Изменения
Нет описания правки
Доказательство первой части <br/>
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>,<tex> U_{2} </tex>,<tex> U_{3} </tex>,<tex> W_{1} </tex>,<tex> W_{2} </tex>,<tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для каждого i и j существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что (<tex> {u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого i существует поддерево в G с тремя листами как минимум, по одиному лист в каждом <tex> W_{j} </tex>, и с его другими вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с j симметрична. <br/>
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в G существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соедененные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>. <br/>
Доказательство второй части <br/>
Если в G существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют вершины <tex> U_{1} </tex>...<tex> U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф G, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого i существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в G с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> (<tex> {i \ne j} </tex>) и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>
