Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных

Убедительная просьба читать правила оформления вики-конспектов.

Первый семестр

Отношения

• Определение отношения
• Степень отношений
• Рефлексивное отношение. Антирефлексивное отношение.
• Симметричное отношение
• Антисимметричное отношение
• Композиция отношений. Обратное отношение
• Транзитивное отношение
• Транзитивное замыкание отношения
• Отношение порядка
• Отношение эквивалентности
• Алгоритм Флойда-Уоршалла построения транзитивного замыкания отношения

Булевы функции

• Определение булевой функции
• Суперпозиции
• ДНФ
• КНФ
• Полином Жегалкина
• Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций
• Сокращенная и минимальная ДНФ
• Минимизация ДНФ с помощью покрытий гиперкуба и карт Карно
• Специальные формы КНФ: КНФ в форме Хорна и КНФ в форме Крома
• Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина
• Представление функции класса DM с помощью медианы
• Пороговая функция

Схемы из функциональных элементов

• Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов
• Cумматор
• Каскадный сумматор
• Двоичный каскадный сумматор
• Реализация вычитания сумматором
• Матричный умножитель
• Дерево Уоллеса

Представление информации

• Кодирование информации
• Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код
• Представление вещественных чисел
• Представление символов, таблицы кодировок

Алгоритмы сжатия

• Алгоритм Хаффмана
• Алгоритм LZW
• Алгоритмы LZ77 и LZ78
• Преобразование Барроуза-Уиллера
• Обратное преобразование Барроуза-Уиллера
• Преобразование MTF
• Расстояние Хэмминга
• Избыточное кодирование, код Хэмминга
• Неравенство Крафта
• Неравенство Макмиллана

Комбинаторика

• Комбинаторные объекты
• Лексикографический порядок
• Формула включения-исключения
• Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке
• Получение номера по объекту
• Получение объекта по номеру
• Получение следующего объекта
• Коды Грея
• Коды Грея для перестановок
• Цепные коды
• Правильные скобочные последовательности
• Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов
• Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса
• Таблица инверсий
• Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок
• Теорема Кэли
• Матричное представление перестановок
• Задача о минимуме/максимуме скалярного произведения
• Задача о монотонных подпоследовательностях, теорема о связи длины НВП и НУП
• Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера
• Производящая функция

Динамическое программирование

• Кратчайший путь в ациклическом графе
• Задача о расстановке знаков в выражении
• Задача о наибольшей общей подпоследовательности
• Задача о порядке перемножения матриц
• Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности
• Задача о паросочетании максимального веса в дереве, амортизированные оценки для ДП на дереве
• Метод четырех русских для умножения матриц
• Применение метода четырех русских в задачах ДП на примере задачи о НОП
• Задача коммивояжера, ДП по подмножествам
• Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами
• Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера
• Задача о расстоянии Дамерау-Левенштейна
• Задача об оптимальном префиксном коде с сохранением порядка. Монотонность точки разреза

Теория вероятностей

• Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
• Независимые события
• Условная вероятность
• Формула Байеса
• Формула полной вероятности
• Дискретная случайная величина
• Независимые случайные величины
• Математическое ожидание случайной величины
• Ковариация случайных величин
• Дисперсия случайной величины
• Энтропия случайного источника
• Симуляция одним распределением другого
• Арифметическое кодирование
• Задача о двух конвертах

Марковские цепи

• Теорема о поглощении
• Фундаментальная матрица
• Математическое ожидание времени поглощения
• Расчет вероятности поглощения в состоянии
• Эргодическая марковская цепь
• Регулярная марковская цепь

Второй семестр

Амортизационный анализ

• Амортизационный анализ
• Саморасширяющийся массив
• Массив с увеличением/уменьшением размера
• Стек
• Очередь
• Список
• Персистентный стек
• Персистентный дек

