Распространение интеграла на произвольные ограниченные фигуры — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}}»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
== Некоторые определения ==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Фигура '''ограничена''', если её можно поместить в некоторый конечный прямоугольник.
 +
}}
 +
 
 +
Будем рассматривать интеграл на '''фигуре''' <tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> от функции <tex>z = f(x, y)</tex>
 +
 
 +
<tex>\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}</tex>
 +
 
 +
<tex>\forall \Pi \supset E</tex>, <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f</tex>
 +
 
 +
Это легко проверить на основе аддитивноcти интеграла по прямоугольнику.
 +
 
 +
== Квадрируемость ==
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
 +
}}
 +
 
 +
Далее мы установим квадрируемость некоторых фигур.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Любой прямоугольник квадрируем.
 +
<tex>\iint\limits_\Pi 1 dx dy = |\Pi| = (b - a)(d - c)</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Кривая <tex>\Gamma</tex> {{---}} Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений, и её параметрические уравнения {{---}} непрерывные функции.
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|author=
 +
Жордан
 +
|statement=
 +
Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на две части: ограниченную {{---}} 'внутреннюю' и неограниченную {{---}} 'внешнюю'.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура.
 +
|proof=
 +
Для доказательства надо погрузить фигуру в прямоугольник и доказать, что интеграл по нему от функции, равной <tex>1</tex> внутри фигуры и <tex>0</tex> вне фигуры, существует.
 +
Для этого надо показать, что <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} разбиение <tex>\Pi</tex>.
 +
 
 +
Разделим все клетки на три группы.
 +
* <tex>1 : \Pi_{ij} \subset E</tex> (внутренние)
 +
* <tex>2 : \Pi_{ij} \not\subset E</tex> (внешние)
 +
* <tex>3</tex> {{---}} остальные(пересекающие)
 +
 
 +
Обозначим за <tex>\Sigma_1</tex>, <tex>\Sigma_2</tex> и <tex>\Sigma_3</tex> суммы разностей сумм Дарбу для первой, второй и третьей групп соотвтственно.
 +
 
 +
Очевидно, каждая клетка попадёт ровно в одну из этих групп.
 +
 
 +
Тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3</tex>
 +
 
 +
На клетках первой группы <tex>\bar f = 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_1 = 0</tex>.
 +
 
 +
На клетках второй группы <tex>\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_2 = 0</tex>.
 +
 
 +
В третьей группе <tex>\sup\bar f = 1</tex>, <tex>\inf\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_3 = \sum\limits_{i, j} \Delta x_i \Delta y_j</tex>, где <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} в третьей группе.
 +
 
 +
<tex>\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)</tex>
 +
 
 +
<tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits_{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) </tex>
 +
 
 +
По определению ранга, принимая во внимание, что ранг {{---}} длина диагонали клетки,
 +
 
 +
<tex>\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}</tex>.
 +
 
 +
Но дуга спрямляемая, то есть, имеет конечную длину, поэтому, написанная сумма ограничена.
 +
 
 +
Тогда <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что их границы {{---}} спрямляемые дуги.
 +
 
 +
== Неквадрируемые фигуры ==
 +
 
 +
Возникает вопрос: "а есть ли вообще неквадрируемые фигуры?". Легко понять, что они есть. Построим аналог функции Дирихле.
 +
 
 +
Нужно взять прямоугольник и оставить только те точки, координаты которых рациональны. Эта фигура площади не имеет, ибо для каждой
 +
точки найдётся точка рядом с ней такая, что хотя бы одна из её координат будет иррациональна. Поэтому, при построении разбиения,
 +
нижняя сумма будет нулевой, а верхняя будет равна <tex>S</tex>. Интеграла нет, фигура не квадрируема.
 +
 
 +
== Квадрируемость компакта ==
 +
 
 +
Имея понятие квадрируемости, можно писать условия существования интеграла уже через функцию <tex>f</tex>.
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>.
 +
|proof=
 +
Функция непрерывна на компакте <tex>\Rightarrow</tex> равномерно непрерывна.
 +
 
 +
Возьмём какой-то <tex>\Pi \supset E</tex> и составим для него разбиение и <tex>\omega(\bar f, \tau)</tex>.
 +
 
