Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети — различия между версиями
Proshev (обсуждение | вклад) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | {{Лемма | ||
| + | |about= | ||
| + | о разности потоков | ||
| + | |statement= | ||
| + | Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> - потоки равной величины в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f </tex> и нескольких циклов в остаточной сети <tex> G_f </tex>, т.е. <tex>g = f + \sum_{i} C_i </tex>. | ||
| + | |proof= | ||
| + | Рассмотрим разность потоков <tex> g - f </tex>. Она имеет поток величины <tex> 0 </tex>. Построим ее декомпозицию. В декомпозиции могут быть только циклы, т.к. наличие путей <tex> s \leadsto t</tex> противоречило бы нулевой величине потока. Таким образом получили разбиение разности потоков на циклы. Заметим, что <tex> g(u,v) - f(u,v) \le c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v)</tex>, т.е. все циклы принадлежат <tex>G_f</tex>. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|about= | |about= | ||
об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети | об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети | ||
| − | |statement= | + | |statement= |
| − | + | Поток <tex> f </tex> {{---}} минимальной стоимости <tex> \iff </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex> нет циклов отрицательного веса. | |
| − | |||
| − | |||
|proof= | |proof= | ||
*<tex>\Rightarrow </tex> | *<tex>\Rightarrow </tex> | ||
| Строка 12: | Строка 19: | ||
Пустим по <tex> C </tex> поток <tex> f_+ = c_m </tex>. | Пустим по <tex> C </tex> поток <tex> f_+ = c_m </tex>. | ||
| − | Так как сумма весов по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то <tex> \sum_{u,v \in | + | Так как сумма весов по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то <tex> \sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot f_+(u,v) < 0</tex> |
| − | <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\sum_{u,v \in | + | <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot (f + f_+)(u,v) < \sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot f</tex> <tex>\Rightarrow f </tex> {{---}} не минимальный. Противоречие. |
*<tex>\Leftarrow </tex> | *<tex>\Leftarrow </tex> | ||
| − | + | Рассмотрим поток <tex> f </tex>: в <tex> G_f </tex> нет циклов отрицательной стоимости. Рассмотрим <tex> f' </tex> - поток минимальной стоимости, т. е. <tex> p(f') <= p(f) </tex>. По лемме представим <tex>f' = f + \sum_{i} C_i </tex>. По условию стоимости всех циклов не отрицательны. Получаем <tex> p(f') >= p(f) \Rightarrow p(f') = p(f)</tex>. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
}} | }} | ||
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | [[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | ||
Версия 09:50, 31 декабря 2011
| Лемма (о разности потоков): |
Пусть и - потоки равной величины в сети . Тогда можно представить как сумму и нескольких циклов в остаточной сети , т.е. . |
| Доказательство: |
| Рассмотрим разность потоков . Она имеет поток величины . Построим ее декомпозицию. В декомпозиции могут быть только циклы, т.к. наличие путей противоречило бы нулевой величине потока. Таким образом получили разбиение разности потоков на циклы. Заметим, что , т.е. все циклы принадлежат . |
| Лемма (об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети): |
Поток — минимальной стоимости в остаточной сети нет циклов отрицательного веса. |
| Доказательство: |
|
От противного. Пусть существует — цикл отрицательного веса в , — наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер . Пустим по поток . Так как сумма весов по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то — не минимальный. Противоречие. |
