Гамильтоновы графы

Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона

Основные определения

Определение:

Гамильтоновым путём называется простой путь, приходящий через каждую вершину графа ровно один раз.

Определение:

Гамильтоновым циклом называют замкнутый гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется полугамильтоновым, если он содержит гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется гамильтоновым, если он содержит гамильтонов цикл.

Очевидно, что любой гамильтонов граф также и полугамильтонов.

Достаточные условия гамильтоновости графа

Теорема Дирака

Теорема:

Если [math]n \ge 3[/math] и [math]deg\ v \ge n/2[/math] для любой вершины [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] - гамильтонов граф.

Теорема Оре

Теорема:

Если [math]n \ge 3[/math] и [math]deg\ u + deg\ v \ge n[/math] для любых двух различных несмежных вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] - гамильтонов граф.

Теорема Редеи-Камиона

Теорема:

Любой сильносвязный турнир - гамильтонов.

Теорема Гуйя-Ури

Теорема:

Пусть G - сильносвязный ориентированный граф. [math] \begin{matrix} deg^+ v \geq n/2 \\ deg^- v \geq n/2 \\ \end{matrix} \Bigg\} \rightarrow [/math] G - гамильтонов.

Теорема Хватала

Теорема (Хватал):

Пусть: [math] G [/math] — связный граф, [math] n = |VG| \geq 3 [/math] — количество вершин, [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math] — его последовательность степеней. Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация: [math] d_k \leq k \lt n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) [/math] то граф [math] G [/math] гамильтонов.

Теорема Поша

Теорема:

Пусть граф G имеет [math]n \geq 3[/math] вершин. Если для всякого [math]k,\, 1 \leq k \lt (n-1)/2[/math] число вершин со степенями, не превосходящими [math]k[/math], меньше чем [math]k[/math], и для нечетного [math]n[/math] число вершин степени [math](n-1)/2[/math] не превосходит [math](n-1)/2[/math], то G - гамильтонов граф.

Алгоритм нахождения гамильтового цикла

Приведём два алгоритма поиска гамильтонова цикла.

bool check_hamiltonian(graph g, bool[] used, int vert, int count, int[] next):
  if (count == g.vertices):
    next[vert] = 0
    return (vert; 0) in g.edges
  for (i = 0; i < g.vertices; i++):
    if (!used[i] && (vert; i) in g.edges):
      used[i] = true
      next[vert] = i
      if (check_hamiltonian(g, used, i, count + 1, next)):
        return true
      used[i] = false
  return false

• used — отметки о посещении
• vert — текущая вершина
• count — количество посещённых вершин

Приведённая процедура работает следующим образом: перебираются всё рёбра из текущей вершины в ещё не посещённые. Чтобы проверить граф на гамильтоновость, необходимо запустить процедуру из вершины с номером 0 и параметром count = 1. Если процедура возвращает true, то в массиве next будет храниться следующая вершина на гамильтоновом цикле.

Источники

• Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.
• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
• Гамильтонов граф