О замене переменной в интеграле многих переменных

Как обычно, будем рассматривать функцию двух переменных.

[Тут какое-то невнятно написанное предложение про мотивацию]

Площадь сектора [math]S = \frac12R^2\alpha[/math]. Пусть эта формула нам известна. (рис 1)

КАРТИНКА КАРТИНКА[Окружности радиуса [math] r [/math] и [math] r + \Delta r [/math] с общим центром. Также нарисован угол [math] \Delta \alpha [/math], площать [math] \Delta S [/math] - площадь сегмента, окраниченного двумя окружностями и углом.]

[math]\Delta \alpha[/math], [math]\Delta r \approx 0[/math]

[math]\Delta S = \frac12(r + \Delta r)^2\Delta \alpha - \frac12r^2\Delta \alpha[/math] [math]=\frac12\Delta\alpha(2r + \Delta r) \Delta r[/math] [math]=r\Delta\alpha \Delta r + \frac12\Delta \alpha(\Delta r)^2[/math]

[math]\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} = r + \frac12\Delta r[/math]

[math]\Delta \alpha, \Delta r \to 0 \Rightarrow \frac{\Delta S}{\Delta\alpha \Delta r} \to r[/math]

Или, [math]\Delta S \approx r\Delta\alpha\Delta r[/math].

Рассмотрим полярные координаты. [math] \begin{cases} x = r \cos \alpha \\ y = r \sin\alpha \\ \end{cases} [/math]

Рассмотрим линии уровня. [math]l_r[/math] — ГМТ, для каждой из которых значение радиуса одно и то же и равно [math]r[/math]. Аналогично, [math]l_\alpha[/math] — ГМТ, для каждой из которых [math]\alpha = \mathrm{const}[/math]

Меняя в [math]l_r[/math] и [math]l_\alpha[/math] [math]r[/math] и [math]\alpha[/math], покрываем плоскость сетью окружностей и лучей.

Если на написанную систему соотношений смотреть как на преобразование плоскости и смотреть образы [math]l_r[/math] и [math]l_\alpha[/math], в силу их определений это будет сеть вертикалей и горизонталей.

Если заштриховать фигуру, границы которой — эти линии, то её образ будет прямоугольником. При обозначении его площади за [math]\Delta S[/math] получаем предел выше. Тогда этот предел — коэффициент искажения элементарной площади при переходе из одной системы осей в другую.

[math]T(\alpha, r) = (x = r \cos\alpha, y = r \sin\alpha )[/math]

Прямоугольник [math]\Delta\alpha\times\Delta r[/math] под действим [math]T[/math] переходит в [math]\Delta S[/math], причём [math]\frac{\Delta S}{\Delta\alpha\Delta r} \to r[/math]([math]\Delta\alpha, \Delta r \to 0[/math]).

Итак, первый этап завершён. Найдена плотность(коэффициент искажения).

На втором этапе мы заинтегрируем эту плотность и придём к формуле [math]|E| = \iint\limits_E dxdy = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr[/math], которая будет базовой формулой для того, что бы научиться заменять переменные в двойных интегралах.

Будем считать, что мы знаем, что если есть [math]P \in E_P[/math], [math]E'_P[/math] — образ, то [math]\frac{E_P}{E'_P} \xrightarrow[\operatorname{diam} E_P \to 0]{} r[/math], где [math]P =(x, y) = (\alpha, r)[/math]. Это стремление равномерно по положению точки в пределах прямоугольника. (рис 5)

КАРТИНКА[[math] P \in E_P [/math] преобразованием T переходит в [math] P' \in E_P' [/math]]

[math]\forall\varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : \operatorname{diam} E_P \lt \delta \Rightarrow \left|\frac{|E_p|}{|E'_P|} - r \right| \lt \varepsilon, \forall P \subset \Pi[/math]

Рассмотрим квадрируемую фигуру [math]E[/math]. [math]E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j[/math]; [math]E_i \cap E_j = \varnothing, \forall i \ne j[/math]; [math]|E| = \sum\limits_{j = 1}^p |E_j|[/math]

[math]|E_j| = r_j|E'_j| + \alpha_j |E'_j|[/math], где [math]\alpha_j[/math] — бесконечно малое.

[math]|E| = \sum\limits_{j = 1}^p r_j |E'_j| + \sum\limits_{j = 1}^p \alpha_j |E'_j|[/math]

По равномерной непрерывности, при [math]\operatorname{diam} E'_j \lt \delta[/math], [math]\sum\limits_{j=1}^p\alpha_j|E'_j| \leq \varepsilon\sum\limits_{j = 1}^p|E'_j|[/math].