 +
Нужно показать, что тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.
 +
 
 +
Аналогично доказательству квадрируемости фигуры, разобьём все клетки на три типа:
 +
<tex>\Sigma_1</tex> (внутри), <tex>\Sigma_2</tex> (пересекают) и <tex>\Sigma_3</tex> (вне).
 +
 
 +
Вторая сумма оценивается за счёт того, что функция ограничена: <tex>\Sigma_2 \leq 2 \cdot </tex> длину границы <tex> \cdot M</tex>. При <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0</tex> это стремится к нулю.
 +
 
 +
Оценим <tex>\Sigma_1</tex>. Из равномерной непрерывности, <tex>M_{ij} - m_{ij} < \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Сумма же площадей клеток не превзойдёт <tex>|\Pi|</tex>. Тогда <tex>\Sigma_1 < \varepsilon |\Pi| \to 0</tex>.
 +
 
 +
Значит, <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Аддитивность ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=аддитивность
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, не имеющих общих внутренних точек.
 +
Тогда <tex> \exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f</tex> и <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f</tex>.
 +
|proof=
 +
Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику.
 +
 
 +
<tex>E = E_1 \cup E_2</tex>, всё квадрируемо.
 +
 
 +
<tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_1} f</tex>,
 +
<tex>\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_2} f</tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>\Pi \supset E</tex>. Тогда этот <tex>\Pi</tex> годится для обоих интегралов. Следует обратить внимание на то, что <tex>\bar f</tex> для <tex>E_1</tex> и
 +
<tex>\bar f</tex> для <tex>E_2</tex> {{---}} разные функции. Например, первая из них на <tex>E_2</tex> равна нулю, так как <tex>E_1 \cap E_2 = \varnothing</tex>.
 +
 
 +
Определим <tex>\bar f_1</tex> и <tex>\bar f_2</tex>.
 +
 
 +
<tex>\bar f_1(x, y) = \begin{cases}f(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y)  \notin E_1\\\end{cases}</tex>
 +
 
 +
Аналогично определим <tex>\bar f_2</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_\Pi \bar f_1</tex>, <tex>\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi \bar f_2</tex>.
 +
 
 +
Сложим последние два равенства:
 +
 
 +
<tex>\iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)</tex>
 +
 
 +
Заметим, что <tex>\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f</tex>. Это проверяется простым рассмотрением точки внутри <tex>E_1</tex>, внутри <tex>E_2</tex> и вне <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>.
 +
 
 +
Значит, <tex>\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f</tex>
 +
}}
 +
 
 +
=== Замечание ===
 +
На самом деле, часто, имея в виду рассматриваемый случай, начинают говорить о так называемых 'финитных' функциях, то есть,
 +
функциях, которые вне какого-то прямоугольника равны нулю. Их преимущество в том, что они заданы на всей плоскости.
 +
Тогда, <tex>\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f = \iint\limits_\Pi f</tex>. Тогда всё можно выводить из линейности интеграла.
 +
 
 +
=== Обобщение ===
 +
 
 +
Обобщим предыдущую теорему на случай <tex>p</tex> частей.
 +
 
 +
Пусть <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f</tex>
 +
и <tex>|E_j| = \iint\limits_{E_j} dx dy</tex> {{---}} площадь.
 +
 
 +
Рассмотрим аналог интегральной суммы:
 +
 
 +
<tex>\sum\limits_{j = 1}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>, <tex>P_j \in E_j</tex>.
 +
 
 +
Далее можно называть совокупность таких частей разбиением <tex>E</tex>, замерить максимальный диаметр, назвать это рангом,
 +
устремить его к нулю и ставить вопрос о пределе таких сумм, который не должен зависеть от выбора <tex>P_j</tex>.
 +
 
 +
Отличие данной суммы от суммы по прямоугольнику, содержащему <tex>E</tex> заключается в том, что эта сумма описана во
 +
внутренних терминах(снаружи от фигуры нет нуля). Здравый смысл подсказывает, что пределом таких сумм и будет искомый
 +
интеграл.
 +
 
 +
Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на <tex>E</tex>, это можно сравнивать с суммой интегралов по частям фигуры.
 +
 
 +
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |p'' - p'| < \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex>
 +
 
 +
<tex>\operatorname{rang}\tau < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\operatorname{diam} E_j < \delta</tex>
 +
<tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall p'', p' \in E_j : |p'' - p'| < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>|f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex>
 +
 
