Удаление eps-правил из грамматики

Используемые определения

Определение:

Правила вида [math]A \to \varepsilon[/math] называются [math]\varepsilon[/math]-правилами.

Определение:

Нетерминал [math]A[/math] называется [math]\varepsilon[/math]-порождающим, если [math]A \Rightarrow^* \varepsilon[/math].

Алгоритм удаления ε-правил из грамматики

Вход: КС грамматика [math] G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle[/math].
Выход: КС грамматика [math] G'=\langle N,\Sigma, P', S \rangle[/math] без [math]\varepsilon[/math]-правил (возможно правило [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], но в этом случае [math]S[/math] не встречается в правых частях правил). [math]L(G') = L(G)[/math].

1. Добавить все правила из [math]P[/math] в [math]P'[/math].
2. Найти все [math]\varepsilon[/math]-порождаюшие нетерминалы.
3. Рассмотрим правила вида (*) [math]A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 ... B_k \alpha_k[/math], где [math]\alpha_i[/math] — последовательности из терминалов и нетерминалов, [math]B_j[/math] — [math]\varepsilon[/math]-порождающие нетерминалы. Добавить все возможные правила вида (*) в [math]P'[/math], в которых либо присутствует, либо отсутствует [math]B_j\; (1 \le j \le k)[/math].
4. Удалить все [math]\varepsilon[/math]-правила из [math]P'[/math].
5. Если в исходной грамматике [math]G[/math] выводилось пустое слово [math]\varepsilon[/math], то необходимо добавить новый нетерминал [math]S'[/math], сделать его стартовым, добавить правила [math]S' \rightarrow S|\varepsilon[/math].

Доказательство корректности

Теорема:

Если грамматика [math]G'[/math] была построена с помощью описанного выше алгоритма по грамматике [math]G[/math], то [math]L(G') = L(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика [math]G' : L(G') = L(G) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace [/math]. Для этого достаточно доказать, что [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math] тогда и только тогда, когда [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math] (*). [math]\Rightarrow)[/math]<br\> Пусть [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math]  и  [math]w \ne \varepsilon[/math]. Докажем индукцией по длине порождения в грамматике [math]G'[/math], что [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math]. База. [math]A \underset{G'}{\Rightarrow} w[/math]. В этом случае в [math]G'[/math] есть правило [math]A \rightarrow w[/math]. По построению [math]G'[/math] в [math]G[/math] есть правило [math]A \rightarrow \alpha[/math], причем [math]\alpha[/math] — цепочка [math]w[/math], символы которой, возможно, перемежаются [math]\varepsilon[/math]-порождающими нетерминалами. Тогда в [math]G[/math] есть порождения [math]A \underset{G}{\Rightarrow} \alpha \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math]. Предположение. Пусть из [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon[/math] менее, чем за [math]n[/math] шагов следует, что [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math]. Переход. Пусть в порождении [math]n[/math] шагов, [math]n \gt 1[/math]. Тогда оно имеет вид [math]A\underset{G'}{\Rightarrow}X_1 X_2...X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math], где [math]X_i \in N \cup \Sigma [/math]. Первое использованное правило должно быть построено по правилу [math]A \rightarrow Y_1 Y_2...Y_m[/math], где последовательность [math]Y_1 Y_2...Y_m[/math] совпадает с последовательностью [math]X_1 X_2...X_k[/math], символы которой, возможно, перемежаются [math]\varepsilon[/math]-порождающими нетерминалами. Цепочку [math]w[/math] можно разбить на [math]w_1 w_2...w_k[/math], где [math]X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math]. Если [math]X_i[/math] — терминал, то [math]w_i = X_i[/math], a если нетерминал, то порождение [math]X_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math] содержит менее [math]n[/math] шагов. По предположению [math]X_i \underset{G}{\Rightarrow}^*w_i[/math]. Теперь построим соответствующее порождение в [math]G[/math]. [math]A \underset {G}{\Rightarrow} Y_1 Y_2...Y_m \underset{G}{\Rightarrow}^* X_1 X_2...X_k \underset{G}{\Rightarrow}^* w_1 w_2...w_k = w[/math] Ч.т.д. [math]\Leftarrow)[/math] Пусть [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math]  и  [math]w \ne \varepsilon[/math]. Докажем индукцией по длине порождения в грамматике [math]G[/math], что [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math]. База. [math]A \underset{G}{\Rightarrow} w[/math]. Правило [math]A \rightarrow w[/math] присутствует в [math]G[/math]. Поскольку [math]w \ne \varepsilon[/math], это же правило будет и в [math]G'[/math], поэтому [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w[/math]. Предположение. Пусть из [math]A \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math] и [math]w \ne \varepsilon[/math] менее, чем за [math]n[/math] шагов следует, что [math]A \underset{G'}{\Rightarrow}^*w [/math]. Переход. Пусть в порождении [math]n[/math] шагов, [math]n \gt 1[/math]. Тогда оно имеет вид [math]A\underset{G}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...Y_m \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math], где [math]Y_i \in N \cup \Sigma [/math]. Цепочку [math]w[/math] можно разбить на [math]w_1 w_2...w_m[/math], где [math]Y_i \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_i[/math]. Пусть [math]X_1, X_2, ... X_k[/math] будут теми из [math]Y_j[/math] (в порядке записи), для которых [math]w_i \ne \varepsilon[/math]. [math]k \ge 1[/math], поскольку [math]w \ne \varepsilon[/math]. Таким образом [math]A \rightarrow X_1 X_2 ... X_k[/math] является правилом в [math]G'[/math] по построению [math]G'[/math]. Утверждаем, что [math] X_1 X_2...X_k \underset{G}{\Rightarrow}^*w[/math], поскольку только [math]Y_j[/math], которых нет среди [math]X_1, X_2, ... X_k[/math], использованы для порождения [math]\varepsilon[/math] и не вносят ничего в порождение [math]w[/math]. Так как каждое из порождений [math]Y_j \underset{G}{\Rightarrow}^*w_j[/math] содержит менее [math]n[/math] шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что если [math]w_j \ne \varepsilon[/math], то [math]Y_j \underset{G'}{\Rightarrow}^*w_j[/math]. Таким образом [math]A \underset{G'}{\rightarrow} X_1 X_2 ... X_k \underset{G'}{\Rightarrow}^* w[/math]. Ч.т.д. Подставив [math]S[/math] вместо [math]A[/math] в утверждение (*), видим, что [math]w \in L(G)[/math] для [math]w \ne \varepsilon[/math] тогда и только тогда, когда [math]w \in L(G')[/math]. Так как после выполнения шага 5 алгоритма в [math]G'[/math] могло добавиться только пустое слово [math]\varepsilon[/math], то язык, задаваемый КС грамматикой [math]G'[/math], совпадает с языком, задаваемым КС грамматикой [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм поиска ε-порождающих нетерминалов

