Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Источники)
(→‎Реберная двусвязность)
Строка 23: Строка 23:
  
 
''Доказательство:''
 
''Доказательство:''
−
[[Файл:Rconnection.png|right|480px|thumb|]] Пусть из <tex> u </tex> в <tex> v </tex> есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом.
+
[[Файл:Rconnection.png|right|480px|thumb|]] Пусть из <tex> u </tex> в <tex> v </tex> есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом. Обозначим его за <tex> C </tex>.  
−
Вершина <tex> w </tex> реберно двусвязна с <tex> v </tex>.
+
Вершина <tex> w </tex> реберно двусвязна с <tex> v </tex>. Назовем эти пути <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex>.
−
Идем по первому пути из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> до пересечения с циклом (вершина <tex> a </tex>).
+
Пусть вершина <tex> a </tex> - первое пересечение <tex> P_1 </tex> с циклом.
−
Идем по второму пути из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> до пересечения с циклом (вершина <tex> b </tex>).
+
Пусть вершина <tex> b </tex> - первое пересечение <tex> P_2 </tex> с циклом.
−
Забудем про часть цикла <tex> (a, b) </tex> содержащую вершину <tex> v </tex>. (Возможно, <tex> a </tex> совпадает с <tex> v </tex>, или <tex> b </tex> совпадает с <tex> v </tex>, или и то и другое). Наличие двух реберно не пересекающихся путей из из <tex> u </tex> в <tex> w </tex> очевидно. Это пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex> соответственно.
+
Рассматриваем два пути.
−
Важно, что если <tex> a </tex>, <tex> b </tex> и <tex> v </tex> совпадают, то пути все равно остаются реберно не пересекающимися.  
+
Первый - <tex> wa </tex> + часть цикла <tex> C </tex> <tex> au </tex> по часовой стрелке.
 +
Второй - <tex> wb </tex> + часть цикла <tex> C </tex> <tex> bu </tex> против часовой стрелке.
 +
 
 +
Эти два пути реберно не пересекающиеся, а значит  <tex> u </tex> и <tex> w </tex> реберно двусвязны.
  
 
}}
 
}}

Версия 22:01, 26 октября 2011

Эта статья требует доработки!
  1. Доказательство транзитивности отношения реберной двусвязности некорректно (убедитесь в этом) исправил.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности.

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство:

Rconnection.png
Пусть из [math] u [/math] в [math] v [/math] есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом. Обозначим его за [math] C [/math].

Вершина [math] w [/math] реберно двусвязна с [math] v [/math]. Назовем эти пути [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math]. Пусть вершина [math] a [/math] - первое пересечение [math] P_1 [/math] с циклом. Пусть вершина [math] b [/math] - первое пересечение [math] P_2 [/math] с циклом. Рассматриваем два пути. Первый - [math] wa [/math] + часть цикла [math] C [/math] [math] au [/math] по часовой стрелке. Второй - [math] wb [/math] + часть цикла [math] C [/math] [math] bu [/math] против часовой стрелке.

Эти два пути реберно не пересекающиеся, а значит [math] u [/math] и [math] w [/math] реберно двусвязны.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:
Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Отношение вершинной двусвязности

Источники

- визуализатор ::компоненты связности

Литература

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_рёберной_двусвязности&oldid=12088»