Оценка качества в задачах классификации

Общие понятия

• TP — true positive: классификатор верно отнёс объект к рассматриваемому классу.
• TN — true negative: классификатор верно утверждает, что объект не принадлежит к рассматриваемому классу.
• FP — false positive: классификатор неверно отнёс объект к рассматриваемому классу.
• FN — false negative: классификатор неверно утверждает, что объект не принадлежит к рассматриваемому классу.

Здесь про TP, TN, FP, FN и понятия, через них выражающиеся, мы говорим в рамках одного класса бинарной классификации. То есть, в такой системе подразумевается, что реальное число объектов класса 0 (для бинарного случая 0/1) может выражаться как [math]\text{TP₀ + FN₀ = FP₁ + TN₁}[/math]

Confusion matrix (матрица ошибок / несоответствий / потерь, CM)

Вычисление TP, FP, FN по CM

— квадратная матрица размера k × k, где [math]\text{CM}_{t,c}[/math] — число объектов класса [math]t[/math], которые были квалифицированны как класс [math]c[/math], а [math]k[/math] — число классов. Значения ячеек CM могут быть вычислены по формуле: [math]\text{CM}(y, \hat{y})_{t,c} = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}[(y_i = t) ∧ (\hat{y_i} = c)][/math], где [math]y_i[/math] — реальный класс объекта, а [math]\hat{y_i}[/math] — предсказанный.

Для бинарного случая:

	Принадлежит классу (P)	Не принадлежит классу (N)
Предсказана принадлежность классу	TP	FP
Предсказано отсутствие принадлежности к классу	FN	TN

Для многоклассовой классификации матрица несоответствий строится по тому же принципу:

Предсказанный класс	Класс 1 (C₁)	Класс 2 (C₂)	Класс 3 (C₃)
1 (P₁)	T₁	F₁₂	F₁₃
2 (P₂)	F₂₁	T₂	F₂₃
3 (P₃)	F₃₁	F₃₂	T₃

В этом случае TP, TN, FP и FN считаются относительно некоторого класса [math](i)[/math] следующим образом:

[math]\text{TP}_i = T_i[/math]

[math]\text{FP}_i = \sum\limits_{c \in \text{Classes}} \text{F}_{i,c}[/math]

[math]\text{FN}_i = \sum\limits_{c \in \text{Classes}} \text{F}_{c,i}[/math]

[math]\text{TN}_i = \text{All - TP}_i - \text{FP}_i - \text{FN}_i[/math]

Простые оценки

• Accuracy — (точность) показывает долю правильных классификаций. Несмотря на очевидность и простоту, является одной из самых малоинформативных оценок классификаторов.

[math]\text{Acc} = \dfrac{\text{TP + TN}}{\text{TP + TN + FP + FN}}[/math]

• Recall — (полнота, sensitivity, TPR (true positive rate)) показывает отношение верно классифицированных объектов класса к общему числу элементов этого класса.

[math]\text{Recall} = \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FN}}[/math]

• Precision — (точность, перевод совпадает с accuracy)показывает долю верно классифицированных объектов среди всех объектов, которые к этому классу отнес классификатор.

[math]\text{Precision} = \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FP}}[/math]

• Specificity — показывает отношение верных срабатываний классификатора к общему числу объектов за пределами класса. Иначе говоря, то, насколько часто классификатор правильно не относит объекты к классу.

[math]\text{Specificity} = \dfrac{\text{TN}}{\text{FP + TN}}[/math]

• Fall-out — (FPR (false positive rate)) показывает долю неверных срабатываний классификатора к общему числу объектов за пределами класса. Иначе говоря то, насколько часто классификатор ошибается при отнесении того или иного объекта к классу.

