция потерь не включает в себя $\mathcal{L}_{grad}$: $$\mathcal{L}_{total}(O) = w_{content}\mathcal{L}_{content}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O).$$

Минимизация происходит относительно результата алгоритма $O$, который инициализируется изображением $B$.

 fun $StyleRefinement$(
    $B$,   // Подготовительное блендинг-изображение, результат первого этапа 
    $M$,   // Маска 
    $S$    // Стилевое изображение 
 ):
   $O \leftarrow B$
   // Определим суммарную функцию потерь с весами слагаемых $w$
   $\mathcal{L}_{total}(O) \leftarrow w_{cont}\mathcal{L}_{content}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O)$
   // С помощью алгоритма L-BFGS ищем изображение $O$, которое минимизирует $\mathcal{L}_{total}$ 
   $O \leftarrow Reconstruct(\mathcal{L}_{total}, O)$
   return $O$

Примеры с Github авторов:

После первого этапа	После обоих этапов

Детали реализации

В статье использовались следующие значения коэффициентов:

Веса функций потерь
Этап	$w_{grad}$	$w_{content}$	$w_{style}$	$w_{hist}$	$w_{tv}$
$1$	$10^5$	$1$	$10^5$	$1$	$10^{-6}$
$2$	$0$	$1$	$10^7$	$1$	$10^{-6}$

Коэффициенты $\alpha$ и $\beta$
Параметр	conv1_2	conv2_2	conv3_3	conv4_3
$\alpha$	$0$	$1$	$0$	$0$
$\beta$	$1/4$	$1/4$	$1/4$	$1/4$

На обоих этапах максимальное количество итераций алгоритма L-BFGS — $1000$.

Примеры

Примеры с Github авторов:

См. также

Источники информации

Histogram matching
Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003), Poisson Image Editing.
Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016), Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks
Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018), Deep Painterly Harmonization
Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020), Deep Image Blending

Примечания

↑ ^{Перейти к: 1,0} ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 Deep Image Blending Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020)
Перейти ↑ Poisson Image Editing Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003)
Перейти ↑ https://erkaman.github.io/posts/poisson_blending.html Poisson blending для самых маленьких
↑ ^{Перейти к: 4,0} ^4,1 Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition Karen Simonyan, Andrew Zisserman (2014)
↑ ^{Перейти к: 5,0} ^5,1 Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016)
↑ ^{Перейти к: 6,00} ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 Stable and Controllable Neural Texture Synthesis and Style Transfer Using Histogram Losses Eric Risser, Pierre Wilmot, Connelly Barnes (2017)
Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram_matching
Перейти ↑ Understanding Deep Image Representations by Inverting Them Aravindh Mahendran, Andrea Vedaldi (2015)
↑ ^{Перейти к: 9,0} ^9,1 Perceptual Losses for Real-Time Style Transfer and Super-Resolution Justin Johnson, Alexandre Alahi, Li Fei-Fei (2016)
Перейти ↑ Visual Attribute Transfer through Deep Image Analogy Jing Liao, Yuan Yao, Lu Yuan, Gang Hua, Sing Bing Kang (2017)
↑ ^{Перейти к: 11,0} ^11,1 ^11,2 https://arxiv.org/pdf/1804.03189.pdf Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018)
Перейти ↑ https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_gram.lua#L349
Перейти ↑ https://www.researchgate.net/profile/Eli_Shechtman/publication/220184392_PatchMatch_A_Randomized_Correspondence_Algorithm_for_Structural_Image_Editing/links/02e7e520897b12bf0f000000.pdf Connelly Barnes, Eli Shechtman, Adam Finkelstein, Dan B Goldman (2009)
Перейти ↑ [https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_paint.lua#L470 код функции $noise$.
Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Lenna#/media/File:Lenna_(test_image).png
Перейти ↑ https://image-net.org/papers/imagenet_cvpr09.pdf J. Deng, W. Dong, R. Socher, L.-J. Li, K. Li, and L. FeiFei. Imagenet: A large-scale hierarchical image database
Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS Limited-memory BFGS - Wikipedia

[ZWS20-1] {Перейти к: 1,0} ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 Deep Image Blending Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020)

[PGB03-2] Перейти ↑ Poisson Image Editing Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003)

[clear_poisson-3] Перейти ↑ https://erkaman.github.io/posts/poisson_blending.html Poisson blending для самых маленьких

[SZ14-4] {Перейти к: 4,0} ^4,1 Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition Karen Simonyan, Andrew Zisserman (2014)

[GEB16-5] {Перейти к: 5,0} ^5,1 Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016)

[WRB17-6] {Перейти к: 6,00} ^6,01 ^6,02 ^6,03 ^6,04 ^6,05 ^6,06 ^6,07 ^6,08 ^6,09 ^6,10 Stable and Controllable Neural Texture Synthesis and Style Transfer Using Histogram Losses Eric Risser, Pierre Wilmot, Connelly Barnes (2017)

[HistMatch-7] Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram_matching

[MV15-8] Перейти ↑ Understanding Deep Image Representations by Inverting Them Aravindh Mahendran, Andrea Vedaldi (2015)

[JAFF16-9] {Перейти к: 9,0} ^9,1 Perceptual Losses for Real-Time Style Transfer and Super-Resolution Justin Johnson, Alexandre Alahi, Li Fei-Fei (2016)

[LYY.2A17-10] Перейти ↑ Visual Attribute Transfer through Deep Image Analogy Jing Liao, Yuan Yao, Lu Yuan, Gang Hua, Sing Bing Kang (2017)

[LPSB18-11] {Перейти к: 11,0} ^11,1 ^11,2 https://arxiv.org/pdf/1804.03189.pdf Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018)

[12] Перейти ↑ https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_gram.lua#L349

[BSFG09-13] Перейти ↑ https://www.researchgate.net/profile/Eli_Shechtman/publication/220184392_PatchMatch_A_Randomized_Correspondence_Algorithm_for_Structural_Image_Editing/links/02e7e520897b12bf0f000000.pdf Connelly Barnes, Eli Shechtman, Adam Finkelstein, Dan B Goldman (2009)

[14] Перейти ↑ [https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_paint.lua#L470 код функции $noise$.

[15] Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Lenna#/media/File:Lenna_(test_image).png

[ImageNet-16] Перейти ↑ https://image-net.org/papers/imagenet_cvpr09.pdf J. Deng, W. Dong, R. Socher, L.-J. Li, K. Li, and L. FeiFei. Imagenet: A large-scale hierarchical image database

[LBFGS-17] Перейти ↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS Limited-memory BFGS - Wikipedia

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Блендинг изображений — различия между версиями

