Локальная теорема о неявном отображении

<< >> home

Принцип сжатия Банаха

Принцип сжатия будем излагать для нормированных пространств, хотя он без изменения переносится на метрические пространства.

Определение:

Пусть $X$ — B-пространство. Пусть $\overline V$ — замкнутый шар в $X$. $\mathcal{T} : \overline V \to \overline V$ — сжатие на шаре $V$, если $\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V$ $: \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|$.

Теорема (Банах):

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка $x^*=\mathcal{T}x^*$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\forall x_0 \in \overline V:\ x_{n+1}=\mathcal{T}x_n$. Тогда $\|x_{n+1}-x_n\| = \|\mathcal{T}x_n-\mathcal{T}x_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\| \leq \ldots \leq q^n \|x_1-x_0\|$ Рассмотрим ряд $x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)$ Выкинем первое слагаемое и замажорируем этот ряд геометрической прогрессией. $\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k$, $0\lt q\lt 1$. Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим $S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)$. $S_n=x_{n+1}$. Если $S_n \to S$, то $x_n \to S$. Но любое сжатие непрерывно (в определении равномерной непрерывности подставить $\delta = \varepsilon$). Это позволяет в $x_{n+1}=Tx_n$ перейти к пределу — $S=TS$. Получили неподвижную точку $S$. Допустим теперь, что существуют две различных неподвижных точки: Если $Tx'=x', Tx''=x''$, то составим норму их разности: $\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|$ и при $\|x''-x'\| \ne 0$ $q \ge 1$, что противоречит условию. Поэтому $\|x''-x' \|= 0$, следовательно, $x''=x'$.

$\triangleleft$

Теорема о неявном отображении

Пусть $\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m$, тогда рассмотрим $V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}$.

$f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m$, $f(x_0,y_0)=0^m$. Существуют ли такие $\delta_1,\delta_2\gt 0$, что для любого $\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})$ существует единственный $\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m$?

Если это так, то, в силу единственности y, определяем $\overline y = \phi(\overline x)$ на $V_{\delta_1}(\overline{x_0})$ так, чтобы $f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m$. $\phi$ — неявное отображение, определяется как $f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m$

Пример, единичная окружность:

$x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1.~f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1$

В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через $x$, будет давать соответствующий единственный $y$. Если решать задачу вне окрестности $y_0$, получится 2 $y$, теряется единственность $y$. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. $y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}$.

Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:

$\overline z = f(\overline x,\overline y).~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in \mathbb R^m.~f_{\overline y}'$ — производная отображения $f$, при фиксированном $x$ и варьирующемся $y$.

$f_{\overline y}'$ зависит и от $\overline x$, и от $\overline y$. $f_{\overline y}'$ — линейный оператор, поэтому непрерывность $f_{\overline y}'$ понимается в метрике линейного оператора:

Определение:

Непрерывность линейного оператора: $\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|\lt \delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|\lt \varepsilon$

$f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)$ — матрица, размером $m\times m$. Оператор непрерывно обратим в $(\overline x,\overline y)$, то есть, у матрицы этого оператора существует обратная (её детерминант не равен нулю).

Теорема (О неявном отображении):

Пусть для $f$ поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными $(x_0,y_0)$. Известно, что в окрестности начальных данных$f_{\overline y}'$ непрерывно зависит от $\overline x,\overline y$ и непрерывно обратима в $(x_0,y_0)$. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.