Приоритетные очереди

• Двоичная куча
• Биномиальная куча
• Фибоначчиева куча

Система непересекающихся множеств

• Наивные реализации
• Списки с весовой эвристикой
• Реализация с помощью леса корневых деревьев
• Анализ реализации с ранговой эвристикой

Деревья поиска

• Упорядоченное множество
• Дерево поиска, наивная реализация
• АВЛ-дерево
• 2-3 дерево
• B-дерево
• Красно-черное дерево
• Декартово дерево
• Splay-дерево
• Декартово дерево по неявному ключу
• Дерево ван Эмде Боаса

Дерево отрезков

• Статистики на отрезках. Корневая эвристика
• Дерево отрезков. Построение
• Реализация запроса в дереве отрезков сверху
• Реализация запроса в дереве отрезков снизу
• Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления
• Многомерное дерево отрезков
• Сжатое многомерное дерево отрезков

Дерево Фенвика

• Дерево Фенвика
• Встречное дерево Фенвика
• Дерево Фенвика для некоммутативных операций
• Многомерное дерево Фенвика

Хеширование

• Хеширование
• Открытое и закрытое хеширование
• Поиск свободного места при закрытом хешировании
• Хеширование кукушки
• Двойное хеширование
• Перехеширование. Амортизационный анализ
• Фильтр Блума
• Универсальное семейство хеш-функций

Сортировка

• Сортировка пузырьком
• Сортировка слиянием
• Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти
• Сортировка вставками
• Сортировка подсчетом
• Сортировка подсчетом сложных объектов
• Цифровая сортировка
• Поиск k-ой порядковой статистики
• Поиск k-й порядковой статистики за линейное время
• Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями
• Быстрая сортировка

Сортирующие сети

• Проверка сети компараторов на то, что она сортирующая. 0-1 принцип
• Сортирующие сети для квадратичных сортировок
• Сеть Бетчера

Алгоритмы поиска

• Троичный поиск
• Поиск с помощью золотого сечения
• Интерполяционный поиск
• Вещественный двоичный поиск

Третий семестр

Основные определения теории графов

• Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл
• Лемма о рукопожатиях
• Теорема о существовании простого пути в случае существования пути
• Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла
• Матрица смежности графа
• Связь степени матрицы смежности и количества путей
• Матрица инцидентности графа
• Циклическое пространство графа
• Фундаментальные циклы графа
• Дерево, эквивалентные определения

Связность в графах

• Отношение связности, компоненты связности
• Отношение реберной двусвязности
• Отношение вершинной двусвязности
• Граф компонент реберной двусвязности
• Граф блоков-точек сочленения
• Точка сочленения, эквивалентные определения
• Мост, эквивалентные определения
• k-связность
• Теорема Менгера
• Теорема Менгера, альтернативное доказательство
• Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины

Остовные деревья

• Матрица Кирхгофа
• Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности
• Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа
• Количество помеченных деревьев
• Коды Прюфера

Обходы графов

• Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов
• Покрытие ребер графа путями
• Алгоритм построения Эйлерова цикла
• Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы
• Гамильтоновы графы
• Теорема Хватала
• Следствия теоремы Хватала:
  • Теорема Дирака
• Теорема Оре
• Турниры
• Теорема Редеи-Камиона

Укладки графов

• Укладка графа на плоскости
• Формула Эйлера
• Непланарность [math]K_5[/math] и [math]K_{3,3}[/math]
• Укладка дерева
• Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности
• Укладка графа с планарными компонентами вершинной двусвязности
• Теорема Понтрягина-Куратовского
• Двойственный граф планарного графа

Раскраски графов

• Раскраска графа
• Двудольные графы и раскраска в 2 цвета
• Хроматический многочлен
  • Хроматический многочлен полного графа
  • Хроматический многочлен пустого графа
  • Хроматический многочлен дерева
  • Рекуррентные формулы для хроматических многочленов
  • Коэффициенты хроматического многочлена: старший, второй коэффициенты, знакопеременность
• Формула Зыкова
• Формула Уитни