Текущая версия на 19:44, 4 сентября 2022

Содержание

Блендинг Пуассона

Идея подхода

Дискретный случай

Нейронный перенос стиля

Content loss

Style loss

Gatys' loss

Histogram Loss

Total variation loss

Глубокая гармонизация картин

Первый проход

Второй проход

Итоговый алгоритм

Постобработка

Детали реализации

Примеры

Более новые подходы

Глубокий блендинг

Первый этап

Второй этап

Детали реализации

Примеры

См. также

Источники информации

Примечания

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Копирование элемента одного изображения и его вставка на другое изображение {{---}} один из наиболее используемых методов для создания  графического контента. Простая вставка, как правило, бросается в глаза и делает результат похожим на коллаж, во многих случаях этот эффект является нежелательным.
 {{Определение
 |definition =
-'''Гармонизация изображений''' (англ. ''image harmonization'') {{---}} метод, позволяющий наложить часть одного изображения поверх другого таким образом, чтобы композиция изображений выглядела естественно, без швов на границах вставки и с соответсвующими цветами и текстурами <ref name='ZWS20'>[https://openaccess.thecvf.com/content_WACV_2020/papers/Zhang_Deep_Image_Blending_WACV_2020_paper.pdf Deep Image Blending] Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020)</ref>.}}
+'''Блендинг изображений''' (англ. ''image blending'') {{---}} метод, позволяющий вставить часть одного изображения в другое таким образом, чтобы композиция изображений выглядела естественно, без швов на границах вставки. }}
+Основная трудность задачи заключается в том, что естественность результата зависит не только от бесшовности наложения, но и от схожести цветов и текстуры вставляемого и фонового изображений.
-{{Определение
-|definition =
-'''Блендинг изображений''' (англ. ''image blending'') {{---}} метод, позволяющий вставить часть одного изображения в другое таким образом, чтобы композиция изображений выглядела естественно, без швов на границах вставки и соответсвующими цветами и текстурами. В отличие от гармонизации, блендинг сам определяет какие пиксели фонового изображения нужно заменить.<ref name='ZWS20'/>}}
+{|
+! Вставляемое изображение
+! Фоновое изображение
+! Простая вставка
+! Желаемый результат
+|-
+| [[Файл:Diver bl diver.png|180px]]
+| [[Файл:Diver bl sea.png|180px]]
+| [[Файл:Diver bl2.png|180px]]
+| [[Файл:Diver bl3.png|180px]]
+|}
 ==Блендинг Пуассона==
-[[Файл:Poisson int1.png|thumb|right|300px|Рис. $1.1$. Пример перепада яркости при простой вставке]]
+[[Файл:Poisson int1.png|thumb|right|250px|Рисунок $1.1$: Пример перепада яркости при простой вставке<ref name='ZWS20'/>]]
-[[Файл:Poisson int2.png|thumb|right|300px|Рис. $1.2$. Результат применения блендинга Пуассона]]
+[[Файл:Poisson int2.png|thumb|right|250px|Рисунок $1.2$: Результат применения блендинга Пуассона<ref name='ZWS20'/>]]
-Блендинг Пуассона на самом деле является гармонизацией, так как требует маску заменяемых пикселей. Почему-то в статьях его называют блендингом (Poisson blending), хотя оригинальная статья называлась Poisson Image Editing<ref name="PGB03">[https://www.cs.jhu.edu/~misha/Fall07/Papers/Perez03.pdf Poisson Image Editing] Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003)</ref>
+Простая вставка одного изображения поверх другого нередко влечет заметный перепад яркости на границе вставки (рисунок $1.1$). Метод Пуассона заключается в сглаживании этого перепада (рисунок $1.2$) с целью сделать дефект менее заметным, используя градиент вставляемого изображения и значения пикселей фонового изображения на границе вставки.
-Простая вставка одного изображения поверх другого нередко влечет заметный перепад яркости на границе вставки (рис. $1.1$). Метод Пуассона заключается в сглаживании этого перепада (рис. $1.2$) с целью сделать дефект менее заметным, используя градиент вставляемого изображения и значения пикселей фонового изображения на границе вставки.
 '''Замечание:''' Для RGB изображений задача минимизации решается для каждого цветового канала отдельно.
@@ Строка 25: / Строка 32: @@
 ! Маска $M$
 |-
-| [[Файл:Poisson_cat.jpg|200px]]
+| [[Файл:Poisson_cat.jpg|155px]]
-| [[Файл:Poisson_cherry.jpg|200px]]
+| [[Файл:Poisson_cherry.jpg|155px]]
-| [[Файл:Poisson_cherry_mask.png|200px]]
+| [[Файл:Poisson_cherry_mask.png|155px]]
 |}
-===  TODO заголовок ===
+===  Идея подхода ===
 Пусть замкнутое множество $P \subset \mathbb{R}^2$ {{---}} область, на которой определено изображение $S$, а замкнутое множество $\Omega \subset P$ с границей $\partial\Omega$ и внутренностью $int(\Omega)$ {{---}} область вставки изображения $I$.
 Пусть $f_S$ {{---}} скалярная функция, определенная на $P \setminus int(\Omega)$, задает фоновое изображение $S$; $f$ {{---}} неизвестная скалярная функция, определенная на $int(\Omega)$, задает, каким образом должно выглядеть результат блендинга в области вставки.
-$v_I$ {{---}} векторное поле, определенное на $\Omega$. В качестве $v_i$ возьмем градиент вставляемого изображения $I$: $v_i = \nabla f_I$
+$v_I$ {{---}} векторное поле, определенное на $\Omega$. В качестве $v_I$ возьмем градиент вставляемого изображения $I$: $v_I = \nabla f_I$.
 Нашей задачей является поиск такой функции $f$, чтобы блендинговое изображение выглядело реалистично. Для этого минимизируем разность градиента функции $f$ и векторного поля $v_I$, считая, что $f = f_S$ на границе $\Omega$.
 $$
-\underset{f}{\mathrm{min}} \int\int_{\Omega} |\nabla f - v_I|^2, \text{где } f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}
+\underset{f}{\mathrm{min}} \underset{\Omega}{\iint} |\nabla f - v_I|^2, \text{где } f|_{\partial \Omega} = f_S|_{\partial \Omega}.
 $$
 Решение задачи минимизации является единственным решением уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле.
@@ Строка 45: / Строка 52: @@
 === Дискретный случай ===
-Пусть $p$ {{---}} координаты $(x, y)$ пикселя двухмерного изображения. За $Img_p$ обозначим значение пикселя с координатами $p$ изображения $Img$. Пусть $\Omega = \{ p\;|\;M_p = 1 \}$. Тогда $\partial \Omega$ {{---}} координаты границы вставляемой области, а $int(\Omega)$ {{---}} внутренность области.
+Пусть $p$ {{---}} координаты $(x, y)$ пикселя двухмерного изображения. За $Img_p$ обозначим значение пикселя с координатами $p$ изображения $Img$. Пусть $\Omega = \left\{ p\;|\;M_p = 1 \right\}$ {{---}} область, заданная маской $M$. Тогда $\partial \Omega$ {{---}} координаты границы вставляемой области, а $int(\Omega)$ {{---}} внутренность области.
-Пусть $N_p$ {{---}} множество соседей $p$ (максимум четыре пикселя, имеющих общую границу с $p$, т.е. пиксели со следующими координатами: $(x + 1, y), (x - 1, y), (x, y + 1), (x, y - 1)$). Для всех пар $(p, q)$ таких, что $q \in N_p$, введем $v_{pq} = I_p - I_q$
+Пусть $N_p$ {{---}} множество соседей $p$ (максимум четыре пикселя, имеющих общую границу с $p$, т.е. пиксели со следующими координатами: $(x + 1, y), (x - 1, y), (x, y + 1), (x, y - 1)$). Для всех пар $(p, q)$ таких, что $q \in N_p$, введем $v_{pq} = I_p - I_q$.
-Введем переменные $O_p, p \in \Omega$. Так как мы хотим сделать результат бесшовным, пиксели $O_p, p \in \partial\Omega$, сделаем равными $S_p$. Для $p, q \in int(\Omega),\; q \in N_p$ постараемся найти такие значения $O_p, O_q$, чтобы их разность была близка к $v_{pq}$. Для этого решим задачу минимизации:
+Введем переменные $O_p, p \in \Omega$. Так как мы хотим сделать результат бесшовным, пиксели $O_p, p \in \partial\Omega$, сделаем равными $S_p$. Для $p, q \in int(\Omega),\; q \in N_p$ постараемся найти такое $O$, чтобы разность $O_p$ и $O_q$ была близка к $v_{pq}$. Для этого решим задачу минимизации:
 $$
-\underset{f_p,\; p \in \Omega}{\mathrm{min}}\; \underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; (O_p - O_q - v_{pq})^2, \text{где } O_p = S_p, p \in \partial \Omega
+\underset{O_p,\; p \in \Omega}{\mathrm{min}}\; \underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; \left(O_p - O_q - v_{pq}\right)^2, \text{где } O_p = S_p, p \in \partial \Omega.
 $$
