Изменения

<tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>

<tex> E \subset \mathcal A , p \ge 1</tex>

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \}</tex>, то есть пространство функций, суммируемых с pй <tex> p </tex>й степенью на <tex> E</tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.

Измеримость f на E принципиальнаВидимо, так как в общем случае из измеримости |f|^p не вытекает измеримость f. пример:

<tex> E_1 </tex> - не измеримо и содержится в <tex> E</tex>.

<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измеримо на <tex> E</tex>.

<tex> E(f(x) \le -1) = E_1 </tex> - нет {{TODO|t=что нет? o_O }}

<tex> |f(x)| = 1 </tex> на <tex> E </tex> — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Достаточно доказатьПроверим, что \int\limits_E |f + g|^p < + \inftytex> L_p(E) </tex> — измеримое множество.

<tex> \int\limits_E |f + |^p, \int\limits_E |g|^p < + \le ( infty </tex> — следует ли <tex> \int\limits_E |\alpha f| + |\beta g| )^p< + \infty </tex>.

E_1 = EДостаточно(|f| \le |g|почему?)доказать, E_2 = E(что <tex> \int\limits_E |f| > |+ g|), E = E_1 ^p < + \cup E_2infty </tex>.

\int\limits_E <tex> |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty , что и требовалось доказать./tex>

Превратим L_p<tex> E_1 = E(E|f| \le |g|) в нормированное пространство:</tex>

|<tex> E_2 = E(|f|> |_p = \left( \int\limits_E |fg|^p \right)^{1</p} tex>

<tex> E = E_1 \cup E_2 </tex> <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex> , что и требовалось доказать.   Превратим <tex> L_p(E) </tex> в нормированное пространство: <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду.

<tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex>

<tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex>

<tex> {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> — неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.

<tex> uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1 , p \ge 1, q \ge 1 </tex> — неравенство Юнга.

Подставим <tex> u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p}</tex>:

<tex> \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q}</tex>

Интегрируем это неравенство по <tex> E</tex>.

Так как <tex> \frac{|f|^p}{||f||_p^p}</tex>(аналогично, <tex> g </tex> и <tex> q</tex>), равны 1, получаем:

<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдера.

<tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le {\left( \int\limits_E |f|^p \right)} ^{1/p} {\left( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF???} \right)}^{\frac1q} + \dots </tex>

<tex> q = \frac{p}{p-1}</tex>, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

Значит, <tex> || \ ||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.