Изменения
Нет описания правки
}}
Легко установить экстремальное свойство частичных сумм. {{Утверждение|statement = Пусть <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>тогда: пусть<tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>|proof = Можно сказать, что <tex>x</tex> раскладывается на сумму двух ортогональных друг другу компонент, причем одна из них равна <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j \rangle</tex>, а вторая --- все остальное. Тогда при взятии <tex>\|x - S_n\|</tex> из первого слагаемого будут целиком выкинуты первые <tex>n</tex> его составляющих, и понятно, что это будет указанным <tex>inf</tex>.}}
Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>