[math]\text{FPR} = \dfrac{\text{FP}}{\text{FP + TN}}[/math]

Ввиду того, что такие оценки никак не учитывают изначальное распределение классов в выборке (что может существенно влиять на полученное значение), также существуют взвешенные варианты этих оценок (в терминах многоклассовой классификации):

• Precision

[math]\text{Precision}_W = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{k} \dfrac{T_i P_i}{C_i}}{\text{All}}[/math]

• Recall

[math]\text{Recall}_W = \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^{k} T_i}{\text{All}}[/math]

Различные виды агрегации Precision и Recall

Примеры и картинки взяты из лекций курса «Введение в машинное обучение» К.В. Воронцова

Арифметическое среднее:

Линии уровня для среднего арифметического

[math]A = \dfrac{1}{2} (\text{precision + recall})[/math]

• Если precision = 0.05, recall = 1, то A = 0.525
• Если precision = 0.525, recall = 0.525, то A = 0.525.
• Первый классификатор — константный, не имеет смысла.
• Второй классификатор показывает неплохое качество.

Таким образом, взятие среднего арифметического не является показательным.

Минимум:

Линии уровня для минимума

[math]\text{M = min(precision, recall)}[/math]

• Если precision = 0.05, recall = 1, то M = 0.05
• Если precision = 0.525, recall = 0.525, то M = 0.525.

То есть, довольно неплохо отражает качество классификатора, не завышая его.

• Если precision = 0.2, recall = 1, то M = 0.2.
• Если precision = 0.2, recall = 0.3, то M = 0.2.

Но не отличает классификаторы с разными неминимальными показателями.

Гармоническое среднее, или F-мера:

Линии уровня для F-меры

[math]\text{F} = \dfrac{2 \cdot \text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}[/math]

• Если precision = 0.05, recall = 1, то F = 0.1.
• Если precision = 0.525, recall = 0.525, то F = 0.525.
• Если precision = 0.2, recall = 1, то F = 0.33.
• Если precision = 0.2, recall = 0.3, то F = 0.24.

Является наиболее точным усреднением, учитывает оба показателя.

Геометрическое среднее, или Индекс Фоулкса–Мэллова (Fowlkes–Mallows index)

[math] \text{FM} = \sqrt{ \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FP}} \cdot \dfrac{\text{TP}}{\text{TP + FN}} }[/math]

Менее строгая мера.

F-мера

Для общей оценки качества классификатора часто используют F₁-меру. Оригинально она вычисляется для позитивного класса случая бинарной классификации, обобщается с помощью приниципа «‎один против всех» (описан подробнее ниже, для многоклассовой классификации). F₁-мера — среднее гармоническое между precision и recall:

[math]\text{F}_1 = \left ( \dfrac{\text{precision}^{-1} + \text{recall}^{-1}}{2} \right )^{-1} = 2 \cdot \dfrac{\text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}[/math]

Среднее гармоническое взвешенное F_β (F₁-мера — частный случай F_β-меры для β = 1). F_β измеряет эффективность классификатора учитывая recall в β раз более важным чем precision:

[math]\text{F}_β = (1 + β^2) \dfrac{\text{Precision} \cdot \text{Recall}}{β^2 \cdot \text{Precision + Recall}}[/math]

F-мера для многоклассовой классификации. Три вида усреднения

Принцип усреднения различных F-мер для нескольких классов

Вычисление TP, FP, FN для многоклассовой классификации

Для вычисления F-меры (и других) метрик в рамках многоклассовой классификации используется подход «один против всех»: каждый класс ровно один раз становится «положительным», а остальные — отрицательным (пример вычисления изображён на матрице).

Таким образом, в зависимости от этапа вычисления, на котором производится усреднение, можно вычислить micro-average, macro-average и average F-меры (логика вычисления изображена на схеме справа). Микро- и макро-:

[math]\text{F} = 2 \cdot \dfrac{\text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision + recall}}[/math],

где для micro-average precision и recall вычислены из усреднённых TP, FP, FN;

для macro-average precision и recall вычислены из усреднённых precision_i, recall_i;

Усреднённая:

[math]\text{F} = \dfrac{1}{k} \displaystyle\sum_{i = 0}^{k} {\text{F}_1score_i}[/math],

где [math]i[/math] — индекс класса, а [math]k[/math] — число классов.

ROC-кривая

ROC-кривая; оранжевым показан идеальный алгоритм, фиолетовым — типичный, а синим — худший

Для наглядной оценки качества алгоритма применяется ROC-кривая. Кривая строится на плоскости, определённой TPR (по оси ординат) и FPR (по оси абсцисс).