 Заметим, что функция, которую мы хотим минимизировать, квадратична относительно переменных $O_p, p \in int(\Omega)$. Для решения задачи минимизации вычислим частные производные по этим переменным и найдем значения переменных, при которых частные производные будут равны нулю.
-$$\frac{\partial{\underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; (O_p - O_q - v_{pq})^2}}{\partial O_p} = \underset{q \in N_p}{\sum} 2 (O_p - O_q - v_{pq}) - \underset{q \in N_p}{\sum} 2 (O_q - O_p - v_{qp}) = 2 \underset{q \in N_p}{\sum} 2 (O_p - O_q - v_{pq})$$.
+$$\frac{\partial{\underset{p, q \in \Omega}{\sum}\; \left(O_p - O_q - v_{pq}\right)^2}}{\partial O_p} = \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_p - O_q - v_{pq}\right) - \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_q - O_p - v_{qp}\right) = 2 \underset{q \in N_p}{\sum} 2 \left(O_p - O_q - v_{pq}\right).$$
 Приравнивая к нулю, получаем: $|N_p| O_p - \underset{q \in N_p}{\sum} O_q = \underset{q \in N_p}{\sum} v_{pq}$.
-Для точек, граничащих с $\partial \Omega$:  $\;|N_p| O_p - \underset{q \in N_p \cap \Omega}{\sum} O_q = \underset{q \in N_p \cap \partial \Omega}{\sum} S_q + \underset{q \in N_p}{\sum} v_{pq}$.
+Добавим условие $O_p = S_p, p \in \partial \Omega$:  $\;|N_p| O_p - \underset{q \in N_p \cap int(\Omega)}{\sum} O_q = \underset{q \in N_p \cap \partial \Omega}{\sum} S_q + \underset{q \in N_p}{\sum} v_{pq}$.
-Для решения систем уравнений такого вида могут быть использованы итеративные алгоритмы Gauss-Seidel и V-cycle multigrid<ref name="PGB03"/>.
+Для решения систем уравнений такого вида могут быть использованы итеративные алгоритмы Gauss-Seidel и V-cycle multigrid<ref name="PGB03">[https://www.cs.jhu.edu/~misha/Fall07/Papers/Perez03.pdf Poisson Image Editing] Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003)</ref>.
 Получаем значения пикселей $O_p$, $p \in int(\Omega)$. Тогда результат $B$ блендинга Пуассона будет следующим:
@@ Строка 70: / Строка 77: @@
 O_p,\; \text{если } p \in int(\Omega) \\
 S_p,\; \text{иначе }
-\end{cases}
+\end{cases}.
 $$
 Mетод Пуассона сдвигает цвета накладываемого изображения, сохраняя свойства градиента (т.е. если пиксель $I_{p1}$ был меньше $I_{p2}$, то после преобразования $I_{p1}$ не станет больше $I_{p2}$), однако само значение градиета может получиться другим.<ref name='clear_poisson'>https://erkaman.github.io/posts/poisson_blending.html Poisson blending для самых маленьких</ref>
-==Трансфер стиля==
+==Нейронный перенос стиля==
+{{main|Neural Style Transfer}}
+Прежде чем переходить к гармонизации картин, рассмотрим задачу нейронного переноса стиля с изображения $S$ на изображение $I$. Для этого используются выходы скрытых слоёв [[Сверточные нейронные сети | свёрточной нейронной сети]] VGG-19<ref name="SZ14">[https://arxiv.org/pdf/1409.1556.pdf Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition] Karen Simonyan, Andrew Zisserman (2014)</ref> (конкретные слои указаны ниже в деталях реализации).
-Прежде чем переходить к гармонизации картин, рассмотрим задачу трансфера стиля с изображения $S$ на изображение $I$. Для этого используются выходы скрытых слоёв [[Сверточные нейронные сети | свёрточной нейронной сети]] VGG-19<ref name="SZ14">[https://arxiv.org/pdf/1409.1556.pdf Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition] Karen Simonyan, Andrew Zisserman (2014)</ref>.
+Основная идея генерации изображения {{---}} решение оптимизационной задачи $\mathcal{L}(I, S, O) \xrightarrow[O]{} min$, где $O$ {{---}} итоговое изображение, $\mathcal{L}(I, S, O)$ {{---}} [[Функция потерь и эмпирический риск | функция потерь]]. Такую задачу можно решать градиентным спуском в пространстве изображений используя [[обратное распространение ошибки | метод обратного распространения ошибки]].
-Основная идея генерации изображения {{---}} решение оптимизационной задачи $\mathcal{L}(O, I, S) \xrightarrow[O]{} min$, где $O$ {{---}} итоговое изображение, $\mathcal{L}(O, I, S)$ {{---}} [[Функция потерь и эмпирический риск | функция потерь]]. Такую задачу можно решать градиентным спуском в пространстве изображений используя [[обратное распространение ошибки | метод обратного распространения ошибки]].
 {{Определение
 |definition =
-Пусть $F^l\left[I\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$ {{---}} выход $l$-го слоя сети на изображении $I$. Представим его как матрицу $N_l \times M_l$,
+Пусть $F^l\left[I\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$ {{---}} матрица значений выхода $l$-го слоя сети на изображении $I$. Выход $l$-го слоя сети имеет размерность $N_l \times W_l \times H_l$. Представим его как матрицу $N_l \times M_l$, где $N_l$ {{---}} количество фильтров в $l$-ом слое, $M_l$ {{---}} количество признаков ($M_l = W_l H_l$). Тогда $F^l_{ij}\left[I\right]$ {{---}} $j$-ый признак $i$-го фильтра в $l$-ом слое. Столбец матрицы $F^l\left[I\right]$ размера $N_l$ назовём '''вектором активации'''.}}
-где $N_l$ {{---}} количество фильтров в $l$-ом слое,
-$M_l$ {{---}} количество признаков (высота, умноженная на ширину). Тогда $F^l_{ij}\left[I\right]$ {{---}} $j$-ый признак $i$-го фильтра в $l$-ом слое.}}
 {{Определение
 |definition =
-'''Матрица Грама''' (англ. ''Gram matrix'') {{---}} матрица попарных скалярных произведений. В нашем случае матрица отражает корреляцию между выходами фильтров. $G^l\left[I\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times N_l} = F^l\left[I\right]F^l\left[I\right]^T$.}}
+'''Матрица Грама''' (англ. ''Gram matrix'') {{---}} матрица попарных скалярных произведений.
+$$G^l\left[S\right] \in \mathcal{R}^{N_l \times N_l},$$
+$$G^l\left[S\right] = F^l\left[S\right]F^l\left[S\right]^T.$$}}
+Далее рассмотренны функции потерь, которые мы будем использовать.
+===Content loss===
-===[https://rn-unison.github.io/articulos/style_transfer.pdf Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks]<ref name="GEB16">[https://rn-unison.github.io/articulos/style_transfer.pdf Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks] Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016)</ref>.===
+$F^l\left[I\right]$ отражает содержание изображения. Мы хотим чтобы содержание результата было как можно ближе к исходной картинке. Введём для этого такую функцию потерь:
+$$\mathcal{L}_{content}(I, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\alpha_l}{2 N_l M_l}\displaystyle\sum_{i, j} \left(F^l_{ij}\left[I\right] - F^l_{ij}\left[O\right]\right)^2,$$
+где $\alpha_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь.
-{{Определение
+===Style loss===
-|id=content_loss_def
-|definition =
-$\mathcal{L}^{\alpha}_{content}(I, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\alpha_l}{2 N_l M_l}\displaystyle\sum_{i, j} (F^l_{ij}\left[I\right] - F^l_{ij}\left[O\right])^2$ {{---}} функция потерь содержания, где
-$\alpha_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь<ref name="NotOriginalDef">Здесь используется определение функции потерь, которое отличается от статьи Гатиса, но используется в таком виде в статье про гармонизацию.</ref>.}}
-{{Определение
-|id=style_loss_def
-|definition =
-$\mathcal{L}^{\beta}_{style}(I, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\beta_l}{2N_l^2} \displaystyle\sum_{i, j} (G^l_{ij}\left[I\right] - G^l_{ij}\left[O\right])^2$ {{---}} функция потерь стиля, где
-$\beta_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь<ref name="NotOriginalDef"/>.}}
-Итоговой функцией потерь будет $\mathcal{L}_{Gatys} = \mathcal{L}^{\alpha}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}^{\beta}_{style}(I, O)$<ref name="NotOriginalDef"/>. Вес $w_{style}$, векторы $\alpha$ и $\beta$ являются, в некотором смысле, гиперпараметрами алгоритма, которые нужно подбирать.
+$G^l\left[S\right]$ отражает статистику выходов фильтров независимо от их расположения, что, в свою очередь, отражает стиль изображения. Чтобы стиль результата был похож на стилевое изображение, введём следующую функцию потерь:
+$$\mathcal{L}_{style}(S, O) = \displaystyle\sum_l \frac{\beta_l}{2N_l^2} \displaystyle\sum_{i, j} \left(G^l_{ij}\left[S\right] - G^l_{ij}\left[O\right]\right)^2,$$
+где $\beta_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь.
-Авторы статьи показывают, что в качестве начальной инициализации можно брать изображение $I$, изображение $S$ или белый шум {{---}} алгоритм даёт похожие результаты в этих случаях.