Обход в глубину

• Обход в глубину, цвета вершин
• Лемма о белых путях
• Использование обхода в глубину для проверки связности
• Использование обхода в глубину для поиска цикла в ориентированном графе
• Использование обхода в глубину для топологической сортировки
• Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности
• Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения
• Построение компонент вершинной двусвязности
• Использование обхода в глубину для поиска мостов
• Построение компонент реберной двусвязности

Кратчайшие пути в графах

• Обход в ширину
• Алгоритм Форда-Беллмана
• Алгоритм Дейкстры
• Алгоритм Флойда
• Алгоритм A*
• Алгоритм Джонсона

Остовные деревья

• Лемма о безопасном ребре
• Алгоритм Прима
• Алгоритм Краскала
• Теорема Тарьяна (критерий минимальности остовного дерева)
• Алгоритм двух китайцев

Задача о паросочетании

• Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях
• Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания
• Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания
• Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах
• Связь вершинного покрытия и независимого множества
• Матрица Татта и связь с размером максимального паросочетания в двудольном графе
• Паросочетания в недвудольных графах. Алгоритм вырезания соцветий

Задача о максимальном потоке

• Определение сети, потока
• Разрез, лемма о потоке через разрез
• Дополняющая сеть, дополняющий путь
• Лемма о сложении потоков
• Теорема Форда-Фалкерсона
• Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину
• Алоритм Эдмондса-Карпа
• Теорема о декомпозиции
• Теорема о декомпозиционном барьере
• Блокирующий поток
• Схема алгоритма Диница
• Циркуляция потока
• Алгоритм поиска блокирующего потока в ациклической сети
• Алгоритм масштабирования потока
• Теоремы Карзанова о числе итераций алгоритма Диница в сети с целочисленными пропускными способностями

Задача о потоке минимальной стоимости

• Поток минимальной стоимости
• Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости
• Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети
• Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости
• Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости
• Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости
• Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

Четвертый семестр

Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов

• Основные определения, связанные со строками
• Период и бордер, их связь
• Слово Фибоначчи
• Слово Туэ-Морса

Поиск подстроки в строке

• Наивный алгоритм поиска подстроки в строке
• Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа
• Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования
• Префикс-функция
• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта
• Z-функция
• Автомат для поиска образца в тексте
• Бор
• Алгоритм Ахо-Корасик

Словарные структуры данных

• Суффиксный бор
• Сжатое суффиксное дерево
• Алгоритм Укконена

Задача о наименьшем общем предке

• Метод двоичного подъема
• Сведение задачи LCA к задаче RMQ
• Решение RMQ с помощью разреженной таблицы
• Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера (решение +/-1 RMQ с помощью метода четверых русских)
• Сведение задачи RMQ к задаче LCA

Суффиксный массив

• Суффиксный массив
• Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки
• Алгоритм цифровой сортировки
• Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки
• Алгоритм Касаи и др.
• Алгоритм Каркайнена-Сандерса
• Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива

Матроиды

• Определение матроида
• Примеры матроидов
• Прямая сумма матроидов
• Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)
• Жадный алгоритм поиска базы минимального веса
• Теорема о базах
• Аксиоматизация матроида базами
• Теорема о циклах
• Аксиоматизация матроида циклами
• Ранговая функция, полумодулярность
• Двойственный матроид
• Оператор замыкания для матроидов
• Пересечение матроидов, определение, примеры
• Лемма о паросочетании в графе замен
• Лемма о единственном паросочетании в графе замен
• Граф замен для двух матроидов
• Лемма о единственном паросочетании в подграфе замен, индуцированном кратчайшим путем
• Алгоритм построения базы в пересечении матроидов
• Теорема Эдмондса-Лоулера
• Объединение матроидов, проверка множества на независимость
• Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом
• Алгоритм построения базы в объединении матроидов