 +
<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f - \sum\limits_{j = 1}^p f(P_j)\cdot|E_j| \right| \leq</tex>
 +
<tex>\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} |f(P) - f(P_j)| dx dy \leq</tex>
 +
<tex>\varepsilon \sum\limits_{j = 1}^p |E_j| = \varepsilon |E| \to 0</tex>
 +
 
 +
Сумма интегралов <tex>=</tex> интеграл по фигуре <tex>\Rightarrow</tex>
 +
<tex>\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>.
 +
 
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:30, 4 сентября 2022

Некоторые определения

Определение:
Фигура ограничена, если её можно поместить в некоторый конечный прямоугольник.


Будем рассматривать интеграл на фигуре [math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] от функции [math]z = f(x, y)[/math]

[math]\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}[/math]

[math]\forall \Pi \supset E[/math], [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f[/math]

Это легко проверить на основе аддитивноcти интеграла по прямоугольнику.

Квадрируемость

Определение:
[math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] квадрируема по Жордану, если существует [math]\iint\limits_E 1[/math]. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.


Далее мы установим квадрируемость некоторых фигур.

Утверждение:
Любой прямоугольник квадрируем. [math]\iint\limits_\Pi 1 dx dy = |\Pi| = (b - a)(d - c)[/math].


Определение:
Кривая [math]\Gamma[/math] — Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений, и её параметрические уравнения — непрерывные функции.


Лемма (Жордан):
Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на две части: ограниченную — 'внутреннюю' и неограниченную — 'внешнюю'.
Теорема:
Пусть [math]\Gamma[/math] — спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть [math]E[/math] — квадрируемая фигура.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства надо погрузить фигуру в прямоугольник и доказать, что интеграл по нему от функции, равной [math]1[/math] внутри фигуры и [math]0[/math] вне фигуры, существует. Для этого надо показать, что [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math].

Пусть [math]\Pi_{ij}[/math] — разбиение [math]\Pi[/math].

Разделим все клетки на три группы.

  • [math]1 : \Pi_{ij} \subset E[/math] (внутренние)
  • [math]2 : \Pi_{ij} \not\subset E[/math] (внешние)
  • [math]3[/math] — остальные(пересекающие)

Обозначим за [math]\Sigma_1[/math], [math]\Sigma_2[/math] и [math]\Sigma_3[/math] суммы разностей сумм Дарбу для первой, второй и третьей групп соотвтственно.

Очевидно, каждая клетка попадёт ровно в одну из этих групп.

Тогда [math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3[/math]

На клетках первой группы [math]\bar f = 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_1 = 0[/math].

На клетках второй группы [math]\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_2 = 0[/math].

В третьей группе [math]\sup\bar f = 1[/math], [math]\inf\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_3 = \sum\limits_{i, j} \Delta x_i \Delta y_j[/math], где [math]\Pi_{ij}[/math] — в третьей группе.

[math]\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)[/math]

[math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits_{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) [/math]

По определению ранга, принимая во внимание, что ранг — длина диагонали клетки,

[math]\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}[/math].

Но дуга спрямляемая, то есть, имеет конечную длину, поэтому, написанная сумма ограничена.

Тогда [math]\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что их границы — спрямляемые дуги.

Неквадрируемые фигуры

Возникает вопрос: "а есть ли вообще неквадрируемые фигуры?". Легко понять, что они есть. Построим аналог функции Дирихле.

Нужно взять прямоугольник и оставить только те точки, координаты которых рациональны. Эта фигура площади не имеет, ибо для каждой точки найдётся точка рядом с ней такая, что хотя бы одна из её координат будет иррациональна. Поэтому, при построении разбиения, нижняя сумма будет нулевой, а верхняя будет равна [math]S[/math]. Интеграла нет, фигура не квадрируема.

Квадрируемость компакта

Имея понятие квадрируемости, можно писать условия существования интеграла уже через функцию [math]f[/math].

Теорема:
Пусть [math]E[/math] — квадрируемый компакт на плоскости, [math]f[/math] непрерывна на [math]E[/math]. Тогда существует [math]\iint\limits_E f[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Функция непрерывна на компакте [math]\Rightarrow[/math] равномерно непрерывна.

Возьмём какой-то [math]\Pi \supset E[/math] и составим для него разбиение и [math]\omega(\bar f, \tau)[/math].

Нужно показать, что тогда [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math].

Аналогично доказательству квадрируемости фигуры, разобьём все клетки на три типа: [math]\Sigma_1[/math] (внутри), [math]\Sigma_2[/math] (пересекают) и [math]\Sigma_3[/math] (вне).

Вторая сумма оценивается за счёт того, что функция ограничена: [math]\Sigma_2 \leq 2 \cdot [/math] длину границы [math] \cdot M[/math]. При [math]\operatorname{rang}\tau \to 0[/math] это стремится к нулю.

Оценим [math]\Sigma_1[/math]. Из равномерной непрерывности, [math]M_{ij} - m_{ij} \lt \varepsilon[/math].

Сумма же площадей клеток не превзойдёт [math]|\Pi|[/math]. Тогда [math]\Sigma_1 \lt \varepsilon |\Pi| \to 0[/math].

Значит, [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Аддитивность

Теорема (аддитивность):
Пусть [math]E[/math] — квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math], не имеющих общих внутренних точек. Тогда [math] \exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f[/math] и [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику.

[math]E = E_1 \cup E_2[/math], всё квадрируемо.

[math]\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_1} f[/math], [math]\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_2} f[/math]

Пусть [math]\Pi \supset E[/math]. Тогда этот [math]\Pi[/math] годится для обоих интегралов. Следует обратить внимание на то, что [math]\bar f[/math] для [math]E_1[/math] и [math]\bar f[/math] для [math]E_2[/math] — разные функции. Например, первая из них на [math]E_2[/math] равна нулю, так как [math]E_1 \cap E_2 = \varnothing[/math].

Определим [math]\bar f_1[/math] и [math]\bar f_2[/math].

[math]\bar f_1(x, y) = \begin{cases}f(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y) \notin E_1\\\end{cases}[/math]

Аналогично определим [math]\bar f_2[/math].

Тогда [math]\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_\Pi \bar f_1[/math], [math]\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi \bar f_2[/math].

Сложим последние два равенства:

[math]\iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)[/math]

Заметим, что [math]\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f[/math]. Это проверяется простым рассмотрением точки внутри [math]E_1[/math], внутри [math]E_2[/math] и вне [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math].

Значит, [math]\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Замечание

На самом деле, часто, имея в виду рассматриваемый случай, начинают говорить о так называемых 'финитных' функциях, то есть, функциях, которые вне какого-то прямоугольника равны нулю. Их преимущество в том, что они заданы на всей плоскости. Тогда, [math]\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f = \iint\limits_\Pi f[/math]. Тогда всё можно выводить из линейности интеграла.

Обобщение

Обобщим предыдущую теорему на случай [math]p[/math] частей.

Пусть [math]E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f[/math] и [math]|E_j| = \iint\limits_{E_j} dx dy[/math] — площадь.

Рассмотрим аналог интегральной суммы:

[math]\sum\limits_{j = 1}^p f(P_j) \cdot |E_j|[/math], [math]P_j \in E_j[/math].

Далее можно называть совокупность таких частей разбиением [math]E[/math], замерить максимальный диаметр, назвать это рангом, устремить его к нулю и ставить вопрос о пределе таких сумм, который не должен зависеть от выбора [math]P_j[/math].

Отличие данной суммы от суммы по прямоугольнику, содержащему [math]E[/math] заключается в том, что эта сумма описана во внутренних терминах(снаружи от фигуры нет нуля). Здравый смысл подсказывает, что пределом таких сумм и будет искомый интеграл.

Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на [math]E[/math], это можно сравнивать с суммой интегралов по частям фигуры.

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : |p'' - p'| \lt \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| \lt \varepsilon[/math]

[math]\operatorname{rang}\tau \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\operatorname{diam} E_j \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\forall p'', p' \in E_j : |p'' - p'| \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|f(p'') - f(p')| \lt \varepsilon[/math]

[math]\left|\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f - \sum\limits_{j = 1}^p f(P_j)\cdot|E_j| \right| \leq[/math] [math]\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} |f(P) - f(P_j)| dx dy \leq[/math] [math]\varepsilon \sum\limits_{j = 1}^p |E_j| = \varepsilon |E| \to 0[/math]

Сумма интегралов [math]=[/math] интеграл по фигуре [math]\Rightarrow[/math] [math]\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|[/math].