|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
| |
| − | |+
| |
| − | |-align="center"
| |
| − | |'''НЕТ ВОЙНЕ'''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |
| |
| − | 24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
| |
| − |
| |
| − | Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
| |
| − |
| |
| − | Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
| |
| − |
| |
| − | Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
| |
| − |
| |
| − | ''Антивоенный комитет России''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| | Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> также является компактным. | | Пусть <tex>A</tex> является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор <tex>A^*</tex> также является компактным. |
| | | | |
Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022
Пусть [math]A[/math] является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор [math]A^*[/math] также является компактным.
Доказательство теоремы
Итак, рассмотрим оператор [math]A^*: F^* \to E^*[/math].
По определению сопряженного оператора, если [math]\phi \in F^*[/math], то [math]A^*\phi = \phi A[/math].
Будем последовательны.
1. Для доказательства необходимо показать, что множество [math]\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}[/math] будет относительно компактно в [math]E^*[/math].
Для этого надо показать, что если взята последовательность [math]\{\phi_n\}[/math] такая, что [math]\|\phi_n\| \le 1\[/math], то можно выбрать [math]\{\phi_{n_k}\}[/math] такую, что [math]A^*\phi_{n_k}[/math] сходится в [math]E^*[/math].
2. Рассмотрим в [math]E[/math] единичный замкнутый шар [math]\overline{V}[/math].
По компактности оператора [math]K = Cl(A(\overline{V})) \subset F[/math] будет метрическим компактом.
Рассмотрим сужение функционалов [math]\phi_n[/math] на [math]K[/math].
3. Докажем равностепенную непрерывность этой последовательности: рассмотрим [math]y, z \in K[/math].
Норма
- [math]\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|[/math]
не зависит от [math]n[/math], а следовательно [math]\{\phi_n\}[/math] равностепенно непрерывна.
4. Выполняется и равномерная ограниченность последовательности. Для любого [math]y \in K[/math]:
- [math]\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const[/math].
5. Таким образом [math]\{\phi_n\}[/math] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] в [math]K[/math].
Для доказательства теоремы осталось показать, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] сходится в [math]E^*[/math]. Для этого достаточно выяснить, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] равномерно сходится (при устремлении [math]m[/math] к бесконечности) на [math]\overline{V}[/math].
6. Рассмотрим [math]\varepsilon \gt 0[/math]. По равномерной сходимости [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] на [math]K[/math]:
[math]\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon[/math].
7. Следовательно, для любого [math]x \in \overline{V}[/math] верно [math]\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon[/math].
Замечая, что [math]\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)[/math], приходим к равномерной сходимости [math]A^*\phi_{n_m}[/math] на [math]\overline{V}[/math].
Таким образом, теорема доказана.
