100
правок
Изменения
→Доказательство
==Доказательство==
Пусть <tex>p = \frac{K}{2^k}</tex>. Если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>, тогда <tex>|h(S)| \le \frac{p2^k}{2}</tex>. Отсюда получаем, что <tex>P[y \in h(S)] \le \frac{p}{2}</tex>. Необходимо показать, что в случае <tex>|S| \ge K</tex>, <tex>V</tex> будет принимать <tex>S</tex> с вероятностью различимо большей <tex>\frac{p}{2}</tex>.
'''Утверждение''' Если <tex>K \le |S| \le 2^{k - 1}</tex>, то <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] \ge \frac{3}{4}\frac{|S|}{2^k}</tex>, где <tex>h</tex> случайным образом выбрано из <tex>H_{m, k}</tex>, а <tex>y~-</tex> из <tex>\left\{0,1\right\}^k</tex>.
'''Доказательство''' Покажем, что для каждого <tex>y \in \left\{0,1\right\}^k</tex> и случайно выбранной функции <tex>h \in H_{m,k}</tex> справедливо <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] \ge \frac{3}{4} p</tex>.
Для каждого <tex>x \in S</tex> определим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|событие]] <tex>E_x = \left\{h \in H_{m, k} \bigm| h(x) = y\right\}</tex>. Тогда <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] = P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x]</tex>, что [[Формула включения-исключения | формуле включения-исключения]] не превосходит <tex>\sum_{x \in S}P[E_x] - \sum_{x_1 \ne x_2 \in S}P[E_{x_1} \cap E_{x_2}]</tex>. Поскольку выбирались <tex>h \in H_{m, k}</tex>, то <tex>P[E_x] = \frac{1}{2^k}</tex> и <tex>P[E_{x_1} \cap E_{x_2}] = \frac{1}{2^{2k}}</tex>. Тогда <tex>P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x] \ge \frac{|S|}{2^k} - \frac{1}{2}\frac{|S|^2}{2^{2k}} \ge \frac{3}{4}\frac{|S|}{2^k}</tex>.
==Источники==
* ''Sanjeev Arora, Boaz Barak''. [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity Computational Complexity: A Modern Approach]
[[Категория: Теория сложности]]
