Интеграл Римана по прямоугольнику

Интеграл Римана по прямоугольнику строится аналогично интегралу на отрезке. Поэтому, в этом параграфе будут доказаны только специфичные свойства. Остальные нужно уметь доказывать аналогично отрезку.

Будем рассматривать функции двух аргументов. Большее число аргументов добавляет лишь ещё несколько индексов.

[math]\Pi = [a; b] \times [c; d] \subset \mathbb{R}^2[/math], [math]z = f(x, y)[/math]

[math]\tau_1 : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math]

[math]\tau_2 : c = y_0 \lt y_1 \lt \ldots \lt y_n = d[/math]

[math]\Pi_{ij} = [x_i; x_{i + 1}] \times [y_j; y_{j + 1}][/math]

Определение:

Совокупность [math]\Pi_{ij}[/math] — разбиение прямоугольника на стандартные клетки. [math]\tau = \tau_1 \times \tau_2[/math]

Определение:

[math]\operatorname{rang} \tau = \max\{\operatorname{diam} \Pi_{ij}\}[/math], где [math]\operatorname{diam} \Pi_{ij}[/math] — диаметр клетки(то есть, длина ее диагонали).

[math](\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}[/math]

[math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \Delta x_i \Delta y_j[/math]

[math]|\Pi_{ij}| = \Delta x_i \Delta y_j[/math]

Определение:

Двойной интеграл [math]\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)[/math]

Далее аналогично определённому интегралу получаем линейность:

• [math]\iint\limits_\Pi (\alpha f + \beta g) = \alpha \iint\limits_\Pi f + \beta\iint\limits_\Pi g[/math]
• [math]f(x, y) \leq g(x, y) \Rightarrow \iint\limits_\Pi f \leq \iint\limits_\Pi g[/math]

Для того, чтобы выписать критерий существования двойного интеграла, определим аналоги сумм Дарбу: [math]m_{ij} = \inf\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)[/math], [math]M_{ij} = \sup\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)[/math]

[math]\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \Delta x_i \Delta y_j[/math],

[math]\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \Delta x_i \Delta y_j[/math]

Введём понятие "измельчение разбиения":

Определение:

Возьмём более мелкое разбиение по [math]x[/math], [math]y[/math]. Тогда полученное разбиение называется 'мельче исходного'(каждая клетка мелкого разбиения содержится в более крупной).

Установим свойства этих сумм, аналогичные одномерным:

• [math]\tau' \leq \tau \Rightarrow \underline{s}(\tau) \leq \underline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau)[/math]
• [math]\tau, \tau' \Rightarrow \underline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau)[/math]

Тогда существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм [math]\underline{I}[/math] и [math]\overline{I}[/math].

[math]\iint\limits_\Pi[/math] существует [math]\iff[/math] [math]\underline{I} = \overline{I}[/math] [math]\iff[/math] [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math].

Прямоугольник — компакт на плоскости [math]\Rightarrow[/math] (функция непрерывна [math]\Rightarrow[/math] равномерно непрерывна) [math]\Rightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \geq 0 : \|x'' - x'\| \lt \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| \lt \varepsilon[/math]

[math]f[/math] — непрерывна на [math]\Pi[/math]. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta : \operatorname{rang} \tau \lt \delta \Rightarrow \forall x', x'' \in \Pi_{ij} : |f(x') - f(x'')| \lt \varepsilon[/math]

Тогда [math]\omega(f, \tau) \leq \varepsilon |\Pi| \to 0[/math]

Итак, если [math]f[/math] — непрерывна на [math] \Pi [/math], то существует [math]\iint\limits_\Pi f[/math](достаточное условие интегрируемости).

Аддитивность двойного интеграла

Некоторая специфика возникает в аддитивности интеграла.

Было в однократном интеграле: [math]\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f[/math] ([math]a \leq b \leq c[/math]). При этом, [math]\exists \int\limits_a^c f \iff \exists \int\limits_a^b f, \exists\int\limits_b^c f[/math].

Сам факт аддитивности сохраняется. Если [math]\Pi[/math] разбито на конечное число прямоугольников [math]p[/math], и они не имеют общих внутренних точек, то:

• [math]\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]
• [math]\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]

Первый факт доказывается аналогично обычному интегралу, но второй факт выводится сложнее.

Утверждение:

[math]\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]

[math]\triangleright[/math]

Пункт 1. Сначала докажем для разбиения на стандартные клетки [math]a = a_0 \lt a_1 \ldots \lt a_n = b[/math] [math]c = c_0 \lt c_1 \ldots \lt c_n = d[/math] [math]\Pi_{ij} = [a_i; a_{i + 1}] \times [c_j; c_{j + 1}][/math] [math]\Pi = \bigcup\limits_{i, j} \Pi_{ij}[/math] [math]\tau_1[/math] — разбиение [math][a; b][/math], содержит все [math]a_i[/math]. Аналогично, [math]\tau_2[/math] — разбение [math][c; d][/math], содержит все [math]c_j[/math]. [math]\tau = \tau_1 \times \tau_2[/math] — разбиение прямоугольника [math]\Pi[/math]. В силу специфики выбора [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] ясно, что каждая клетка [math]\Pi_{ij}[/math] разбивается в свою очередь на часть клеток разбиения [math]\tau[/math]. То есть, мы получаем разбиение каждой клетки [math]\Pi_{ij}[/math]. Посчитаем интегральные суммы по всем клеткам. Тогда ясно, что если все эти суммы сложить, то получим разбиение [math]\tau[/math]. Каждая из этих сумм стремится к конечному пределу [math]\iint\limits_{\Pi_{ij}} f[/math], сумм конечное число. Тогда получаем: [math]\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f[/math], то есть, для специального разбиения всё доказано. Пункт 2. Теперь докажем для общего случая(любое замощение прямоугольниками). Занумеруем границы сторон [math]\Pi_k[/math] в порядке возрастания их координат по вертикали. Так же сделаем с горизонталью. В результате получим разбиение вертикальной и горизонтальной сторон исходного прямоугольника [math]\Pi[/math], с помощью них, как и в пункте 1, разбиваем [math]\Pi[/math] на клетки [math]\Pi_{ij}[/math]. По первому пункту получаем: [math]\iint\limits_{\Pi} f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f[/math] С другой стороны, по тому, как выстраиваются разбиения, ясно, что вся совокупность клеток разбивается на части по принципу: "к [math]k[/math]-й части относятся те из них, которые разбивают клетку [math]\Pi_k[/math]". Такое разбиение снова стандарнтно. [math]\iint\limits_{\Pi_k} f = \sum\limits_{\Pi_{ij} \subset \Pi_k} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f[/math] [math]\sum\limits_k \iint\limits_{\Pi_k} f [/math] [math]= \sum\limits_k \sum\limits_{\Pi_{ij} \subset \Pi_k} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f [/math] [math]= \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f [/math] [math]= \iint\limits_\Pi f[/math] Формула доказана для произвольного разбиения.

[math]\triangleleft[/math]