Доказательство:

$\triangleright$

Доказательство разбиваем на 2 этапа (и на экзамене они тоже будут спрашиваться по отдельности): 1 этап: Пусть $\Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}$ Промежуточное утверждение: $f(\overline x, \overline y)=0^m \Longleftrightarrow\ \overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)$. Проверим равносильность: $\Longrightarrow$ Пусть $f(\overline x, \overline y) = 0$. $\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y$ — верное в любом случае уравнение. $\Longleftarrow$ Пусть теперь $\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)$. Тогда $\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}$, следовательно, $det \Gamma_0 \ne 0$, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и $f(\overline x, \overline y)=0^m$ Пусть $T(\overline x, \overline y) = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)$, тогда $\overline y = T(\overline x,\overline y)$ для $f(x, y) = 0$. Для фиксированного $x$ получаем задачу на неподвижную точку для отображения $T$ по переменной $\overline y$. Воспользуемся для решения принципом сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия? $T_{\overline y}' = J - \Gamma_0 f_{\overline y}';~\Gamma_0 f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J$ по определению $\Gamma_0$. Значит, $T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0$. По условию, $f$ зависит от $\overline x, \overline y$, следовательно, $T'$ — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем $\varepsilon=\frac 12,\exists \delta\gt 0$ $\|\overline{\mathcal 4 x_0}\|,\|\overline{\mathcal 4 y_0}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12$ Возьмем $V_{\delta}(\overline{x_0}),\ W_{\delta}(\overline{y_0})$ такие, что при $~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}):$ $\| T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \| \le \frac 12$ Тогда по неравенству Лагранжа $\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in [y',y'']}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|$. Но по выбору шаров этот $\sup \le \frac 12$ и, таким образом, в наших условиях $\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|$. 2 этап: На первом этапе найден коэффициент сжатия: $\frac 12$. Если проверить для $T$ условия теоремы Банаха по $\overline y$ в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у $T$ окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения, и теорема будет доказана. $\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0})$ $\overline{y_0}=T(\overline{x_0},\overline{y_0})$ ($x_0,y_0$ — начальные данные). Тогда: $\|T(\overline x,\overline y)-y_0\|=\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\| =$ $= \|(T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0}))+(T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0}))\| \le$ $\le\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0})\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\le$ $\le \frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|$ По непрерывности, $T$ вторая норма разности стремится к 0 при $\overline x \rightarrow \overline {x_0}$. Полагая в определении непрерывности $\varepsilon=\frac{\delta}2$ ($\delta$ у нас уже было выбрано), подбираем $\delta':0\lt \delta'\lt \delta$, так, чтобы $\|\overline x - \overline{x_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0})\|\le\frac{\delta}2$. $\delta'$ не зависит от $y$! $\forall \overline x\in V_{\delta'}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|T(x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:T(x,y)\in W_{\delta}(\overline{y_0})$ $\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})$ является сжатием с $q=\frac 12$. Значит, по теореме Банаха $\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m$. В силу единственности такой точки, неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!

$\triangleleft$

Приведем пример использования неявного отображения.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} f(x,y,\alpha)=0\\ g(x,y,\alpha)=0 \end{cases}$

Если существуют $(x_0,y_0,\alpha_0)$, такие, что

$\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases}$

А также

$\begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0$,

и указанные выше частные производные непрерывны, то, по только что доказанной теореме, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»:

$\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\ g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};$

при некоторых $\delta \gt 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|\lt 0$, $\forall\alpha$ будет иметь единственное решение по переменным $\overline x,\overline y$. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно.

Важное следствие

Теорема:

Пусть $\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0$. Тогда это отображение в окрестности $\overline {x_0}$ локально обратимо.

Доказательство:

$\triangleright$

$\overline y = T(\overline x),\overline {y_0} = T(\overline {x_0})$. Чтобы обратить $T$, надо в первом равенстве полагать $x$ неизвестным, а $y$ — заданным. Мы хотим доказать, что решение у такого уравнения обязательно будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). Рассмотрим $f(\overline x, \overline y)=\overline y - T(\overline x),f(\overline x, \overline y)=0^n$ $T^{-1}$ — неявное отображение. Локальная обратимость $T$ определена непрерывностью $T$, непрерывностью соответствующих частных производных и тем фактом, что $f'_{\overline x}(\overline x,\overline y)=-T'(x).$ $det(T'(\overline {x_0}))\ne 0\Rightarrow det(f'_{\overline x}(\overline {x_0})) \ne 0 \Rightarrow$ условия теоремы о неявном отображении выполнены, и $T$ локально обратимо.

