|
|
| (не показано 7 промежуточных версий 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | ==Soft-Arg-Max==
| |
| − | ===Постановка задачи===
| |
| − | Пусть есть задача мягкой классификации:
| |
| | | | |
| − | Алгоритм выдает значения <tex>L_{1}, L_{2},\ldots, L_{n}</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число классов.
| |
| − |
| |
| − | <tex>L_{i}</tex> {{---}} уверенность алгоритма в том, что объект принадлежит классу <tex>i</tex>, <tex>L_{i} \in \left [ -\infty, +\infty\right ]</tex>
| |
| − |
| |
| − | Для этих значений необходимо найти такие <tex>p_{1},\ldots,p_{n}</tex>, что:
| |
| − |
| |
| − | *<tex>p_{i} \in \left [ 0, 1\right ]</tex>
| |
| − | *<tex>\sum_{i}p_{i}=1</tex>
| |
| − | То есть <tex>p_{1},\ldots,p_{n}</tex> {{---}} распределение вероятностей
| |
| − |
| |
| − | Для этого выполним преобразование:
| |
| − |
| |
| − | <tex>p_{i} = \frac{\exp\left(L_{i}\right)}{\sum_{i}\exp\left(L_{i}\right)}</tex>
| |
| − |
| |
| − | Тогда выполняется следующее:
| |
| − |
| |
| − | *<tex>L_{i} \leqslant L_{j} \implies p_{i} \leqslant p_{j}</tex>
| |
| − | *Модель <tex>a</tex>, возвращающая <tex>L_{i}</tex>, после преобразования будет возвращать <tex>p_{i}</tex> и останется дифференцируемой
| |
| − | *<tex>p =\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left ( L \right )</tex>
| |
| − |
| |
| − | Пусть <tex>y = \boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left ( x \right )</tex>, тогда:
| |
| − |
| |
| − | <tex>\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}} = \begin{cases}
| |
| − | &y_{i}\left ( 1 - y_{j} \right ),~i = j \\
| |
| − | &-y_{i}\cdot y_{j},~~~~~~i \neq j
| |
| − | \end{cases} = y_{i}\left ( I\left [ i = j \right ] - y_{j}\right )</tex>
| |
| − |
| |
| − | У '''soft-arg-max''' такое название, так как это, по сути, гладкая аппроксимация модифицированного '''arg-max'''.
| |
| − |
| |
| − | ===Свойства soft-arg-max===
| |
| − | *Вычисляет по вектору чисел вектор с распределением вероятностей
| |
| − | *Можно интерпретировать как вероятность нахождения максимума в <tex>i</tex>-й координате
| |
| − | *<tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left ( x - c,y-c,z-c\right )=\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left ( x,y,z\right )</tex>
| |
| − | *Предыдущее свойство используют для устойчивости вычислений при <tex>c=max\left ( x,y,z \right )</tex>
| |
| − |
| |
| − | ===Модификация soft-arg-max===
| |
| − | <tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}_{t}\left(x\right)=\frac{\exp\left(\frac{x_{i}}{t}\right)}{\sum\exp\left(\frac{x_{j}}{t}\right)}</tex>
| |
| − |
| |
| − | Данная модификация полезна, когда необходимо контролировать распределение вероятностей, получаемое '''soft-arg-max'''. Чем больше параметр <tex>t</tex>, тем больше получаемые вероятности будут похожи на равномерное распределение.
| |
| − |
| |
| − | ==Soft-Max==
| |
| − | ===Плохой Soft-Max===
| |
| − | [[File:BadSoftMax.png|200px|thumb|рис.1 Плохой Soft-Max (помечен красным)]]
| |
| − | [[File:GoodSoftMax.png|200px|thumb|рис.2 Хороший Soft-Max (помечен оранжевым)]]
| |
| − | Зададим функцию '''soft-max''' таким образом:
| |
| − |
| |
| − | <tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left ( x_{1},\ldots,x_{n}\right ) = \frac{x_{i}~\cdot~\exp \left ( x_{i} \right )}{\sum_{j}\exp \left( x_{j} \right )} = \left \langle x, \right .\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left . \left (x_{1},\ldots,x_{n} \right ) \right \rangle</tex>
| |
| − |
| |
| − | Гладкая аппроксимация максимума. Математическое ожидание или средневзвешенное, где веса {{---}} экспоненты значений соответствующих элементов. Сохраняет некоторые свойства максимума:
| |
| − |
| |
| − | *<tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left ( a,a,a\right ) = a</tex>
| |
| − | *<tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left ( x+a,y+a,z+a\right ) =\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left ( x,y,z\right ) + a</tex>
| |
| − |
| |
| − | Заданный выше '''soft-max''' {{---}} "плохой" в связи с тем, что мы считаем средневзвешенное значение, которое всегда будет меньше максимума, что приведёт к проблемам с поиском максимума.
| |
| − |
| |
| − | ===Хороший Soft-Max===
| |
| − | <tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left ( x_{1},\ldots,x_{n}\right ) = \log\left(\sum_{i}\exp\left(x_{i}\right)\right)</tex>
| |
| − |
| |
| − | *Не сохраняется свойство <tex>\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left(a,a,a\right)=a</tex>
| |
| − | *Производная равна '''soft-arg-max'''
| |
| − |
| |
| − | В этом случае сохраняется монотонность, значит, не возникнет проблем с поиском минимума и максимума.
| |
| − |
| |
| − | ==Связь между вариациями Soft-Max==
| |
| − | Обозначим "плохой" '''soft-max''' как '''bad-soft-max'''. Тогда:
| |
| − |
| |
| − | *<tex>\boldsymbol{\mathbf{bad{\text -}soft{\text -}max}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=\left \langle x, \right .\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left . \left (x_{1},\ldots,x_{n} \right ) \right \rangle</tex>
| |
| − | *<tex>\nabla\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)</tex>
| |
| − | *<tex>\log\left(\right.\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}arg{\text -}max}}_{i}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\left.\right) = x_{i} -\boldsymbol{\mathbf{soft{\text -}max}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)</tex>
| |
| − |
| |
| − | ==Примечания==
| |
| − | *В большинстве статей пишется '''soft-max''', хотя вместо этого подразумевается '''soft-arg-max'''
| |
| − | *'''soft-arg-max''' можно называть также как обобщённая (многомерная) сигмоида
| |
| − | *'''soft-arg-max''' является алгоритмом подсчёта весов для '''soft-max'''
| |
| − | ==Источники==
| |
| − | # [https://www.youtube.com/watch?v=mlPNUbaphZA&ab_channel=MLLabITMO Лекция 7. Байесовские методы А. Забашта]
| |
| − | # Лекция 7. Автоматическое дифференцирование и нейронные сети С. Муравьёв
| |
| − |
| |
| − | [[Категория: Машинное обучение]]
| |