+===Gatys' loss===
-[[Файл:GEB16_Figure_6.png|1000px|thumb|center|Начальная инициализация: '''A)''' $O_0 = I$; '''B)''' $O_0 = S$; '''C)''' $O_0 = random$, $4$ примера инициализированы различными белыми шумами ]]
+Скомбинируем $\mathcal{L}_{content}$ и $\mathcal{L}_{style}$ и получим функцию потерь, которая была использована в алгоритме Гатиса<ref name="GEB16">[https://rn-unison.github.io/articulos/style_transfer.pdf Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks] Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016)</ref>:
+$$\mathcal{L}_{Gatys}(I, S, O) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O).$$
+Вес $w_{style}$, векторы $\alpha$ и $\beta$ являются, в некотором смысле, гиперпараметрами алгоритма, которые мы выберем позднее.
 ===Histogram Loss===
-Авторы другой статьи<ref name="WRB17">[https://arxiv.org/pdf/1701.08893.pdf Stable and Controllable Neural Texture Synthesis and Style Transfer Using Histogram Losses] Eric Risser, Pierre Wilmot, Connelly Barnes (2017)</ref> показывают, что результаты, полученные с помощью $\mathcal{L}_{Gatys}$ нестабильны и предложили другую функцию потерь, основанную на ''сопоставлении гистограмм''.
+Авторы другой статьи<ref name="WRB17">[https://arxiv.org/pdf/1701.08893.pdf Stable and Controllable Neural Texture Synthesis and Style Transfer Using Histogram Losses] Eric Risser, Pierre Wilmot, Connelly Barnes (2017)</ref> показывают, что результаты, полученные с помощью $\mathcal{L}_{Gatys}$ нестабильны и предложили учитывать ещё одну функцию потерь, основанную на '''сопоставлении гистограмм'''.
 {{Определение
 |definition =
 '''Сопоставление гистограмм''' (англ. ''Histogram matching'') {{---}} метод обработки изображения, после которого гистограмма изображения совпадает с целевой гистограммой<ref name="HistMatch">https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram_matching</ref>.}}
-{{Определение
+Пусть $R = histmatch(S, O)$ {{---}} отображение пикселей такое, что гистограмма $S$ совпадает с гистограммой $R(O)$, тогда Histogram loss будет выглядеть так:
-|definition =
+$$\mathcal{L}_{hist}(S, O) = \displaystyle\sum_l \gamma_l \displaystyle\sum_{i, j} \left(F^l_{ij}\left[O\right] - R\left(F^l_{ij}\left[O\right]\right)\right)^2,$$
-Пусть $R = histmatch(S, O)$ {{---}} отображение пикселей такое, что гистограмма $S$ совпадает с гистограммой $R(O)$.}}
+где $\gamma_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь.
-{{Определение
-|id=hist_loss_def
-|definition =
-$\mathcal{L}^{\gamma}_{hist}(S, O) = \displaystyle\sum_l \gamma_l \displaystyle\sum_{i, j} (F^l_{ij}\left[O\right] - R(F^l_{ij}\left[O\right]))^2$ {{---}} функция потерь гистограмм, где
-$\gamma_l$ {{---}} вклад $l$-го слоя в функцию потерь}}
-'''Замечание:''' Если в случае остальных функций потерь нетрудно посчитать производную, то здесь могут возникнуть проблемы. Но поскольку $\displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}_{hist}}{\partial F^l_{ij}\left[O\right]}$ является нулём почти везде, авторы предлагают при подсчёте производной считать $R(F^l_{ij}\left[O\right])$ константой, которая не зависит от $O$.
+'''Замечание:''' Если в случае остальных функций потерь нетрудно посчитать производную, то здесь могут возникнуть проблемы. Но поскольку $\displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}_{hist}}{\partial F^l_{ij}\left[O\right]}$ является нулём почти везде, авторы предлагают при подсчёте производной считать $R\left(F^l_{ij}\left[O\right]\right)$ константой, которая не зависит от $O$.
 ===Total variation loss===
-Также добавим ещё одну функцию потерь, которая удаляет шумы, при этом сохраняя важные детали изображения<ref name="MV15">[https://arxiv.org/pdf/1412.0035.pdf Understanding Deep Image Representations by Inverting Them] Aravindh Mahendran, Andrea Vedaldi (2015)</ref><ref name="JAFF16">[https://arxiv.org/pdf/1603.08155.pdf Perceptual Losses for Real-Time Style Transfer and Super-Resolution] Justin Johnson, Alexandre Alahi, Li Fei-Fei (2016)</ref>.
+Также добавим ещё одну функцию потерь, которая удаляет шумы, при этом сохраняя важные детали изображения<ref name="MV15">[https://arxiv.org/pdf/1412.0035.pdf Understanding Deep Image Representations by Inverting Them] Aravindh Mahendran, Andrea Vedaldi (2015)</ref><ref name="JAFF16">[https://arxiv.org/pdf/1603.08155.pdf Perceptual Losses for Real-Time Style Transfer and Super-Resolution] Justin Johnson, Alexandre Alahi, Li Fei-Fei (2016)</ref>:
-{{Определение
-|id=tv_loss_def
+$$\mathcal{L}_{tv}(O) = \displaystyle\sum_{i, j} \left(O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}\right)^2 + \left(O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}\right)^2.$$
-|definition =
-$\mathcal{L}_{tv}(O) = \displaystyle\sum_{i, j} (O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}))^2 + (O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}))^2$ {{---}} общая вариационная потеря (англ. ''Total variation loss'').}}
-==Глубокая гармонизация картин<ref name="LPSB18">https://arxiv.org/pdf/1804.03189.pdf Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018)</ref>==
+==Глубокая гармонизация картин==
-Для того чтобы вставить изображение в картину или рисунок нужно не только сделать бесшовный переход и изменить цвета, но ещё и изменить текстуру вставляемого изображения, например сымитировать мазки кистью. Используем для этого комбинацию подходов из других статей<ref name="GEB16"/><ref name="JAFF16"/><ref name="WRB17"/>.
+Для того чтобы вставить изображение в картину или рисунок нужно не только сделать бесшовный переход и изменить цвета, но ещё и изменить текстуру вставляемого изображения, например, сымитировать мазки кистью (рисунок $2$). Используем для этого комбинацию подходов из других статей<ref name="GEB16"/><ref name="JAFF16"/><ref name="WRB17"/>.
-[[Файл:LPSB18_Figure_1.png|1000px|thumb|center|Пример работы алгоритма ''Deep Image Analogy''<ref name="LYY*17">[https://arxiv.org/pdf/1705.01088.pdf Visual Attribute Transfer through Deep Image Analogy] Jing Liao, Yuan Yao, Lu Yuan, Gang Hua, Sing Bing Kang (2017)</ref> (3 картинка) и ''Deep Painterly Harmonization''<ref name="LPSB18"/> (4 картинка)]]
+<div class="oo-ui-panelLayout-scrollable" style="display: block; vertical-align:middle; height: auto; max-width: auto; float: center">[[Файл:LPSB18_Figure_1.png|750px|thumb|center|Рисунок $2$: Пример работы алгоритма ''Deep Image Analogy''<ref name="LYY*17">[https://arxiv.org/pdf/1705.01088.pdf Visual Attribute Transfer through Deep Image Analogy] Jing Liao, Yuan Yao, Lu Yuan, Gang Hua, Sing Bing Kang (2017)</ref> ($3$ картинка) и ''Deep Painterly Harmonization''<ref name="LPSB18"/> ($4$ картинка)]]</div>
-Алгоритм будет состоять из двух проходов. Первый проход будет делать грубую гармонизацию, а второй {{---}} более тщательную. Отличаться они будут '''стилевым маппингом''' и функциями потерь.
+Алгоритм состоит из двух проходов. Первый проход делает грубую гармонизацию, а второй {{---}} более тщательную. Отличаются они '''стилевым маппингом''' и функциями потерь<ref name="LPSB18">https://arxiv.org/pdf/1804.03189.pdf Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018)</ref>.
 {{Определение
 |definition =
-'''Стилевым маппингом''' мы будем называть отображение $P : \mathcal{R}^{N_l \times M_l} \rightarrow \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$, которое некоторым образом переставляет столбцы матрицы (не обязательно обратимо, то есть столбцы могут теряться и копироваться). Более формально, пусть $p(j)$ {{---}} новая позиция столбца $j$, тогда $P(Q)_{i, p(j)} = Q_{ij}$.}}
+'''Стилевым маппингом''' назовём отображение $P : \mathcal{R}^{N_l \times M_l} \rightarrow \mathcal{R}^{N_l \times M_l}$, которое некоторым образом переставляет столбцы матрицы (не обязательно обратимо, то есть столбцы могут теряться и копироваться). Более формально, пусть $p(j)$ {{---}} новая позиция столбца $j$, тогда $P(Q)_{i, p(j)} = Q_{ij}$.}}
-Один проход будет состоять из $3$ частей:
+Один проход состоит из $3$ частей:
