Определение функционального ряда — различия между версиями
(Добавлена статья) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 10 промежуточных версий 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Равномерная сходимость функционального ряда|>>]] | ||
== Определения == | == Определения == | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 6: | Строка 7: | ||
}} | }} | ||
− | + | <tex>\forall x \in E</tex> определена числовая последовательность <tex>f_1(x), f_2(x), \ldots</tex>, поэтому можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности. Но предел может существовать не на всем <tex>E</tex>. | |
− | |||
− | <tex>\forall x \in E</tex> определена числовая последовательность <tex>f_1(x), f_2(x), \ldots</tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 28: | Строка 24: | ||
}} | }} | ||
− | Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности {{---}} <tex>s_n</tex>. Отсюда, | + | Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности {{---}} <tex>s_n</tex>. Отсюда, исследование ряда на сходимость {{---}} исследование на сходимость последовательности сумм. |
В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды. | В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды. | ||
Строка 37: | Строка 33: | ||
<tex>s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}</tex> | <tex>s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}</tex> | ||
Тогда, при <tex>n \to \infty</tex>, | Тогда, при <tex>n \to \infty</tex>, | ||
− | + | <tex>s_n \to \begin{cases} | |
\frac1{1 - x}, & |x| < 1 \\ | \frac1{1 - x}, & |x| < 1 \\ | ||
\infty, & |x| \geq 1 \\ | \infty, & |x| \geq 1 \\ | ||
− | \end{cases} | + | \end{cases}</tex> |
<tex>E = R</tex>, <tex>D = (-1, 1)</tex> | <tex>E = R</tex>, <tex>D = (-1, 1)</tex> | ||
На <tex>D</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}</tex> | На <tex>D</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}</tex> | ||
+ | |||
+ | [[Математический_анализ_1_курс|на главную <<]] [[Равномерная сходимость функционального ряда|>>]] | ||
+ | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
Текущая версия на 19:12, 4 сентября 2022
Определения
Определение: |
На | задана последовательность функций . Тогда говорят, что имеется фукциональная последовательность.
определена числовая последовательность , поэтому можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности. Но предел может существовать не на всем .
Определение: |
Область сходимости функциональной последовательности | — сходится
Определение: |
— функциональный ряд. |
Определение: |
, — сумма числового ряда. |
Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности — . Отсюда, исследование ряда на сходимость — исследование на сходимость последовательности сумм.
В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды.