Определённый интеграл, зависящий от параметра — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (Откат правок 185.220.100.241 (обсуждение) к версии 77.73.139.127)
 
(не показано 5 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
<wikitex>
 
<wikitex>
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную не прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
+
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
  
 
До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных.  
 
До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных.  
Строка 7: Строка 7:
  
  
==Установим три простые факта ==
+
==Установим три простых факта ==
 
# $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
 
# $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
# Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
+
# Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то существует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом. Формула означает смену местами интгралов по двум переменным.
+
# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.
  
 
=== Пункт первый. Непрерывность. ===
 
=== Пункт первый. Непрерывность. ===
 
Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:
 
Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:
  
$ \Pi = [a; b] \times [c; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d] $
+
$ \Pi = [a; b] \times [c; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: |\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d] $
  
 
Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.
 
Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.
Строка 24: Строка 24:
 
$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $
 
$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $
  
В силу продположений, и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа:
+
В силу предположений из условия и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа:
 
$ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $
 
$ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $
  
По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывна, следовательно, равномерно непрерывна.
+
По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывна на компакте, следовательно, равномерно непрерывна на нем.
  
 
Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx
 
Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx
 
= \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $
 
= \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $
  
Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $
+
Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $.
  
 
=== Пункт третий. Смена местами интегралов. ===
 
=== Пункт третий. Смена местами интегралов. ===
 
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $
 
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $
  
Если $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют.
+
Так как $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют.
  
 
Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница.
 
Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница.
  
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \qquad G'(y) = F(y) $
+
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx$, пусть для некоторого $G(y),\quad G'(y) = F(y) $
  
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $
+
Тогда $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $
  
 
$ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F.
 
$ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F.
Строка 49: Строка 49:
 
$ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $
 
$ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $
  
Написанное равенство можно дифференциировать по формуле Лейбница:
+
Написанное равенство можно дифференцировать по формуле Лейбница:
  
 
$ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $.
 
$ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $.
Строка 55: Строка 55:
 
$ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F.
 
$ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F.
  
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $ - то нужная формула установлена.
+
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $, то нужная формула установлена.
  
 
</wikitex>
 
</wikitex>
 +
 +
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 11:32, 1 сентября 2022

<wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.

До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных.

$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.


Установим три простых факта

  1. $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
  2. Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то существует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
  3. $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.

Пункт первый. Непрерывность.

Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:

$ \Pi = [a; b] \times [c; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: |\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d] $

Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.

Значит, $ \forall y : \Delta F(y, \Delta y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $, то есть F - непрерывна.

Пункт второй. Формула Лейбница.

$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $

В силу предположений из условия и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа: $ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $

По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывна на компакте, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $

Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $.

Пункт третий. Смена местами интегралов.

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $

Так как $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют.

Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница.

$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx$, пусть для некоторого $G(y),\quad G'(y) = F(y) $

Тогда $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $

$ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F.

$ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $

Написанное равенство можно дифференцировать по формуле Лейбница:

$ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $.

$ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F.

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $, то нужная формула установлена.

</wikitex>