 # Входное $I$ и стилевое $S$ изображения подаются на вход нейронной сети VGG-19, так мы получаем $F^l_{ij}\left[I\right]$ и $F^l_{ij}\left[S\right]$.
-# Для каждого слоя $l$ некоторым алгоритмом cтроится стилевой маппинг $P_l$, который сопоставляет столбцам из $F_l[I]$ столбцы из $F_l[S]$.
+# Для каждого слоя $l$ некоторым алгоритмом $\pi$ cтроится стилевой маппинг $P_l$, который сопоставляет столбцам из $F_l[I]$ столбцы из $F_l[S]$.
-# Изображение $O$ восстанавливается градиентным спуском по пространству изображений, используя некоторую функцию потерь.
+# Изображение $O$ восстанавливается градиентным спуском по пространству изображений с использованием функции потерь $\mathcal{L}$.
 <font size="3em">
    '''fun''' $SinglePassHarmonization$(
-     $I$, <font color="green">  // Входное изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$I$,</span><font color="green">// Входное изображение </font>
-     $M$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$M$,</span><font color="green">// Маска </font>
-     $S$, <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$S$,</span><font color="green">// Стилевое изображение </font>
-     $\pi$, <font color="green">  // Алгоритм построения стилевого маппинга </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$\pi$,</span><font color="green">// Алгоритм построения стилевого маппинга </font>
-     $\mathcal{L}$ <font color="green">  // Функция потерь </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$\mathcal{L}$</span><font color="green">// Функция потерь </font>
    ):
      <font color="green">// Строим матрицы $F[I]$ и $F[S]$ с помощью свёрточной сети VGG-19 </font>
@@ Строка 163: / Строка 164: @@
      <font color="green">// Градиентным спуском ищем изображение $O$, которое минимизирует $\mathcal{L}$ </font>
      $O \leftarrow Reconstruct(I, M, S, P, \mathcal{L})$
      '''return''' $O$
 </font>
@@ Строка 171: / Строка 171: @@
 {{Определение
 |definition =
-'''Вектор активации''' (англ. ''activation vector'') {{---}} это вектор значений функции активации для каждого фильтра свёрточного слоя. Заметим, что столбцы $F_l$ являются векторами активации.}}
+'''Патчем''' (англ. ''patch'') для столбца $j$ будем называть тензор $3 \times 3 \times N_l$, который состоит из соседних векторов активации в тензоре выхода свёрточного слоя, с центром в $(x, y)$, где $j = y W_l + x$.}}
-{{Определение
-|definition =
-'''Патчем''' (англ. ''patch'') для столбца $j$ будем называть тензор $3 \times 3 \times N_l$, который состоит из соседних векторов активации в тензоре свёрточного слоя, с центром в столбце $j$}}
-[[Файл:LPSB18_Figure_2b.png|250px|thumb|right|Результаты после первого прохода]]
+<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:LPSB18_Figure_2c.png|250px|thumb|none|Рисунок $3.2$: Результаты после второго прохода<ref name="WRB17"/>]]</div>
+<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:LPSB18_Figure_2b.png|250px|thumb|none|Рисунок $3.1$: Результаты после первого прохода<ref name="WRB17"/>]]</div>
-Первый проход делает грубую гармонизацию, но при этом он хорошо работает с любыми стилями. Здесь используется алгоритм <code>IndependentMapping</code> для построения стилевого маппинга. Этот алгоритм для каждого столбца $j$ в $F_l[I]$ ищет столбец $p(j)$ в $F_l[S]$, такой что евклидово расстояние между патчем $F_l[I]$ с центром $j$ и патчем $F_l[S]$ с центром $p(j)$ минимально (метод ближайшего соседа).
+Первый проход делает грубую гармонизацию, но при этом он хорошо работает с любыми стилями (рисунок $3.1$). Здесь используется алгоритм $IndependentMapping$ для построения стилевого маппинга. Этот алгоритм для каждого столбца $j$ в $F_l[I]$ ищет столбец $p(j)$ в $F_l[S]$, такой что евклидово расстояние между патчем $F_l[I]$ с центром $j$ и патчем $F_l[S]$ с центром $p(j)$ минимально (метод ближайшего соседа).
 <font size="3em">
    '''fun''' $IndependentMapping$(
-     $F[I]$, <font color="green">  // Выходы слоёв после входного изображения </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$F[I]$,</span><font color="green">// Выходы слоёв после входного изображения </font>
-     $Mask$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$Mask$,</span><font color="green">// Маска </font>
-     $F[S]$ <font color="green">  // Выходы слоёв после стилевого изображения </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$F[S]$</span><font color="green">// Выходы слоёв после стилевого изображения </font>
    ):
-     '''for''' $l \in [1 : L]$: <font color="green"> // L = количество слоёв сети </font>
+    <font color="green">// Для всех слоёв от $1$ до $L$ </font>
+     '''for''' $l \in [1 : L]$:
+      <font color="green">// Для всех столбцов от $1$ до $M_l$ </font>
        '''for''' $j \in [1 : M_l]$:
-         '''if''' $j \in Resize(Mask, l)$: <font color="green"> // рассматриваем патчи только внутри маски, которую нужно масштабировать в соответсвии с размером слоя $l$ </font>
+        <font color="green">// Рассматриваем патчи только внутри маски, которую нужно масштабировать в соответсвии с размером слоя $l$ </font>
+         '''if''' $j \in Resize(Mask, l)$:
+          <font color="green">// Берём самый похожий стилевой патч и записываем его в маппинг. </font>
            $P_l(j) \leftarrow NearestNeighborIndex(F[I], j, F[S])$
      '''return''' $P$
 </font>
-В первом проходе используется модифицированная функция потерь $\mathcal{L}_{Gatys}$, с тем лишь отличием, что к $F_l[S]$ применяется стилевой маппинг $P_l$.
+В первом проходе используется модифицированная функция потерь $\mathcal{L}_{Gatys}$, с тем лишь отличием, что в $\mathcal{L}_{style}$ к $F_l[S]$ применяется стилевой маппинг $P_l$:
-{{Определение
-|definition =
+$$\mathcal{L}_1(I, S, O, P) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O, P).$$
-$\mathcal{L}_1(I, S, O, P) = \mathcal{L}^{\alpha}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}^{\beta}_{style}(S, O, P)$, где $w_{style}$ {{---}} вес стилевой функции потерь}}
+'''Замечание:''' при посчёте градиента $\mathcal{L}_{content}$ используются только пиксели внутри маски<ref>https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_gram.lua#L349</ref>.
 ===Второй проход===
-[[Файл:LPSB18_Figure_2c.png|250px|thumb|right|Результаты после второго прохода]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_5c.png|thumb|right|250px|Рисунок $4.1$: Только первый проход<ref name="WRB17"/>]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_5d.png|thumb|right|250px|Рисунок $4.2$: Только второй проход<ref name="WRB17"/>]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_5f.png|thumb|right|250px|Рисунок $4.3$: Результат с $\mathcal{L}_{style}$ вместо $\mathcal{L}_{s1}$<ref name="WRB17"/>]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_5g.png|thumb|right|250px|Рисунок $4.4$: Оба прохода<ref name="WRB17"/>]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_5h.png|thumb|right|250px|Рисунок $4.5$: Финальный результат<ref name="WRB17"/>]]
-Второй проход делает более качественную гармонизацию после первого прохода. Здесь мы будем использовать более сложный алгоритм <code>ConsistentMapping</code> построения стилевого маппинга и более сложную функцию потерь. Суть этого алгоритма в том, чтобы найти стилевой мапинг на некотором слое $l_{ref}$ и перенести этот маппинг на остальные слои. Также, мы будем предпочитать маппинги, в которых смежные патчи в $F_l[S]$ остаются смежными после мапинга, чтобы обеспечить пространсвенную согласованность (видимо таким образом мы хотим переносить сложные текстуры более качественно, например мазки кистью).
+Второй проход делает более качественную гармонизацию после первого прохода (рисунок $3.2$). Здесь мы будем использовать более сложный алгоритм $ConsistentMapping$ построения стилевого маппинга и более сложную функцию потерь. Суть этого алгоритма в том, чтобы найти стилевой мапинг на некотором слое $l_{ref}$ и перенести этот маппинг на остальные слои. Также, мы будем предпочитать маппинги, в которых смежные патчи в $F_l[S]$ остаются смежными после мапинга, чтобы обеспечить пространсвенную согласованность (таким образом мы хотим переносить сложные текстуры более качественно, например, мазки кистью). Если применять второй проход сразу, то результаты получаются хуже (рисунок $4.2$).
