Мера подграфика

Эта статья находится в разработке!

Геометрический смысл интеграла Лебега.

[math] E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f [/math] — измерима.

[math] G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} [/math] — подграфик функции.

Теорема (о мере подграфика):

[math] G(f) [/math] — измеримо, [math] \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] TODO: не очень понимаю, что доказывается

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами. Если [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math], то подграфик называется цилиндром в [math] \mathbb R^{n + 1} [/math]. Утверждение: [math] G [/math] - цилиндр высоты c [math] \ge 0 [/math], измеримое [math] E \in \mathbb R^n [/math] — основание. Тогда он измерим и [math] \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math]. [math]\triangleright[/math] схема — от простого к сложному, применяется критерий [math] \mu^+ [/math] -измеримости(принципа исчерпывания). 1) Пусть [math] E [/math] — параллелепипед (ячейка), то [math] G [/math] тоже ячейка, формула выполняется. 2) Пусть [math] E [/math] — открытое множество. Его можно записать в форме [math] E = \bigcup\limits_n \Delta_n [/math] — дизъюнктно [math] G_n = \Delta_n \times [0, c] [/math] [math] G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n [/math] — дизъюнктны. [math] G_n [/math] — измеримы, следоватлеьно, [math] G [/math] — измеримо. По сигма-аддитивности меры [math] \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E [/math] 3) [math] E [/math] — ограниченное замкнутое множество. [math] E \subset \Delta [/math] — открытый параллелепипед. [math] \overline E = \Delta \setminus E [/math] — открыто — можно применить пункт 2: [math] \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E [/math] [math] \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta [/math] [math] E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E [/math] 4) [math] E [/math] — ограниченное и измеримое [math] \forall \varepsilon \gt 0 [/math], по свойствам меры Лебега. Пусть [math] F_\varepsilon [/math] — замкнутое, [math] G_\varepsilon [/math] — открытое: [math] F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon \lt \varepsilon [/math]. [math] F_\varepsilon \times [0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c] [/math]. [math] \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) \lt c \varepsilon [/math] [math] \varepsilon [/math] — мало, следоватлеьно, по критерию [math] \mu^* [/math]-измеримости, [math] G [/math] — измеримо. По монотонности меры: [math] c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon [/math] [math] \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon [/math] ( [math] \varepsilon [/math] мало, это единственное число, которое можно вставить TODO: че?) [math] c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le c \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math]. 5) [math] E [/math] — измеримое множество. Мера Лебега — сигма-конечна. [math] E [/math] можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера [math] E [/math] = пределу мер. Так же запишется цилиндр [math] G [/math], он окажется измеримым, переходим к переделу, победа. TODO: понятно это только звучит [math]\triangleleft[/math] Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему. Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу. f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры. f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует. \exists \int\limits_E f d \lambda_n \tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш) m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x) \underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau \underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau) Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик. Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau) \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau. По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран. Далее разбор случаев: 1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима. \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана. 2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки: f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases} f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x) f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x) По теореме Леви: \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n G_m — подграфик срезки f_m срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.

[math]\triangleleft[/math]