Тогда первое слагаемое — интегральная сумма, а второе стремится к нулю. Тогда

[math]|E| = \iint\limits_{E'}rd\alpha dr + 0 = \iint\limits_{E'} rd\alpha dr[/math]

Пример. КАРТИНКА[Круг под действием преобразования переходит в прямоугольник.]

Плошадь круга. [math]|E| = \iint\limits_\Pi r d\alpha dr[/math] [math]= \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \int\limits_0^R r dr[/math] [math]=\pi r^2[/math]

Общий случай

<wikitex> Пусть $\begin{cases} x & = x(u, v)\\ y & = y(u, v)\\ \end{cases}$;

где $(x, y)$ — прямоугольные координаты, $(u, v)$ — криволинейные.

$l_u$, $l_v$ — линии уровня(координатные линии) в $OXY$.

КАРТИНКА КАРТИНКА[Кривые линии уровня и переход их под действием преобразования в стандартные линии уровня для плоскости.]

Рассмотрим элементарную клетку получвшейся криволинейной сети.

КАРТИНКА КАРТИНКА[в безобразии из предыдущей пары картинок рассматриваем элементарную клетку $E_{uv}$, зажатую между соседними линиями]

В $OXY$ элементарная клетка — прямоугольник.

[math]\frac{|E_{uv}|}{|E'_{uv}|} = \frac{|E_{uv}|}{\Delta u\Delta v}[/math]

Соединим отрезками вершины клетки, получим четырёхугольник, который примерно параллелограмм, и вычислим его площадь.

Можно действовать по-другому: построить касательные к линиям уровня в точках пересечения, нормировать их, получить паралелограмм и считать его площадь.

Эти попытки связаны с тем, что хочется понять, что в общем случае будет аналогом коэффициентом [math]r[/math] в полярных координатах.

[math] K_u[/math] - касательные.

$\overline K_u = (x_v'; y_v')$ — касательный вектор к линии уровня $l_u$

$\overline K_v = (x_u'; y_u')$ — касательный вектор к линии уровня $l_v$

$K_u\Delta v, K_v\Delta u$ - элементарные приращения, приблизительно образующие $E_{uv}$. Построим на них параллелограмм, его площадь:

$P(u, v) = \begin{pmatrix} x_u' & y_u' \\ x_v' & y_v' \\ \end{pmatrix} $

$J(u, v) = det(P(u, v))$;

$ S = |J(u, v)|\Delta u \Delta v$.

Для $p \in E_p$, $\frac{|E_p|}{|E_p'|} \xrightarrow[diam E'_p \rightarrow 0]{}{|J(u, v)|}$, получившийся предел называется якобианом преобразования.

В итоге получаем $|E| = \iint\limits_{E}dxdy = \iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv$

<Сюда можно впилить долгий монолог о сложности понятия площади поверхности> Собственно вот он: Анри Картан - плоскость - линейное многообразие(Подход снимает вопрос образа триангуляции)

[math]S \begin {cases} x &= x(u, v)\\ y &= y(u, v)\\ z &= z(u, v)\\ \end {cases} [/math] [math](u,v) \in E \subset \mathbb R[/math] Площадь [math]S \stackrel{def}= \iint\limits_{E} \sqrt{(\frac{D(x; y)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(x; z)}{D(u;v)})^2+(\frac{D(y; z)}{D(u;v)})}^2dudv=[/math] [math]=\iint\limits_{E'}|J(u, v)|dudv[/math]; где [math]\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin {vmatrix} x_u' & x_v' \\ y_u' & y_v' \\ \end {vmatrix} [/math]

Теорема (Замена переменных интегрирования в двойном интеграле):

Пусть дан закон преобразования переменных, $\begin{cases} x & = x(u, v)\\ y & = y(u, v)\\ \end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если всё делать строго, мы утонем в некоторой дифференицальной геометрии. Будем всё делать нестрого. Покроем плоскость сетью координатных линий с малыми шагами, в результате $E$ будет разбиваться на части элементарными криволинейными параллелограммами. Перейдем к образу: КАРТИНКА КАРТИНКА[переход к образу, все так же, как и для фигуры Е ранее] Каждая прямоугольная клетка справа является образом элементарного криволинейного параллелограмма слева. $E$ - квадрируема, значит, сумма площадей параллелограммов(а в образе - прямоугольников) на границе будет сколь угодно малой при устремлении ранга разбиения к нулю. Значит, можно принебречь суммой этих групп слагаемых в соответствующих интегральных суммах. Рассмотрим кусочек интегральной суммы, $f(p_i)

[math]\triangleleft[/math]

В теории интеграла Лебега будет установлена более общая теорема(Фубини) </wikitex>