 <font size="3em">
-   '''fun''' ConsistentMapping(
+   '''fun''' $ConsistentMapping$(
-     $F[I]$, <font color="green">  // Выходы слоёв после входного изображения </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$F[I]$,</span><font color="green">// Выходы слоёв после входного изображения </font>
-     $Mask$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$Mask$,</span><font color="green">// Маска </font>
-     $F[S]$ <font color="green">  // Выходы слоёв после стилевого изображения </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$F[S]$</span><font color="green">// Выходы слоёв после стилевого изображения </font>
    ):
      <font color="green">// Сначала посчитаем маппинг как в IndependentMapping только для слоя $l_{ref}$ </font>
@@ Строка 223: / Строка 230: @@
          $CSet \leftarrow \{q\}$
          <font color="green">// Перебираем все смежные патчи </font>
-         '''for''' $o \in {N, NE, E, SE, S, SW, W, NW}$:
+         '''for''' $o \in \left\{N, NE, E, SE, S, SW, W, NW\right\}$:
            <font color="green">// Добавляем в кандидаты патч, сосед которого является маппингом для нашего соседа в соответсвующем направлении </font>
-           $CSet \leftarrow CSet \cup \{P_0(j + o) - o\}$
+           $CSet \leftarrow CSet \cup \left\{P_0(j + o) - o\right\}$
          <font color="green">// Среди всех кандидатов выбираем тот, который ближе всего к маппингам наших соседей </font>
-         $P_{l_{ref}}(j) \leftarrow argmin_{c \in CSet}\displaystyle\sum_o \|(F_{l_{ref}}[S]_c - F_{l_{ref}}[S]_{P_0(j + o)}\|^2$
+         $P_{l_{ref}}(j) \leftarrow \underset{c \in CSet}{\mathrm{argmin}}\displaystyle\sum_o \left\|(F_{l_{ref}}[S]_c - F_{l_{ref}}[S]_{P_0(j + o)}\right\|^2$
      <font color="green">// Теперь нужно перенести маппинг для $l_{ref}$ на остальные слои </font>
@@ Строка 239: / Строка 246: @@
            <font color="green">// Переносим позицию $q$ обратно на слой $l$</font>
            $P_l(j) \leftarrow ChangeResolution(l_{ref}, l, q)$
-     '''return''' P
+     '''return''' $P$
 </font>
-При вычислении стилевого маппинга появляется очень много дублирующихся векторов, что даёт не очень хорошие результаты. Поэтому при вычислении матрицы Грама выкинем повторяющиеся векторы. Назовём эту функцию потерь $\mathcal{L}_{s1}$.
+При вычислении стилевого маппинга появляется очень много дублирующихся векторов, что даёт не очень хорошие результаты (рисунок $4.3$). Поэтому при вычислении матрицы Грама выкинем повторяющиеся векторы. Назовём функцию потерь с такой модификацией $\mathcal{L}_{s1}$.
-{{Определение
+$$\mathcal{L}_2(I, S, O, P) = \mathcal{L}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}_{s1}(S, O, P) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O),$$
-|definition =
+где $w_{style}, w_{hist}, w_{tv}$ {{---}} веса соответсвующих функций потерь.
-$\mathcal{L}_2(I, S, O, P) = \mathcal{L}^{\alpha}_{content}(I, O) + w_{style}\mathcal{L}^{\beta}_{s1}(S, O, P) + w_{hist}\mathcal{L}^{\gamma}_{hist}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O)$, где $w_{style}$, $w_{hist}$, $w_{tv}$ {{---}} веса соответсвующих функций потерь}}
-{|
+<!--
-| [[Файл:LPSB18_Figure_5c.png|250px|thumb|none|Только второй проход]]
+{| class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center"
-| [[Файл:LPSB18_Figure_5d.png|250px|thumb|none|Только первый проход]]
+|-
-| [[Файл:LPSB18_Figure_5f.png|250px|thumb|none|Результат с $\mathcal{L}_{style}$ вместо $\mathcal{L}_{s1}$]]
+| Рисунок $4.1$: Только первый проход<ref name="WRB17"/>
+| Рисунок $4.2$: Только второй проход<ref name="WRB17"/>
+| Рисунок $4.3$: Результат с $\mathcal{L}_{style}$ вместо $\mathcal{L}_{s1}$<ref name="WRB17"/>
+| Рисунок $4.4$: Оба прохода<ref name="WRB17"/>
+| Рисунок $4.5$: Финальный результат<ref name="WRB17"/>
+|-
+| [[Файл:LPSB18_Figure_5c.png|250px]]
+| [[Файл:LPSB18_Figure_5d.png|250px]]
+| [[Файл:LPSB18_Figure_5f.png|250px]]
+| [[Файл:LPSB18_Figure_5g.png|250px]]
+| [[Файл:LPSB18_Figure_5h.png|250px]]
 |}
+-->
 ===Итоговый алгоритм===
-Теперь осталось запустить две стадии
+Теперь осталось запустить две стадии:
 <font size="3em">
    '''fun''' $Harmonization$(
-     $I$, <font color="green">  // Входное изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$I$,</span><font color="green">// Входное изображение </font>
-     $Mask$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$Mask$,</span><font color="green">// Маска </font>
-     $S$  <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 5em">$S$</span><font color="green">// Стилевое изображение </font>
    ):
      <font color="green">// Грубый проход алгоритма. Каждый слой рассматривается отдельно при построении стилевого маппинга. </font>
@@ Строка 273: / Строка 290: @@
 ===Постобработка===
-[[Файл:LPSB18_Figure_6abc.png|400px|thumb|right|Результат постобработки (без постобработки , после первой стадии, после второй стадии)]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_6abc.png|400px|thumb|right|Рисунок $5$: Результат постобработки (без постобработки, после первой стадии, после второй стадии)<ref name="WRB17"/>]]
-Описанный алгоритм даёт хорошие результаты в целом, но при ближайшем рассмотрении могут быть артефакты. Поэтому сделаем двухступенчатую постобработку (подробное описание есть в оригинальной статье<ref name="LPSB18"/>):
+Описанный алгоритм даёт хорошие результаты в целом, но при ближайшем рассмотрении могут быть артефакты (рисунок $5$). Поэтому сделаем двухступенчатую постобработку (подробное описание есть в оригинальной статье<ref name="LPSB18"/>):
-# Переведём изображение в [https://en.wikipedia.org/wiki/CIELAB_color_space CIELAB] и применим [https://en.wikipedia.org/wiki/Guided_filter Guided filter] для a и b каналов.
+# Переведём изображение в цветовое пространство [https://en.wikipedia.org/wiki/CIELAB_color_space $L*\alpha*\beta$] и применим [https://en.wikipedia.org/wiki/Guided_filter Guided filter] для a и b каналов.
-# С помощью алгоритма PatchMatch<ref name="BSFG09">https://www.researchgate.net/profile/Eli_Shechtman/publication/220184392_PatchMatch_A_Randomized_Correspondence_Algorithm_for_Structural_Image_Editing/links/02e7e520897b12bf0f000000.pdf Connelly Barnes, Eli Shechtman, Adam Finkelstein, Dan B Goldman (2009)</ref> и того же Guided filter делаем так чтобы все патчи выходного изображения присутсвовали в стилевом (чтобы не было новых объектов или структур)
+# С помощью алгоритма PatchMatch<ref name="BSFG09">https://www.researchgate.net/profile/Eli_Shechtman/publication/220184392_PatchMatch_A_Randomized_Correspondence_Algorithm_for_Structural_Image_Editing/links/02e7e520897b12bf0f000000.pdf Connelly Barnes, Eli Shechtman, Adam Finkelstein, Dan B Goldman (2009)</ref> и того же Guided filter делаем так, чтобы все патчи выходного изображения присутсвовали в стилевом (чтобы не было новых объектов или структур).
-===Подбор гиперпараметров===
+===Детали реализации===
-[[Файл:LPSB18_Figure_4.png|400px|thumb|none|Влияние $l_{ref}$ на результат]]
+[[Файл:LPSB18_Figure_4.png|400px|thumb|right|Рисунок $6$: Влияние $l_{ref}$ на результат<ref name="WRB17"/>]]
-Возьмём $l_{ref}$ = conv4_1.
+Возьмём $l_{ref}$ = conv4_1 (что будет если использовать другие слои видно на рисунке $6$).
 Выберем следующие веса для слоёв:
@@ Строка 343: / Строка 360: @@
 |}
-Введём гиперпараметр $\tau$ и возьмём $w_{style} = w_{hist} = \tau$, $w_{tv} = \tau\frac{10}{1 + \exp(10^4 * noise(S) - 25)}$, где $noise(S) = med_{i,j}\left\{(O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}))^2 + (O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}))^2\right\}$<ref>[https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_paint.lua#L470 код функции $noise$</ref>
+<!--
+{| class="wikitable"
+|+ Веса функций потерь
+|-
+! $w_{style}$
+! $w_{hist}$
+! $w_{tv}$
+|-
+| $\tau$
+| $\tau$
+| $\tau\frac{10}{1 + \exp(10^4 * noise(S) - 25)}$
+|}
+-->
