Реализация вычитания сумматором

Преобразование чисел для вычитания сумматором

Что бы реализовать вычитание каскадным или двоичным каскадным сумматором, нужно сложить на нём уменьшаемое с противоположным по знаку вычитаемым, так же как и при вычитании обычных чисел. Тогда полученная сумма будет разностью данных чисел.

[math] \mathbf x - y = x +(-y)[/math]

Инверсия знака записанного в двоичном виде числа происходит точно так же, как и в дополнительном коде.
Данное число нужно инвертировать и прибавить к нему единицу.

[math] \mathbf -y = (\lnot y) + 1 [/math]

Например число [math] \mathbf - 19[/math] будет записано как [math] \mathbf 01101 [/math], так как [math] \mathbf 19_\mathrm{10} = 10011_\mathrm{2}[/math], а [math] \mathbf (\lnot 10011) + 1 = 01100 + 1 = 01101 [/math]

Оптимизация

Очевидно, что такой подход к вычитанию сумматором не оптимален, так как придётся вносить в схему последовательно 2 сумматора или блок памяти, для запоминания промежуточных действий таких как, сложение с единицей. Что бы упростить вычисления нужно воспользоваться лишним битом переноса в сумматоре, в который посылают ноль, и послать в него единицу при вычитании и ноль при суммировании. Вместо того что бы инвертировать вычитаемое число, можно сделать XOR бита первого переноса с каждым битом вычитаемого числа. Таким образом, можно посылать в полученный арифмометр числа точно так же как и при сложении, только первый бит переноса будет отвечать за знак операции: 0-сложение 1-вычитание.

Пример реализации вычитания сумматором

Условные обозначения

Изображение арифмометра

логический функциональный элемент XOR A и B входы и Y выход. [math] \mathbf A \oplus B = Y[/math] [math] \mathbf 0 \oplus 0 = 0[/math] [math] \mathbf 0 \oplus 1 = 1[/math] [math] \mathbf 1 \oplus 0 = 1[/math] [math] \mathbf 1 \oplus 1 = 0[/math] [math] \mathbf {\color{Goldenrod}\mbox{A}_\mathrm{0} , \mbox{A}_\mathrm{1} ... \mbox{A}_\mathrm{N}} [/math] 0-ой 1-ый ... n-ный биты первого слагаемого или уменьшаемого. [math] \mathbf A [/math] [math] \mathbf {\color{Red}\mbox{B}_\mathrm{0} , \mbox{B}_\mathrm{1} ... \mbox{B}_\mathrm{N}} [/math] 0-ой 1-ый ... n-ный биты второго слагаемого или вычитаемого. [math] \mathbf B[/math] [math] \mathbf {\color{Green}\mbox{S}_\mathrm{0} , \mbox{S}_\mathrm{1} ... \mbox{S}_\mathrm{N}} [/math] 0-ой 1-ый ... n-ный биты ответа. [math] \mathbf S = A \pm B[/math] [math] \mathbf {\color{Blue}T} [/math] бит отвечающий за знак операции T подключён к C0 0-вому биту переноса в сумматоре 0 если [math] \mathbf S = A + B[/math] 1 если [math] \mathbf S = A - B[/math] [math] \mathbf {\color{OliveGreen}0 , 1 ... N} [/math] блоки каскадного или двоичного каскадного сумматора

См. также

Сумматор
Матричный умножитель
Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов

Ссылки

Subtractor
Negative Numbers and Binary Subtraction
Рабочий пример арифмометра