Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания

Теорема

Теорема:

Если из вершины [math]x[/math] не существует дополняющей цепи относительно паросочетания [math]M[/math] и паросочетание [math]M'[/math] получается из [math]M[/math] изменением вдоль дополняющей цепи, тогда из [math]x[/math] не существует дополняющей цепи в [math]M'[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рисунок 1. Рисунок 2. Пунктиром обозначен путь между двумя вершинами. Ребро красного цвета лежит в паросочетании, а черного - нет. Доказательство от противного. Допустим в паросочетание внесли изменения вдоль дополняющей цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math] и из вершины [math]x[/math] появилась дополняющая цепь. Заметим, что эта дополняющая цепь должна вершинно пересекаться с той цепью, вдоль которой вносились изменения, иначе такая же дополняющая цепь из [math]x[/math] существовала и в исходном паросочетании. Пусть [math]p[/math] - ближайшая к [math]x[/math] вершина, которая принадлежит и новой дополняющей цепи и цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math]. Тогда [math]MP[/math] - последнее ребро на отрезке [math](y \rightsquigarrow p)[/math] цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], [math]NP[/math] - последнее ребро на отрезке [math](z \rightsquigarrow p)[/math] цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], [math]QP[/math] - последнее ребро лежащее на отрезке [math](x \rightsquigarrow p)[/math] новой дополняющей цепи(см. Рисунок 1). Допустим [math]MP[/math] принадлежит паросочетанию [math]M'[/math], тогда [math]NP[/math] ему не принадлежит. (Случай, когда [math]NP[/math] принадлежит паросочетанию [math]M'[/math] полностью симметричен.) Поскольку паросочетание [math]M'[/math] получается из [math]M[/math] изменением вдоль дополняющей цепи [math](y \rightsquigarrow z)[/math], в паросочетание [math]M[/math] входило ребро [math]NP[/math], а ребро [math]MP[/math] нет. Кроме того, ребро [math]QP[/math] не лежит ни в исходном паросочетании [math]M[/math], ни в паросочетании [math]M'[/math], в противном случае оказалось бы, что вершина [math]p[/math] инцидентна нескольким ребрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания. Тогда заметим, что цепь [math](x \rightsquigarrow z)[/math], полученная объединением цепей [math](x \rightsquigarrow p)[/math] и [math](p \rightsquigarrow z)[/math], по определению будет дополняющей в паросочетании [math]M[/math], что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании [math]M[/math] из вершины [math]x[/math] не существует дополняющей цепи.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Алгоритм просматривает все вершины графа по очереди, запуская из каждой обход (в глубину или в ширину), пытающийся найти увеличивающую цепь, начинающуюся в этой вершине.

Краткое описание алгоритма:

• Возьмём пустое паросочетание;
• Разобьем граф на две доли;
• Проходя по всем вершинам первой доли пытаемся найти увеличивающую цепь с началом в текущей вершине;

• Если удается найти увеличивающую цепь, выполняем чередование, то есть если ребро входило в цепь, то удалим его из паросочетания, а если не входило, то наоборот добавим.

• Найденное паросочетание и является максимальным.

Будем считать, что граф уже разбит на две доли.

Просматриваем все вершины [math]v[/math] первой доли графа [math]v = 1 ... n_1[/math]:

• Если текущая вершина уже насыщена текущим паросочетанием (т.е. уже выбрано какое-то смежное ей ребро), то эту вершину пропускаем;
• Иначе алгоритм пытается насытить эту вершину, для чего запускается поиск увеличивающей цепи, начинающейся с этой вершины.

Рассмотрим поиск увеличивающей цепи обходом в глубину.

• Изначально обход в глубину стоит в текущей ненасыщенной вершине [math]v[/math] первой доли.
• Просматриваем все рёбра из этой вершины, пусть текущее ребро — [math](v, to)[/math].
• Если вершина [math]to[/math] ещё не насыщена паросочетанием, то, значит, мы смогли найти увеличивающую цепь: она состоит из единственного ребра [math](v, to)[/math].
  • Включаем это ребро в паросочетание и прекращаем поиск увеличивающей цепи из вершины [math]v[/math].
• Иначе, если вершина [math]to[/math] уже насыщена каким-то ребром [math](p, to)[/math] и не посещена, то попытаемся пройти вдоль этого ребра: тем самым мы попробуем найти увеличивающую цепь, проходящую через рёбра [math](v, to), (to, p)[/math]. Для этого просто перейдем в нашем обходе в вершину [math]p[/math].
  • Пробуем найти увеличивающую цепь из вершины [math]p[/math].
  • Если цепь существует, то удаляем из паросочетания ребро [math](p, to)[/math], а вместо него добавляем [math](p, v)[/math]

Этот обход, запущенный из вершины [math]v[/math], либо найдёт увеличивающую цепь, и тем самым насытит вершину, либо же такой увеличивающей цепи не найдёт (и, следовательно, эта вершина уже не сможет стать насыщенной).

После того, как все вершины [math]v = 1 ... n_1[/math] будут просмотрены, текущее паросочетание будет максимальным.

Корректность алгоритма следует из теоремы Бержа и теоремы, описанной выше.

Релизация

Граф [math]G[/math] хранится списками смежности [math]g[][][/math]

Функция [math]dfs(v)[/math] — обход в глубину, возвращает [math]true[/math] если есть увеличивающая цепь из вершины [math]v[/math].

В массиве [math]mt[/math] хранятся паросочетания. Паросочетание есть ребро [math](i, mt[i])[/math].

bool dfs(int v) 
{
    if (used[v])
        return false;

    used[v] = true;
    for (int i = 0; i < g[v].size(); i++)
    {
        int to = g[v][i];
        if (mt[to] == -1 || dfs(mt[to]))
        {
            mt[to] = v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    ... чтение графа ...
    mt.assign (k, -1);
    for (int v = 0; v < n; v++)
    {
        used.assign(n, false);
        dfs(v); 
    }

    for (int i = 0; i < k; i++)
        if (mt[i] != -1)
            ... вывод ...

}

Время работы

Итак, алгоритм Куна можно представить как серию из [math]n_1[/math] запусков обхода в глубину на всём графе.

Следовательно, всего этот алгоритм исполняется за время [math]O(nm)[/math], где [math]m[/math] — количество ребер, что в худшем случае есть [math]O(n^3)[/math].

Более точная оценка:

В описанной выше реализации запуски обхода в глубину/ширину происходят только из вершин первой доли, поэтому весь алгоритм исполняется за время [math]O(n_1m)[/math] , где [math]n_1[/math] — число вершин первой доли. В худшем случае это составляет [math]O(n_1^2n_2)[/math], где [math]n_2[/math] — число вершин второй доли.

Источники

MAXimal :: algo :: Алгоритм Куна нахождения наибольшего паросочетания

Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — СПб.: Издательство "Лань", 2010. — 291 стр.