+Введём гиперпараметр $\tau$ и возьмём $w_{style} = w_{hist} = \tau$, $w_{tv} = \tau\frac{10}{1 + \exp(10^4 * noise(S) - 25)}$, где $noise(S) = \underset{i,j}{\mathrm{med}}\left\{\left(O^l_{i, j} - O^l_{i-1, j}\right)^2 + \left(O^l_{i, j} - O^l_{i, j-1}\right)^2\right\}$<ref>[https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/blob/a33a9a70366b6baff1cc0291f857b5895b271fc1/neural_paint.lua#L470 код функции $noise$.</ref>.
-Для того чтобы подбирать $\tau$ авторы статьи использовали классификатор стилей изображений. Они взяли VGG-19, обучили её классифицировать 18 различных стилей. Эти стили были разделены на 3 категории с разными $\tau$. Используя Softmax можно интерполировать необходимый $\tau$ по следующей таблице:
+Для того чтобы подбирать $\tau$ авторы статьи использовали классификатор стилей изображений. Они взяли VGG-19, обучили её классифицировать $18$ различных стилей. Эти стили были разделены на $3$ категории с разными $\tau$. Используя $Softmax$ можно интерполировать необходимый $\tau$ по следующей таблице:
 {| class="wikitable"
@@ Строка 365: / Строка 395: @@
 | $10$
 |}
+На рисунке $4.4$ результат алгоритма без подбора гиперпараметров. Видно, что самолёт ярче, чем остальное изображение. С подбором параметров получается более естественный результат (рисунок $4.5$).
 ===Примеры===
+Примеры взяты с [https://github.com/luanfujun/deep-painterly-harmonization/tree/master/results Github авторов].
 {|
@@ Строка 374: / Строка 407: @@
 ! Постобработка
 |-
-| [[Файл:5_target.jpg|300px]]
+| [[Файл:5_target.jpg|180px]]
-| [[Файл:5_naive.jpg|300px]]
+| [[Файл:5_naive.jpg|180px]]
-| [[Файл:5_final_res.png|300px]]
+| [[Файл:5_final_res.png|180px]]
-| [[Файл:5_final_res2.png|300px]]
+| [[Файл:5_final_res2.png|180px]]
 |-
-| [[Файл:6_target.jpg|300px]]
+| [[Файл:6_target.jpg|180px]]
-| [[Файл:6_naive.jpg|300px]]
+| [[Файл:6_naive.jpg|180px]]
-| [[Файл:6_final_res.png|300px]]
+| [[Файл:6_final_res.png|180px]]
-| [[Файл:6_final_res2.png|300px]]
+| [[Файл:6_final_res2.png|180px]]
 |-
-| [[Файл:10_target.jpg|300px]]
+| [[Файл:10_target.jpg|180px]]
-| [[Файл:10_naive.jpg|300px]]
+| [[Файл:10_naive.jpg|180px]]
-| [[Файл:10_final_res.png|300px]]
+| [[Файл:10_final_res.png|180px]]
-| [[Файл:10_final_res2.png|300px]]
+| [[Файл:10_final_res2.png|180px]]
 |}
+===Более новые подходы===
+* [https://arxiv.org/pdf/2006.00809.pdf Foreground-aware Semantic Representations for Image Harmonization]
+* [https://arxiv.org/pdf/2009.09169.pdf BargainNet: Background-Guided Domain Translation for Image Harmonization]
 ==Глубокий блендинг==
+<!-- Настя лапочка :3 -->
 Алгоритм глубокого блендинга состоит из двух этапов. На первом этапе на стилевое изображения $S$ бесшовно накладывается входное изображение $I$, получается подготовительное блендинг-изображение $B$. На втором этапе $B$ модифицируется таким образом, чтобы результат по стилю был похож на $S$.
 Будем считать, что на вход подаются изображения, прошедшие предварительную обработку:
-* Используемая для вставки часть $I$ вырезана с помощью маски
+* Используемая для вставки часть $I$ вырезана с помощью маски.
-* $M$ и $I$ выровнены относительно $S$
+* $M$ и $I$ выровнены относительно $S$.
-* Размеры матриц, задающих $M, S, I$ совпадают
+* Размеры матриц, задающих $M, S, I$, совпадают.
 '''Примеры входных данных:'''
 {| class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center"
-|-
+! '''Стилевое <br/> изображение $S$'''<ref name='ZWS20'/>
-! '''Стилевое <br/> изображение $S$'''
 | [[Файл:Deep bl s1.png|150px]]
 | [[Файл:Deep bl s2.png|150px]]
 | [[Файл:Deep bl s3.png|150px]]
 |-
-! '''Накладываемое <br/> изображение $I$'''
+! '''Накладываемое <br/> изображение $I$'''<ref name='ZWS20'/>
 | [[Файл:Deep bl i1.png|150px]]
 | [[Файл:Deep bl i2.png|150px]]
 | [[Файл:Deep bl i3.png|150px]]
 |}
-На обоих этапах алгоритм минимизирует взвешенную сумму следующих функций потерь:
-* [[Блендинг_изображений#content_loss_def|Функция потерь содержания]] $\mathcal{L}_{cont}$ для сохранения содержания накладываемого изображения $I$
-* [[Блендинг_изображений#style_loss_def|Функция потерь стиля]] $\mathcal{L}_{style}$ для переноса стиля изображения $S$ на $I$
-* [[Блендинг_изображений#hist_loss_def|Гистограмная функция потерь]] $\mathcal{L}_{hist}$ для стабилизации переноса стиля
-* [[Блендинг_изображений#tv_loss_def|Функция потерь полного отклонения]] $\mathcal{L}_{tv}$ для удаления шумов
-* [[Блендинг_изображений#grad_loss_def|Градиентная функция потерь]] $\mathcal{L}_{grad}$ для бесшовности наложения
-Для подсчета $\mathcal{L}_{style}$ и $\mathcal{L}_{content}$ авторами статьи<ref name='ZWS20'/> использовалась сеть VGG-19<ref name="SZ14"/>, обученная на ImageNet<ref name="ImageNet">https://image-net.org/papers/imagenet_cvpr09.pdf J. Deng, W. Dong, R. Socher, L.-J. Li, K. Li, and L. FeiFei. Imagenet: A large-scale hierarchical image database</ref>.
 {{Определение
@@ Строка 428: / Строка 458: @@
 {{Определение
-|id=grad_loss_def
 |definition =
-$\mathcal{L}_{grad}(S, I, M, O) = \displaystyle\frac{1}{2HW}\displaystyle\sum_{m=1}^H \displaystyle\sum_{n=1}^W [\,\nabla^2 f(B) - (\nabla^2 f(S) + \nabla^2 f(I)) ]\,^2_{mn}$ {{---}} градиентная функция потерь (англ. ''Possion gradient loss''). $\nabla^2$ {{---}} оператор Лапласа. $H, W$ {{---}} высота и ширина изображений. $B = CAP(M, S, O)$ {{---}} блендинговое изображение, оптимизируемое относительно $O$. }}
+'''Дискретный оператор Лапласа''' (фильтр Лапласа) $\mathbf{D}^2$ {{---}} аналог непрерывного оператора Лапласа $\nabla^2$, который позволяет выделять контуры изображения (рисунки $7.1$ и $7.2$).
+$$\mathbf{D}^2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}.$$ }}
+{| class="wikitable" style="float:right; clear:right;"
+!Рисунок $7.1$:<br>Исходное изображение<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Lenna#/media/File:Lenna_(test_image).png</ref>
+!Рисунок $7.2$:<br>Применение фильтра Лапласа
+|-
+| [[Файл:Lenna.png|220px]]
+| [[Файл:Lenna_Laplacian_Neg.png|220px]]
+|}
+Для сохранения контуров изображений $S$ и $I$ в области вставки воспользуемся идеей из [[Блендинг изображений#Блендинг Пуассона|метода Пуассона]] и введём следующую функцию потерь<ref name='ZWS20'/>:
+$$\mathcal{L}_{grad}(S, I, M, O) = \displaystyle\frac{1}{2HW}\displaystyle\sum_{m=1}^H \displaystyle\sum_{n=1}^W \left[ \mathbf{D}^2 B - \left(\mathbf{D}^2 S + \mathbf{D}^2 I\right) \right]^2_{mn},$$
+где $H, W$ {{---}} высота и ширина изображений. $B = CAP(M, S, O)$ {{---}} блендинговое изображение, оптимизируемое относительно $O$.
+Рассмотрим область $\overline{\Omega} = \{\;p \;| \;M_p = 0\; \}$. Заметим, что градиент $I$ в $\overline{\Omega}$ равен нулю. Тогда градиенты $S$ и $B$ совпадают, и задача минимизации $\mathcal{L}_{grad}$ решается только в области вставки.
+На обоих этапах алгоритм минимизирует взвешенную сумму следующих функций потерь:
+* $\mathcal{L}_{content}$ для сохранения содержания накладываемого изображения $I$.
+* $\mathcal{L}_{style}$ для переноса стиля изображения $S$ на $I$.
+* $\mathcal{L}_{hist}$ для стабилизации переноса стиля.
+* $\mathcal{L}_{tv}$ для удаления шумов.
+* $\mathcal{L}_{grad}$ для сохранения контуров фона и изображения.
+<!-- 0JAg0LXRidGRINCd0LDRgdGC0Y8g0L7Rh9C10L3RjCDQvNC40LvQsNGPIQ== -->
+Для подсчета $\mathcal{L}_{style}$ и $\mathcal{L}_{content}$ авторами статьи<ref name='ZWS20'>[https://openaccess.thecvf.com/content_WACV_2020/papers/Zhang_Deep_Image_Blending_WACV_2020_paper.pdf Deep Image Blending] Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020)</ref> использовалась сеть VGG-19<ref name="SZ14"/>, обученная на ImageNet<ref name="ImageNet">https://image-net.org/papers/imagenet_cvpr09.pdf J. Deng, W. Dong, R. Socher, L.-J. Li, K. Li, and L. FeiFei. Imagenet: A large-scale hierarchical image database</ref>.
 === Первый этап ===
-[[Файл:Deep bl 1stage.png|thumb|right|200px|Результат первого этапа]]
 На первом этапе изображение $I$ накладывается на фоновое изображение $S$ таким образом, чтобы были незаметны швы.
 Построение начинается с белого шума $Z$, который оптимизируется в области вставки путем минимизации суммарной функции потерь $\mathcal{L}_{total}$, представленной взвешенной суммой всех функций потерь, описанных выше:
-$$ \mathcal{L}_{total}(Z) = w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{cont}\mathcal{L}_{cont}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B) $$