Для построении графика используется мягкая классификация: вместо того, чтобы чётко отнести объект к классу, классификатор возвращает вероятности принадлежности объекта к различным классам. Эта уверенность сравнивается с порогом (какой уверенности «достаточно», чтобы отнести объект к положительному классу). В зависимости от значения этого порога меняются значения TPR и FPR.

Алгоритм построения кривой:

1. Запустить классификатор на тестовой выборке
2. Отсортировать результаты по уверенности классификатора в принадлежности объекта к классу
3. Пока не кончились элементы:
   1. Взять объект с максимальной уверенностью
   2. Сравнить метку с реальной
   3. Пересчитать TPR и FPR на взятых объектах
   4. Поставить точку, если обе характеристики не NaN / ±∞
4. Построить кривую по точкам

Таким образом: число точек не превосходит число объектов идеальному алгоритму соответствует ROC-кривая, проходящая через точку [math](0;1)[/math] худшему алгоритму (например, монетке) соответствует прямая TPR = FPR.

Для численной оценки алгоритма по ROC-кривой используется значение площади под ней (AUC, area under curve). Идеальный алгоритм имеет AUC, равный 1, худший — 0,5.

С другой стороны, для построения ROC-кривой не обязательно пересчитывать TPR и FPR.

Существует альтернативный алгоритм построения ROC-кривой.

1. сортируем объекты по уверенности классификатора в их принадлежности к положительному классу
2. начинаем в точке (0, 0)
3. последовательно продолжаем кривую вверх:
   • для каждого «отрицательного» объекта вверх
   • для каждого «положительного» — вправо.

Корректность алгоритма обосновывается тем, что с изменением предсказания для одного объекта в зависимости от его класса меняется либо TPR, либо FPR (значение второго параметра остаётся прежним). Ниже описана другая логика, подводящая к алгоритму выше.

График Accuracy для идеальной классификации

ROC-кривая для идеальной классификации

График Accuracy для неидеальной классификации

ROC-кривая для неидеальной классификации

Напомним, что мы работаем с мягкой классификацией.

Рассмотрим примеры (графики accuracy, цветом указан реальный класс объекта: красный — положительный, синий — отрицательный). Отсортируем наши объекты по возрастанию уверенности классификатора в принадлежности объекта к положительному классу. Допустим, что объекты находятся на равном (единичном) расстоянии друг от друга.

Начнём перебирать «границу раздела»: если граница в нуле — мы решаем относить все объекты к положительному классу, тогда accuracy = 1/2. Последовательно сдвигаем границу по единичке вправо:

• если реальный класс объекта, оказавшегося теперь по другую сторону границы — отрицательный, то accuracy увеличивается, так как мы «угадали» класс объекта, решив относить объекты левее границы к отрицательному классу;
• если же реальный класс объекта — положительный, accuracy уменьшается (по той же логике)

Таким образом, на графиках слева, видно, что:

• на графике идеальной классификации точность в 100% достигается, неидеальной — нет;
• площадь под графиком accuracy идеального классификатора больше, чем аналогичная площадь для неидеального.

Заметим, что, повернув график на 45 градусов, мы получим ROC-кривые для соответствующих классификаторов (графикам accuracy слева соответствуют ROC-кривые справа). Так объясняется альтернативный алгоритм построения ROC-кривой.

Precision-Recall кривая

PR кривая

Обоснование: Чувствительность к соотношению классов.

Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм [math]a(x)[/math], идеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь «плохой» алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = 0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма. Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC-ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов относительно общего числа отрицательных. Так, алгоритм [math]b(x)[/math], помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-ю, будет иметь AUC-ROC 0.95.

Precison-recall (PR) кривая.

Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к PR-кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, только по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс) и точность (по оси ординат). Критерием качества семейства алгоритмов выступает площадь под PR-кривой (англ. Area Under the Curve — AUC-PR)

Источники

• Coursera: https://www.coursera.org/learn/vvedenie-mashinnoe-obuchenie
• Оценка качества в задачах классификации и регрессии
• Лекции А. Забашта
• Лекции Е. А. Соколова
• Оценка классификатора (точность, полнота, F-мера)