$\triangleleft$

То, что мы установили — нетривиальное обобщение стандартного одномерного факта:

Пусть $y=f(x),f'(x_0)\ne 0,f'(x)$ — непрерывна.

Если $f'(x_0)\gt 0 \Rightarrow \exists \delta \gt 0: |x-x_0|\le \delta \Rightarrow f'(x)\gt 0$.

Тогда на отрезке $[x_0-\delta;x_0+\delta]~f$ возрастает, и у неё существует обратная функция.

Задача об условном экстремуме

Ещё одним возможным приложением неявных отображений может служить задача об условном экстремуме.

$z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)$. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:

$\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\ g_2(\overline x,\overline y)=0\\ \dots\\ g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};$

$(\overline{x_0},\overline{y_0})$ — условный максимум функции $f$, если для всех $\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}$ и $(\overline x,\overline y)$, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство $f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})$. Если же $f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})$ — условный минимум.

Допустим все $g_i$, как и их частные производные — непрерывны, и матрица Якоби должна быть обратимой. Тогда $\overline y$ выражается через $\overline x$ в некоторой окрестности $(\overline {x_0},\overline {y_0})$.

$\overline y=\phi(\overline x),\ \overline z=f(\overline x,\phi(\overline x))$. Мы получили задачу на безусловный экстреммум для $\overline z$. Т.к. практически неявно отображающую формулу не найти, то можно пытаться составлять некоторую систему соотношения для точек, подобранных для условного экстремума, исходя из инвариантности дифференциалов n-го порядка. По этой инвариантности необходимые условия экстремума:

$dz=0$

$\sum\limits_{j=1}^n \frac {\partial f}{\partial x_j}(\overline x,\overline y)dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\partial f}{\partial y_i}(\overline x,\overline y)dy_i = 0\qquad (*)$

Но так как $\overline y=\phi(\overline x)$, то, в отличие от безусловного экстремума, в котором мы могли бы все частные производные приравнять к нулю и получить систему, мы так решать не можем, ибо $dy_i$ зависит от $dx_1,\dots dx_n$. Но, в отличие от $\phi$, эту зависимость можно найти явно. У нас должны выполняться следующие условия:

$g_k(\overline x,\overline y)=0, k=\overline{1,m}$

$\sum\limits_{j=1}^n \frac {\partial g_k}{\partial x_j}dx_j+\sum\limits_{i=1}^m \frac {\partial g_k}{\partial y_i}dy_i = 0$

В результате мы получаем СЛАУ для зависимости дифференциалов. Её матрицей будет матрица Якоби $g'_{\overline y}(\overline x,\overline y)$. Раз она обратима в $(x_0,y_0)$, то по непрерывности она будет обратима в окрестности этой точки, следовательно, $dy$ можно выразить через $dx$, формулы будут линейны.

$dy_1=\sum\limits_{j=1}^n A_{1j}dx_j$. Тогда, подставляя эти форулы в $(*)$, получим $\sum\limits_{j=1}^n B_j dx_j=0 \Rightarrow \forall j : B_j = 0$, так как дифференцируются независимые переменные.

Мы получили систему уравнений для полученных точек, похожих на условный экстремум; которую надо решать вместе с уравнениями связи.

На самом деле, этому можно придать более удобную форму, придуманную Лагранжем (метод множителей Лагранжа) (но математической новизны в нём нет!)

Метод множителей Лагранжа:

$F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).$ Далее составляем систему соотношений так, будто для $F$ мы стали искать безусловный экстремум:

$\begin{cases} \frac {\partial F}{\partial x_j}=0\\ \frac {\partial F}{\partial y_i}=0\\ \frac {\partial F}{\partial \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};$

Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна.

<< >> home