Вход: КС грамматика [math] G=\langle N,\Sigma, P, S \rangle[/math].
Выход: множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов.

1. Найти все [math]\varepsilon[/math]-правила. Составить множество, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил.
2. Перебираем правила грамматики [math]G[/math]. Если найдено правило [math]A \rightarrow C_1C_2...C_k[/math], для которого верно, что каждый [math]C_i[/math] принадлежит множеству, то добавить [math]A[/math] в множество.
3. Если на шаге 2 множество изменилось, то повторить шаг 2.

Теорема:

Описанный выше алгоритм находит все [math]\varepsilon[/math]-порождающие нетерминалы грамматики [math]G[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что если множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все [math]\varepsilon[/math]-порождающие нетерминалы. Для простоты доказательства можно считать, что на [math]k[/math]-й итерации алгоритма в множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов добавляются только нетерминалы [math]A : A \Rightarrow^* \varepsilon[/math] за [math]k[/math] шагов. Пусть алгоритм сделал [math]n[/math] итераций и множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов не изменилось. Тогда множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов содержит все нетерминалы [math]A : A \Rightarrow^* \varepsilon[/math] не более, чем за [math]n - 1[/math] шагов. Пусть существуют нетерминалы такие, что они является [math]\varepsilon[/math]-порождающими, но не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал [math]B : B \Rightarrow^* \varepsilon[/math] за минимальное количество шагов. Тогда [math]B \Rightarrow^* \varepsilon[/math] ровно за [math]n[/math] шагов, так как если из нетерминала выводилась пустая строка за меньшее количество шагов, то нетерминал уже принадлежал бы множеству [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов, а если — за большее количество шагов, то он не являлся бы [math]\varepsilon[/math]-порождающим. Следовательно, в грамматике есть правило [math]B \rightarrow C_1C_2...C_k[/math], где каждый [math]C_i \Rightarrow^* \varepsilon[/math] за менее, чем [math]n[/math] шагов. Следовательно, на [math]n[/math]-й итерации алгоритм должен был добавить [math]B[/math] в множество [math]\varepsilon[/math]-порождающих нетерминалов. Получили противоречие. Алгоритм находит все [math]\varepsilon[/math]-порождающие нетерминалы.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)