Сложностный класс ZPP

Определения

Классом [math]ZPP[/math] называется множество языков, для которых существует вероятностная машина Тьюринга такая, что математическое ожидание времени ее работы на входе длины [math]n[/math] равно [math]O(poly(n))[/math].

[math]ZPP = \{ L | \exists m : L(m)=L, E(T(m(x))) = O(poly(|x|)) \}[/math]

Введем в рассмотрение класс [math]ZPP^{'}[/math].

Определение

Классом [math]ZPP^{'}[/math] называется множество языков, для которых существует вероятностная машина Тьюринга [math]m[/math] такая, что время ее работы на входе длинны [math]n[/math] не превосходит [math]poly(n)[/math]. У [math]m[/math] есть три конечных состояния: 'да', 'нет', 'не знаю' и [math]p(m(x) = [/math]'не знаю'[math]) \le \frac{1}{2}[/math]

[math]ZPP^{'} = \{ L | \exists m : L(m)=L, T(m(x)) \le poly(|x|) p(m(x) = ?) \le \frac{1}{2} \}[/math].

Утверждение

[math]ZPP = ZPP^{'}[/math]

Доказательство

• [math]ZPP \supset ZPP^{'}[/math]

Пусть язык [math]L \in ZPP^{'}[/math], тогда для него существует вероятностная машина Тьюринга [math]m_1[/math]. Построим вероятностную машину Тьюринга [math]m_2[/math], которая на входе [math]x[/math] работает следущим образом:

1) Запускает [math]m_1(x)[/math].

2) Если [math]m_1(x)=0[/math] или [math]m_1(x)=1[/math], то [math]m_2[/math] возвращает [math]0[/math] или [math]1[/math] соответственно. Если же [math]m_1(x)=?[/math], то перейдем к пункту 1.

[math]E(T(m_2(x)))= \sum_{i}^{ \infty } poly(x) \cdot p^i \cdot i = poly(x) \cdot \sum_{i}^{ \infty } \frac{i}{2^i}[/math]

[math]\sum_{i}^{ \infty } \frac{i}{2^i}[/math] сходится.

Таким образом [math]E(T(m_2(x)))=O(poly(|x|))[/math], значит [math]ZPP \supset ZPP^{'}[/math].

• [math]ZPP \subset ZPP^{'}[/math]

Пусть язык [math]L \in ZPP[/math], тогда для него существует вероятностная машина Тьюринга [math]m_1[/math] такая, что [math]E(T(m_1(x))) \le p(|x|)[/math], где [math]p \in poly[/math].

Сделаем машину [math]m_2[/math], которая будет запускать [math]m_1[/math] на [math]2 \cdot p(|x|)[/math] шагов, если [math]m_1[/math] не завершила свою работу, то [math]m_2[/math] выдаст 'не знаю', в противном случаи вернет результат работы [math]m_1[/math].

Пусть [math]p(m_1(x) = ?) \gt \frac{1}{2}[/math], тогда [math]E(T(m_1(x))) \gt p(|x|)[/math] — противоречие.

Значит, [math]p(m_1(x) = ?) \le \frac{1}{2}[/math], следовательно [math]L \in ZPP^{'}[/math].

Таким образом [math]ZPP \subset ZPP^{'}[/math].

Утверждение доказано.

Замечание

В дальнейшем будем рассматривать то определение класса [math]ZPP[/math], которое более удобно.