+$$ \mathcal{L}_{total}(Z) = w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{content}\mathcal{L}_{content}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B).$$
-Отметим, что $\mathcal{L}_{cont}$ зависит от маски и отвечает за сохранение содержания $I$ в области вставки.
+Для решения задачи минимизации авторы статьи<ref name='ZWS20' /> используют алгоритм L-BFGS<ref name="LBFGS">https://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS Limited-memory BFGS - Wikipedia</ref>.
-Отличительной чертой этого этапа является использование функции потерь $\mathcal{L}_{grad}$, приближающей градиент результата к градиенту $I$ в области наложения, за счет чего достигается бесшовность. Для вычисления производных второго порядка используется фильтр Лапласа.
+Отметим, что $\mathcal{L}_{content}$ зависит от маски и отвечает за сохранение содержания $I$ в области вставки.
-В результате получается подготовительное блендинг-изображение $B$:
+Отличительной чертой этого этапа является использование функции потерь $\mathcal{L}_{grad}$, приближающей градиент результата к градиенту $I$ в области наложения, за счет чего достигается бесшовность.
-$$
-B_p =
+В результате получается подготовительное блендинг-изображение $B$.
-\begin{cases}
-Z_p,\; \text{если } M_p = 1 \\
-S_p,\; \text{иначе }
-\end{cases}
-$$
 <font size="3em">
    '''fun''' $SeamlessBlending$(
-     $I$, <font color="green">  // Входное изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$I$,</span> <font color="green">  // Входное изображение </font>
-     $M$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$M$,</span> <font color="green">  // Маска </font>
-     $S$ <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$S$ </span> <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
    ):
      <font color="green">// Инициализируем первое приближение белым шумом </font>
@@ Строка 461: / Строка 507: @@
      $B \leftarrow CAP(M, S, Z)$
      <font color="green">// Определим суммарную функцию потерь с весами слагаемых $w$</font>
-     $\mathcal{L}_{total}(Z) \leftarrow w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{cont}\mathcal{L}_{cont}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B)$
+     $\mathcal{L}_{total}(Z) \leftarrow w_{grad}\mathcal{L}_{grad}(I, S, B) + w_{content}\mathcal{L}_{content}(I, M, Z) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, B) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(B) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, B)$
      <font color="green">// С помощью алгоритма L-BFGS ищем изображение $Z$, которое минимизирует $\mathcal{L}_{total}$ </font>
      $Z \leftarrow Reconstruct(\mathcal{L}_{total}, Z)$
@@ Строка 468: / Строка 514: @@
 === Второй этап ===
-[[Файл:Deep bl 2stage.png|thumb|right|200px|Результат после обоих этапов]]
 Второй этап алгоритма представляет собой модификацию полученного на первом этапе блендинг-изображения $B$ таким образом, чтобы стиль изображения был наиболее близок к стилю $S$.
 В отличие от предыдущего этапа, функция потерь не включает в себя $\mathcal{L}_{grad}$:
-$$\mathcal{L}_{total}(O) = w_{cont}\mathcal{L}_{cont}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O)$$
+$$\mathcal{L}_{total}(O) = w_{content}\mathcal{L}_{content}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O).$$
-Минимизация происходит относительно результата алгоритма $O$, которой инициализируется изображением $B$.
+Минимизация происходит относительно результата алгоритма $O$, который инициализируется изображением $B$.
 <font size="3em">
    '''fun''' $StyleRefinement$(
-    $B$, <font color="green">  // Подготовительное блендинг-изображение, результат первого этапа </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$B$,</span> <font color="green">  // Подготовительное блендинг-изображение, результат первого этапа </font>
-    $M$, <font color="green">  // Маска </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$M$,</span> <font color="green">  // Маска </font>
-    $S$ <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
+     <span style="display: inline-block; width: 3em">$S$ </span> <font color="green">  // Стилевое изображение </font>
    ):
      $O \leftarrow B$
      <font color="green">// Определим суммарную функцию потерь с весами слагаемых $w$</font>
-     $\mathcal{L}_{total}(O) \leftarrow w_{cont}\mathcal{L}_{cont}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O)$
+     $\mathcal{L}_{total}(O) \leftarrow w_{cont}\mathcal{L}_{content}(B, O) + w_{style}\mathcal{L}_{style}(S, O) + w_{tv}\mathcal{L}_{tv}(O) + w_{hist}\mathcal{L}_{hist}(S, O)$
      <font color="green">// С помощью алгоритма L-BFGS ищем изображение $O$, которое минимизирует $\mathcal{L}_{total}$ </font>
      $O \leftarrow Reconstruct(\mathcal{L}_{total}, O)$
      '''return''' $O$
 </font>
+Примеры с [https://github.com/owenzlz/DeepImageBlending/tree/master/results Github авторов]:
+{|
+! После первого этапа
+! После обоих этапов
+|-
+| [[Файл:1_first_pass.png|300px]]
+| [[Файл:1_second_pass.png|300px]]
+|-
+| [[Файл:3_first_pass.png|300px]]
+| [[Файл:3_second_pass.png|300px]]
+|-
+| [[Файл:5_first_pass.png|300px]]
+| [[Файл:5_second_pass.png|300px]]
+|}
+===Детали реализации===
+В статье использовались следующие значения коэффициентов:
+{| class="wikitable"
+|+ Веса функций потерь
+|-
+! Этап
+! $w_{grad}$
+! $w_{content}$
+! $w_{style}$
+! $w_{hist}$
+! $w_{tv}$
+|-
+! $1$
+| $10^5$
+| $1$
+| $10^5$
+| $1$
+| $10^{-6}$
+|-
+! $2$
+| $0$
+| $1$
+| $10^7$
+| $1$
+| $10^{-6}$
+|}
+<!--Для подсчета $\mathcal{L}_{style}$ используются слои conv1_2, conv2_2, conv3_3, conv4_3 VGG-19, для $\mathcal{L}_{content}$ {{---}} conv2_2.-->
+{| class="wikitable"
+|+ Коэффициенты $\alpha$ и $\beta$
+|-
+! Параметр
+! conv1_2
+! conv2_2
+! conv3_3
+! conv4_3
+|-
+! $\alpha$
+| $0$
+| $1$
+| $0$
+| $0$
+|-
+! $\beta$
+| $1/4$
+| $1/4$
+| $1/4$
+| $1/4$
+|}
+На обоих этапах максимальное количество итераций алгоритма L-BFGS {{---}} $1000$.
 === Примеры ===
-[[Файл:МЛ блендинг пример.png|1000px]]
+Примеры с [https://github.com/owenzlz/DeepImageBlending/tree/master/results Github авторов]:
-==Ссылки==
+[[Файл:МЛ блендинг пример.png|800px]]
-[https://en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix Матрица Грама (англ.)]
+==См. также==
+* [[Neural_Style_Transfer|Neural Style Transfer]]
+* [[Сверточные_нейронные_сети | Свёрточная нейронная сеть]]
+==Источники информации==
+* [https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram_matching Histogram matching]
+* Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake (2003), [https://www.cs.jhu.edu/~misha/Fall07/Papers/Perez03.pdf Poisson Image Editing].
+<!--* Karen Simonyan, Andrew Zisserman (2014), [https://arxiv.org/pdf/1409.1556.pdf Very Deep Convolutional Networks for Large-Scale Image Recognition]-->
+* Leon A. Gatys, Alexander S. Ecker, Matthias Bethge (2016), [https://rn-unison.github.io/articulos/style_transfer.pdf Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks]
+<!--* Eric Risser, Pierre Wilmot, Connelly Barnes (2017), [https://arxiv.org/pdf/1701.08893.pdf Stable and Controllable Neural Texture Synthesis and Style Transfer Using Histogram Losses]-->
+<!--* Aravindh Mahendran, Andrea Vedaldi (2015), [https://arxiv.org/pdf/1412.0035.pdf Understanding Deep Image Representations by Inverting Them]-->
+<!--* Justin Johnson, Alexandre Alahi, Li Fei-Fei (2016), [https://arxiv.org/pdf/1603.08155.pdf Perceptual Losses for Real-Time Style Transfer and Super-Resolution]-->
+<!--* Jing Liao, Yuan Yao, Lu Yuan, Gang Hua, Sing Bing Kang (2017), [https://arxiv.org/pdf/1705.01088.pdf Visual Attribute Transfer through Deep Image Analogy]-->
+* Fujun Luan, Sylvain Paris, Eli Shechtman, Kavita Bala (2018), [https://arxiv.org/pdf/1804.03189.pdf Deep Painterly Harmonization]
+* Lingzhi Zhang, Tarmily Wen, Jianbo Shi (2020), [https://openaccess.thecvf.com/content_WACV_2020/papers/Zhang_Deep_Image_Blending_WACV_2020_paper.pdf Deep Image Blending]
 ==Примечания==
+[[Категория: Машинное обучение]]
+[[Категория: Нейронные сети]]
+[[Категория: Сверточные нейронные сети]]